拉普拉斯(Laplace)变换及其应用

t
lim f (t ) lim sF ( s)
s 0
பைடு நூலகம்
2.3 拉氏反变换

由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变 换(Inverse Laplace Transform)。拉氏反 变换常用下式表示：
f (t ) L [ F ( s)]
1
2 j
1
c j
c j
F ( s )e
表2-1 常用函数的拉氏变换对照表
2.2 拉氏变换的运算定理
1.叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换 的代数和。即:
L[ f1 (t ) f 2 (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s)
2.比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。 即:

f (t )dt
t 0


f (t )dt
2
t 0 f (t )dt

s
n
n 1 t 0
0
则：L[ f (t )dt ]
n
F ( s)
上式表明，在零初始条件下，原函数的 n 重积分的 n 拉氏式等于其象函数除以 s
5.延迟定理 当原函数 f (t )延迟 时间，成为 f (t )时，它 的拉氏式为： s L[ f (t )] e F ( s) 上式表明，当原函数 f (t ) 延迟 ，即成 f (t ) 时， 相应的象函数 F (t )应乘以因子 e s 。 6.终值定理 上式表明原函数在 f (t ) 时的数值(稳态值)，可以通过 将象函数 F (t )乘以 s 后，再求 s 0的极限值来求得。 条件是当 t 和 s 0 时，等式两边各有极限存在。 终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统 的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的 应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。
2
利用初始条件，得到
p Y ( p ) 1 2 p Y ( p ) 3Y ( p )
2
1 p 1
3 8
Y ( p)
p2 ( p 1)( p 1)( p 3)


1 4
p 1
1 4

t
p 1


1 8
p3
1 8
y (t )
L
-1{Y(p)}

e

3 8
第2章 拉普拉斯变换及其应用

拉氏变换的概念 拉氏变换的运算定理 拉氏反变换 应用拉氏变换求解微分方程
2.1 拉氏变换的概念
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一 种数学工具。与线性常微分方程的经典求解 方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特 点： 只需一步运算就可以得到微分方程的通解 和特解。 微分方程通过Laplace变换转化成含有s的 一代数方程，然后运用简单的代数法则就 可以得到代数方程在s域上的解，而只要再 作一次Laplace反变换就可以得到最终我们 所需的时域上的解。
e
t
e
3t

例2
y x x y e t 2 2 y x 2 y x t y (0 ) y (0 ) x (0 ) x (0 ) 0
解：设L{y(t)}=Y(p)，L {x(t)}=X(p)，方程组两边取 Laplace变换，并利用初始条件，得到
t RC
)
第六章 Laplace变换

第一节 Laplace变换 第二节 Laplace变换之应用
第一节 Laplace变换

Laplace变换
L( p)


f (t ) e
0
pt
dt
(其 中 p是 复 数 )

Laplace逆变换
f (t ) H (t ) 1 2 i

p p p
2 2 2
(R e p | R e |) (R e p | R e |)
L
例9： L
co sh ( t ) H ( t )
e
t
sin ( t ) H ( t ) co s( t ) H ( t )

p
2

2
(R e p 0 ) (R e p 0 )
这个平面就被 我们称为是S 域或复数域


＋１


dt 由于 是一个定积分， 将在新 t F (s 函数中消失。因此， ) 只取决于 ， s 它是复变数 的函数。拉氏变换将原 s f (t 来的实变量函数 ) 转化为复变量函 数 。 f (t ) F (s 拉氏变换是一种单值变换。 和 ) 之 f (t 间具有一一对应的关系。通常称 ) 为 F (s 原函数， ) 为象函数。 f (t )e
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A( s 1) Bs s( s 1)
A B 2 比较以上两式的分子，可得： A B 1 A 1
通过查表，可求得：
f (t ) L (
1
)L [ ] 1 e s( s 1) s s 1

t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
i
i
L ( p )e dp
pt
L
-1
L = I

举例
H ( t )
n
例1： L
1 p
(R e p 0 ) n! p
n 1
例2： L t 例3： L 例4： L
H ( t )
(R e p 0 )
sin ( t ) H ( t ) co s( t ) H ( t )
把 uR i R 和 ic C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC duc dt uc U s
现在，我们就来解这个微分方程
RC duc dt uc U s 0
duc uc U s dt RC
uc U s RC
duc dt
分离变量，有：
L[ Kf (t )] KL( f (t ) KF ( s)
3.微分定理 在零初始条件下，即：f (0) f ' (0) f n1 (0) 0 则： [ f n (t )] s n F ( s) L 上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的 n n 阶导数的拉氏式等于其象函数乘以 s 。 4.积分定理 在零初始条件下，即：
性质6（卷积性质） L f 1 ( t ) f 2 ( t ) L1 ( p ) L 2 ( p )

举例
n
例7： L t
e H ( t )
st
n!
p s
2
n 1
(R e p R e s )
例8： L sin h ( t ) H ( t )

两边同时积分： ln( uc U s ) 两边再同时取指数：e
t RC
c1
ln(uc U s )
e
( t
RC
) c1
整理得：uc U s e
( t
RC
)
e
c1
并令：c2 e
c1
则有： uc U s e
( t
RC
)
c2
将初始条件：t=0时，Ｕc(0-)=0代入上式，可得：
] Us
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0 A 1 B RC
将所求系数带入上述方程，有：
U c ( s) U s ( ) Us ( ) s 1 RCs s (1 RC s ) 1 RC 1 1
再对上式进行Laplace反变换，得：
uc U s (1 e
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
L e
t
p
p
2
2
第二节 Laplace变换之应用

用于求解常微分方程的初始问题

例1
y 2 y 3 y e t y (0 ) 0, y (0 ) 1
1 p 1
解：设L{y(t)}=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有
p Y ( p ) p y (0 ) y (0 ) 2[ p Y ( p ) y (0 )] 3Y ( p )
由题可知：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号， 且当t=0时，Uc(0+)=0，所以上式有：
( RCs 1)U c ( s ) U s 1 s
单位阶跃函数的Laplace变换
整理，可得：
U c (s) U s U s[ 1 s (1 RCs ) A(1 RC ) s (1 RCs ) Us ( A s Bs s (1 RCs ) B 1 RCs ) A ( ARC B ) s s (1 RCs )