5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在物理、工程、数学、经济等领域均有广泛的应用。
本文将详细介绍拉普拉斯变换的定义、性质、公式表、逆变换及其应用方面的内容。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数f(t)在复数域上进行变换。
拉普拉斯变换L{f(t)}的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s是复数域上的变量，f(t)是定义在[0,∞)上的函数。
式中的e^-st可以看作是一个因子，它起到了对f(t)作拉普拉斯变换的影响作用。
二、拉普拉斯变换的性质(1)线性性：L{af(t)+bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)}其中，a和b为任意常数。
(2)时移性：L{f(t-k)}=e^(-ks)F(s)其中，k为任意实数。
(3)尺度变换：L{f(at)}=1/aF(s/a)其中，a为任意实数，a≠0。
(4)复合性：若F(s)=L{f(t)}，G(s)=L{g(t)}，则L{f(g(t))}=F(G(s))。
(5)初值定理：lim_(t→0^+)f(t)=lim_(s→∞)sF(s)(6)终值定理：lim_(t→∞)f(t)=lim_(s→0^+)sF(s)三、拉普拉斯变换表以下是一些常用的函数的拉普拉斯变换表。
f(t) F(s)t^n n!/s^(n+1)e^at 1/(s-a)sin(at) a/(s^2+a^2)cos(at) s/(s^2+a^2)1 1/st 1/s^2(t^n)e^at n!/(s-a)^(n+1)u(t-a) e^(-as)/sexp(-at)u(t) 1/(s+a)1-exp(-at)u(t) 1/(s(s+a))1/(a+t) exp(-as)δ(t-a) e^(-as)t^n u(t) n!/s^(n+1)t^n exp(-at)u(t) n!/(s+a)^(n+1)(t^n sin(bt))u(t) nb^s/(s^2+b^2)^(n+1)(t^n cos(bt))u(t) s^n/(s^2+b^2)^(n+1)其中，δ(t)表示狄拉克函数，u(t)即单位阶跃函数。
拉普拉斯变换在常微分方程中的应用
拉普拉斯变换在常微分方程中的应用常微分方程是数学中的重要分支，用于描述物理、工程、经济等领域中的变化关系。
而拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化问题的求解过程。
本文将探讨拉普拉斯变换在常微分方程中的应用，展示它在解决实际问题中的重要性。
一、拉普拉斯变换的定义与性质在介绍拉普拉斯变换在常微分方程中的应用之前，我们先来回顾一下拉普拉斯变换的定义及其基本性质。
拉普拉斯变换是一种将函数从时域转换为频域的方法。
对于函数f(t)，它的拉普拉斯变换记作F(s)，定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, +∞] e^(-st) f(t) dt其中，s为复变量，t为实变量。
拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、平移性、微分性和积分性等，这些性质为我们在求解常微分方程时提供了便利。
二、拉普拉斯变换在常微分方程求解中的应用1. 初值问题的求解拉普拉斯变换常常用于求解常微分方程的初值问题。
对于一个满足初始条件的常微分方程，我们可以通过拉普拉斯变换将其转化为一个代数方程，再通过代数运算求解得到结果。
例如，考虑二阶线性常微分方程 y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 0，初始条件为y(0) = 1，y'(0) = 0。
对其进行拉普拉斯变换，得到s^2Y(s) - s + 2sY(s) - 1 + Y(s) = 0整理得到Y(s) = 1 / (s^2 + 2s + 1)通过部分分式分解，我们可以将 Y(s) 分解为两个简单分式的和，然后查找分解后的形式在拉普拉斯变换表中对应的反变换，得到原方程的解 y(t)。
2. 非齐次线性常微分方程的求解拉普拉斯变换还可以用于求解非齐次线性常微分方程。
对于非齐次线性常微分方程 y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = f(t)，我们可以通过拉普拉斯变换将其转化为一个代数方程，并利用拉普拉斯变换表中的性质求解。
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t) 转换成另一个函数F(s)
的变换工具，它与傅里叶变换有一些相似之处，但拉普拉斯变换更
加适用于求解微分方程。
拉普拉斯变换的性质包括：
1. 线性性：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和F2(s)，那么对于任意常数a 和b，它们的线性组合af1(t) +
bf2(t) 的拉普拉斯变换是aF1(s) + bF2(s)。
2. 移位性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么e^(-
at)f(t) 的拉普拉斯变换是F(s+a)。
3. 前移性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么t^n f(t) （n 为非负整数）的拉普拉斯变换是 (-1)^n F^(n) (s)，其中
F^(n) 表示F(s) 的 n 阶导数。
4. 卷积定理：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是
F1(s) 和F2(s)，那么它们的卷积f(t) = f1(t) * f2(t) 的拉普拉
斯变换是F1(s)F2(s)。
在求解微分方程时，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数
方程，并使复杂的微分方程分析更容易。
将微分方程用拉普拉斯变
换表示后，可以通过代数运算求解它们的解析解，并通过反演拉普
拉斯变换得到原始函数的解析表达式。
特别地，拉普拉斯变换可以
轻松地求解初值问题和边界条件问题，因为它们的解析解可以在拉
普拉斯域中被求出。
拉普拉斯变换微分方程
拉普拉斯变换微分方程拉普拉斯变换是数学中广泛使用的一种算法，用于研究各类微分方程，特别是线性时不变系统的稳定性和动态行为。
在本文中，我们将了解到拉普拉斯变换微分方程的基本原理和应用。
一、拉普拉斯变换的定义和性质拉普拉斯变换是一种复杂的算法，可以将给定的函数f(t)转换为一个复函数F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：L{f(t)} = F(s) = ∫_0^∞ e^(-st)f(t)dt其中，s是复变量，e^(-st)是指数函数，t是实变量。
f(t)是一个连续函数，可以是实函数或复函数。
拉普拉斯变换有一些基本性质，如下所示：1. 线性性：L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + bG(s)，其中，a和b是任意常数，f(t)和g(t)是任意函数。
2. 位移性：L{f(t-a)} = e^(-as) F(s)，其中，a是任意常数。
3. 拉普拉斯变换与导数的关系：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)，其中，f'(t)表示f(t)的导数，f(0)表示f(t)在t=0时的值。
二、拉普拉斯变换微分方程的基本原理拉普拉斯变换可用于求解线性常系数微分方程，例如：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_0 y =f(t)其中，a_n、a_(n-1)、...、a_0是常数，f(t)是给定的函数，y表示未知函数。
将上式两边同时取拉普拉斯变换，得到：L{a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_0 y} = L{f(t)}根据拉普拉斯变换和导数的关系，上式等价于：a_n s^n Y(s) - a_(n-1) s^(n-1) y(0) - ... - a_0 y(0) = F(s)其中，Y(s)表示y(t)的拉普拉斯变换。
将y(0)、y'(0)、...、y^(n-1)(0)带入上式，可得到Y(s)的表达式，从而求解y(t)。
拉普拉斯变换以及它在工程中的应用
拉普拉斯变换以及它在工程中的应用拉普拉斯变换是一种常用的数学工具，它通过将时间域函数转换为复平面的复变量函数，使得运算变得更加方便。
在工程中，拉普拉斯变换被广泛应用于信号处理、控制系统设计、电路分析等领域。
本文将会对拉普拉斯变换的原理、性质以及在工程中的具体应用进行介绍和阐述。
一、拉普拉斯变换的原理拉普拉斯变换是将一个符合一定条件的时间域函数f(t)转换成复域函数F(s)的一种操作。
其定义为：F(s)= ∫ 0^∞ f(t) e^(-st) dt其中，s为复数，f(t)为时间域函数，e^(-st)为指数函数，即e的负s次幂。
该变换的逆变换为：f(t)= (1/2πi) ∫ C F(s) e^(st) ds其中，C为一个垂直于实轴的可行曲线，i为虚数单位。
该式子表明，拉普拉斯变换能够将一个函数从时间域转换到复域，逆变换则将一个函数从复域回到时间域。
通过对这两个变换的理解，我们可以更好地认识拉普拉斯变换的性质和应用。
二、拉普拉斯变换的性质1. 线性性拉普拉斯变换具有线性性质，即：L{a f(t) + b g(t)} = a L{f(t)} + b L{g(t)}其中，a、b为常数，f(t)、g(t)分别为时间域函数，L{}表示拉普拉斯变换。
这个性质非常重要，它意味着我们可以将不同函数的拉普拉斯变换运算分别进行，再将结果线性叠加，得到最终的变换结果。
2. 上移定理、下移定理上移定理和下移定理是拉普拉斯变换的两个重要性质，它们可以将函数平移一定的时间，将变换结果上升或下降一定的频率。
具体来说：L{f(t-a) u(t-a)}= e^(-as) F(s)L{e^(-at) f(t)}= F(s+a)其中，u(t-a)为单位阶跃函数，表示在t=a时取值为1，否则为0。
这两个定理的应用非常广泛，可以用来解决很多实际工程问题。
3. 频率移变性质拉普拉斯变换具有频率移变性质，即：L{f(t) e^(at)}= F(s-a)这个性质说明，如果函数f(t)中出现了exponential函数，变换结果中就会出现频率移项。
信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质
L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
(
s
)
sb
ea
(a 0,b 0)
aa
信号与系统
四．s 域平移
若 L f (t) F(s)
则 L f (t) eαt F (s α)
证明：
L f (t) eαt
f (t) eαtestd t f (t) e(αs)td t F (s α)
sF (s)
f
(0 )
证明： f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
0
0
推广：
f (0) sF(s)
L
d
f 2 (t)
dt2
s
L
d
f (t)
dt
f
(0 )
ssF(s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
s0
f
(0
)
lim
s0
d f (t) estd t 0 d t
f
(0
)
lim
t
f
(t)
f (0 )
lim f (t) t
信号与系统
九．初值定理和终值定理
例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值
I(s) s 2 s(s 2)
H(s)
s2
8 10s
169
V(s)
2s3 10 s3 (s 1)
t0 0
证明：
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
5.3 拉普拉斯逆变换.
例如：
F(s)
2s3
7s2 10s s2 3s 2
6
(1
2s)
(s
3s 4 1)(s
2)
(1 2s) 1 2 s1 s 1
则
f (t) L1[F (s)] (t) 2（' t） (et 2e2t ) (t)
若 F (s) B(s) 为有理真分式， 可直接展开为 A(s)
4
我们来看一下 k1、k2 之间的关系以及响 应与极点的关系.
下面导出有共轭单极点时，简便实用的关系式：
设 As 0 有一对共轭单根
s1 j
s2 j
F s k1 k2
s j s j
可以证明 k2 k1
设 k1 k1 e j
k2 k1 e j
F s k1 e j k1 e j
s j s j
取逆变换，得
f (t ) K1 e j e( j )t K1 e j e( j )t (t )
K1 et e e j(t ) j(t ) (t )
F
s
Ps
Bs As
式中 Bs 的幂次小于As 的幂次。
例如：
Fs
s4
8s3 25s2 31s 15 s3 6s2 11s 6
2s2 3s 3 s 2 s3 6s2 11s 6
t 1, 't s, 't 2 t s 2
下面主要讨论有理真分式的情形。
一、查表法（P417附录五）
例4.3-1
已知
F(s)
s2
s 1 4s
4
，
求
F(s)
的
原
函
数f(t)。
解 F(s)可以表示为
5.3 拉普拉斯逆变换
K1 K2 F1 ( s) s j s jLeabharlann 2、若取K1,2 =A±jB,
f1(t)= 2e-t[Acos(t) –Bsin(t)](t)
比较：
求其逆变换
• 求其逆变换 • 解： 长除法
F (s)
s3 k1 k2 F ( s) s 2 s2 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
问：当n=2 ??
举例:
作业
• 5.8 单数
tx(t ) dX ( s) , ROC : R ds
ROC : R ROC : R
5. 时域微分:（Differentiation in theTime Domain） 若 则
x(t ) X (s),
ROC : R
f
...
(1)
(t ) sF ( s) f (0 )
n 1
Re[s]>-2,求f(0+)和f()
解：
？？ 0
12/28
5.3 拉普拉斯逆变换
• 直接利用定义式求反变换---复变函数积分。 比较困难
• 通常的方法: （1）查表法 • （2）利用性质（3） 部分分式展开-----结合
13/28
•若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解 为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
2. 时移性质（Time Shifting）:
若 x(t ) X (s),
ROC : R
则 x(t t0 ) X ( s)e st0 ,
问：(t-t0)的像函数？
ROC不变
3. S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t ) X (s),
拉普拉斯变换的使用方法
拉普拉斯变换的使用方法拉普拉斯变换是 Fourier 变换的一种推广，常用于处理时域信号的频率特性或者复杂微分方程。
一、拉普拉斯变换的定义在复平面上，有一个以原点为极点的复函数：$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}$ dt，其中 $s=x+jy$，$f(t)$ 是一段时间内的信号。
这个复函数 $F(s)$ 叫做 $f(t)$ 的拉普拉斯变换，通常用$\mathcal{L}\{f(t)\}$ 表示。
在掌握了拉普拉斯变换一些基本的性质之后，我们就可以利用这种变换来简化复杂的微分方程和求解系统的稳定性等问题。
二、拉普拉斯变换的基本性质1. 线性性质：$\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{ g(t)\}$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
2. 移位性质：$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$u(t-a)$ 是单位阶跃函数。
3. 放缩性质：$\mathcal{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$a$ 是常数。
4. 差分性质：$\mathcal{L}\{\frac{df(t)}{dt}\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)$。
5. 积分性质：$\mathcal{L}\{\int_{0}^{t}f(\tau)d\tau\}=\frac{1}{s}\mathcal{L}\ {f(t)\}$。
三、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程：考虑一个一阶微分方程 $y'+ay=f(t)$，我们可以在两边同时做拉普拉斯变换，得到：$sY(s)-y(0)+aY(s)=F(s)$于是，我们就可以直接求出 $Y(s)$ ：$Y(s)=\frac{1}{s+a}\cdot F(s)+\frac{y(0)}{s+a}$然后再做逆变换，就可以得到原方程的解 $y(t)$。
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于电路分析和信号处理领域。
它是一种将时间域中的函数转换为频域中的函数的方法，可以简化电路分析的计算过程，提高计算效率和精确度。
本文将探讨拉普拉斯变换在电路中的应用。
一、拉普拉斯变换的定义与性质首先，我们来对拉普拉斯变换进行简要介绍。
拉普拉斯变换可以将时域函数 f(t) 转换为频域函数 F(s)，其定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复数变量，表示频域中的频率。
拉普拉斯变换具有线性性质和位移性质等重要性质，使得它成为电路分析中的重要工具。
二、1. 电路响应的计算拉普拉斯变换可以方便地计算电路的时域响应。
通过将电路中的元件和信号源转换为拉普拉斯域中的等效函数，可以建立电路的等效电路方程。
然后，对等效电路方程进行拉普拉斯变换，得到频域中的等效电路方程。
最后，通过求解频域方程，可以得到电路在不同频率下的响应。
2. 电路传递函数的求解电路传递函数是描述输入和输出关系的重要指标。
拉普拉斯变换可以方便地求解电路的传递函数。
通过将电路中的元件抽象为阻抗和导纳的拉普拉斯域表达式，并根据电路的串并联关系，可以得到电路的总阻抗和总导纳。
然后，将输入电压和输出电压的拉普拉斯域表达式相除，可以得到电路的传递函数。
3. 时域响应的计算得到电路的传递函数后，可以通过拉普拉斯逆变换将传递函数转换为时域响应。
通过对传递函数进行部分分式展开或使用拉普拉斯逆变换表格，可以获得电路的时域响应。
这在实际电路设计和故障诊断中非常有用，可以根据输入信号和电路响应来判断电路的性能和健康状况。
4. 稳定性分析拉普拉斯变换还可以用于电路的稳定性分析。
通过计算电路的传递函数，可以得到系统的极点和零点。
根据极点的位置，可以判断电路的稳定性。
拉普拉斯变换的极点在左半平面内时，电路是稳定的；而极点在右半平面内时，电路是不稳定的。
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F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
根据时移性质 :
Re s 0
f (t b)u(t b) F (s) e sb
根据尺度变换性质 :
Re[s] 0
e2 F2 s s2
Re s 2
Re s 2
e2 e s L f1 t f 2 t F1 s F2 s s 2
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
补充例题:
f (t )
f1 (t )
求f(t)的单边拉氏变换。
…
TT
2T
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) f1 (t 2T ) ...
F (s) F1 (s) F1 (s)e sT F1 (s)e2 sT ...
F1 (s)(1 e
sT
e
2 sT
...)
Re[ s] 0
1 F1 ( s ) 1 e sT
解：
因为
所以
1 e u t s2
2t
Re s 2 Re s 2
s e F1 s L e2t 1 u t 1 s2
又因为 所以
f 2 t e2t 1 u t e2 e2t u t
uC '(t ) uC (t ) δ(t )
方程两边取单边拉氏变换：
uC (t ) UC (s)
uc t 2et u t
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
6. 时域积分 则有：
若f (t ) F (s) Re[s] 0
t
0
F (s) f ( )d s
LT f t t0 u t t0 f e
0
s t0
d
e
st0
0
f e s d e st0 F s
Re[ s] > s 0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
补充例题: 已知 f (t ) F (s), f1 (t ) f (at b)u(at b),
则 es0t f (t ) F ( s s0 ) Re[ s] 1 0
证明:
s0t st LT [e f (t )] e f ( t ) e dt s0t 0
f (t )e ( s s0 )t dt F ( s s0 ) 0
F ( s) (t ) n s n 1, 2,
f
(n)
如果f (-n)(t)表示从 -∞到t 对f(t)的n重积分
则有:
F (s) f (-1) (0- ) ò -¥ f (t )dt « s + s
t
n F ( s ) 1 (n) f (t ) n nm1 f ( m) (0 ), n 1, 2,... s m 1 s
若应用时域微分性质求解，则有
F1 ( s ) s L [e u(t )] e u(t )
2 t 2 t t 0
s s2
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
补例:
' i(t ) CuC (t )
已知：
解： 电路的微分方程：
RCuC '(t ) uC (t ) δ(t )
解：已知
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
2. 尺度变换 若:
f (t ) F (s), Re[s] 0
1 s 则 f (at ) F Re[ s] a 0 a a
注意：其中，a为实常数且a>0，如果a<0则f(at) 的单边拉氏变换为0，该性质失效。 证明:
L [ f (at )] f (at )e st dt
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
例5.3-4 求 f (t ) = e-at u(t ) 的导数的单边拉氏变换。 解： f (t ) = e-at u(t ) «
1 s +a
df (t ) sF ( s) f (0 ) dt 1 s 0 s s ù > -a Re é s s ë û
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
3. 时移性
若
f (t ) F (s)
- st0
Re[ s] 0
f (t - t0 )u(t - t0 ) « F ( s)e
注意:
t0 ³ 0,Re[ s] > s 0
(1)若f(t)为因果信号，则 f (t - t0 ) = f (t - t0 )u(t - t0 ) ，等式左 右两边的拉氏变换相同；
s 1 s b a f1 (t ) f (at b)u(at b) F e a a
Re[ s] a 0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
2 t 1 2 t 1 f t e u t 1 , f t e u t 2 补充例题: 1 求 f1 t f2 t 的象函数
Re[ s] > 0
( s a)
2 2
w sin wt « 2 s +w2
at
由频移特性有： e
同理：
sin t
Re[ s] > -a
e- at cosw t «
s+a ( s + a)2 + w 2
Re[ s] > -a
5.3 拉普拉斯变换的性质信号 则f(n)(0-)=0 (n=1, 2, …)
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
证明: 根据单边拉氏变换的定义，得
st LT f t t u t t f t t u t t e 0 0 0 0 dt 0
t0
f t t0 e dt
st
令 t - t0 = t 则 t = t + t0 得：
f ( n) (t ) s n F (s)
n=1, 2, …；Re［s］＞σ0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
证明: LT [ f (t )] df (t ) e st dt 0 dt
(1)
e df (t ) e
st 0
st
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
1. 线性性质
若
f1 (t ) F1 (s) Re[s] 1
f 2 (t ) F2 (s) Re[s] 2
则 a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s)
(其中，a1, a2为任意常数) 补充例题： f (t ) δ(t ) u(t )
f (t )u(t )
f
( n)
(n)
Fn ( s)
或者
f (0 ) Fn ( s) F ( s) L [ f (t )] n s s
(t )u(t ) Fn (s)
2 5.3 拉普拉斯变换的性质及应用 t , 0 t 2 2 例5.3-5 求图5.3-1所示三角脉冲 f (t ) 2 t , t 2 2 t 0&t 0, 的象函数。
(2) 求f2(t)的单边拉氏变换
d f 2 (t ) e2t u(t ) 2e 2t u(t ) dt
根据线性性质 ：
F1 (s) = LT [ f1 (t )] = 1 2 s = s+2 s+2
因此：
F2 (s) = LT [ f2 (t )] = -2 s+2
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
d 2t d 2t 补例: f1 (t ) [e u(t )], f 2 (t ) e u(t ) , 求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换 dt dt