傅里叶变换和拉普拉斯变换地性质及应用

1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。

类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。

积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。

什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。

傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。

分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。

可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。

傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。

Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。

即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。

之后才创立了现代算子理论。

算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。

这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。

1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；（2） ∞∞ ∞，即 在（-∞，+∞）上绝对可积； 则 的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点 处∞∞∞∞ 在它的间断点 处∞∞∞ ∞ 定义1.2.1（傅里叶变换）设函数 满足定理 1.2.1中的条件，则称 ∞∞ 为 的傅里叶变换，记作ℱ ＝ ∞∞ 。

定义1.2.2（傅里叶级数）设函数 的周期为T ，则它的傅里叶级数为：ω ω ∞上式中，ω定义1.2.3（傅里叶逆变换）∞∞定义1.2.4（拉普拉斯变换） 若函数 满足∞积分收敛，那么该积分记作ℒ ℒ∞式中s为复数，为积分核，上式称为拉普拉斯变换. 定义1.2.5（拉普拉斯逆变换）称为F(s)的拉普拉斯逆变换＝ℒ-1定义1.2.6（卷积）假如ƒ1(t)和ƒ2(t)是（-∞，+∞）上面有定义的函数，则∞∞ƒ1(τ) ƒ2(t-τ)dτ称为ƒ1(t)和ƒ2(t)的卷积，记为ƒ1(t)*ƒ2(t)ƒ1(t)*ƒ2(t)＝∞∞ƒ1(τ) ƒ2(t-τ)dτ2.傅里叶变换的性质及应用2.1傅里叶变换的性质性质2.1.1（线性性质）设α，β为常数，ℱωℱ[ƒ1(t)]，ℱωℱ[ƒ2(t)]则：ℱαℱβℱαℱωβℱωℱαℱωβℱωαℱβℱ性质2.1.2（位移性质）设ℱ＝ℱω，则ℱωℱℱωℱ性质2.1.3（微分性质）设ℱω＝ℱ，在﹣∞﹢∞连续或可去间断点仅有有限个，且∞，则：ℱ′ωω。

ℱ。

证明由傅里叶变换的定义有ℱ′′∞∞∞∞ω∞∞ω∞∞ωω性质2.1.4（积分性质）设ℱℱω，若，∞∞则：ℱ∞ℱω证明因为∞′，故由微分性质得ℱωℱ∞，即ℱ∞ℱω定理2.1.1（卷积定理）如果ωℱ，ωℱ，则有：ℱωωℱωωπ证明ℱ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ω ∞∞ω ω性质2.1.6（Parseval 恒等式） 如果有F(ω)＝ℱ ，则有∞∞∞ ∞这个式子又叫做Parseval 等式。

2.2 函数及其傅里叶变换定义2.2.1（ 函数） 满足：（ ）， ，∞， ，（ ）∞∞的函数是δ函数。

定义2.2.2（ 函数） 满足：（ ）， ，∞， ，（）∞的函数是函数。

定义2.2.3（函数的数学语言表述），，，其他，τ时，的极限叫做δ函数，记作δ＝定义2.2.4（函数的数学语言表述），，，其他，τ时，的极限叫做函数，记作＝性质2.2.1（函数的筛选性质）对任意连续函数，有∞∞∞∞性质2.2.2（函数的相似性质）设a为实常数，则：（）定义2.2.5（单位阶跃函数）δ函数是单位阶跃函数在时的导数′这里称为单位阶跃函数。

性质2.2.3（函数的傅里叶变换）因为ℱ∞∞ℱ∞∞所以ℱℱ，ℱℱ即和1，和分别构成了傅里叶变换对。

2.3傅里叶变换的应用2.3.1求微分积分方程依据傅里叶变换的性质2.1.1,2.1.3，对需要求解的微分方程的两边取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得到像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图是此种解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。

例2.3.1求积分方程∞的解，其中，，解该积分方程可改写为π∞为的傅里叶正弦逆变换，故有：π∞例2.3.2求积分方程ℎ∞∞，其中，ℎ是已知函数，而且，，ℎ的傅里叶变换存在。

解设ℱω，ℱℎω。

由定义1.2.6（卷积）可知，方程右端第二项。

故对方程两边取傅里叶变换，根据卷积定理可得：ωωωω，所以ωωω。

由傅里叶逆变换，求出原方程的解：πω∞∞πωω∞∞例2.3.3求微分积分方程′∞ℎ的解，其中∞∞，，，均为常数，ℎ为已知函数解根据傅里叶变换的性质2.1.1（线性性质），性质2.1.3（微分性质），性质2.1.4（积分性质），且记ℱ，ℱℎ对原方程两边取傅里叶变换：,.而上式的傅里叶逆变换为∞∞∞∞2.3.2解偏微分方程例2.3.4（一维波动方程的初值问题）用傅里叶变换求定解问题：，∞∞，，，解由于未知函数中的变化范围为∞，∞，故对方程和初值条件关于取傅里叶变换，记ℱ，，，ℱ，，，ℱℱ，，，ℱ，ℱ。

定解问题已经改变为求含参变量的初值问题：，，。

，是一个关于t的二阶常系数齐次微分方程，求得通解为：，。

由初值条件可知：，。

因此初值问题的解为：，。

对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质2.2.4（函数的筛选性质）原定解问题的解为：ℱ，∞∞3.拉普拉斯变换的性质及应用3.1拉普拉斯变换的性质性质3.1.1（存在性）假如在∞这个区间上可以满足如下的条件：(1)在任意的一个有限的区间上面分段连续；(2)，是常数，，使得，则在半平面上，∞存在，由这个积分确定的解析。

性质3.1.2（线性性质）设k1，k2是常数，ℒ，ℒ，则：ℒ.ℒ.性质3.1.3（微分性质）若ℒ，且(n)(t)连续，则：ℒ＞.更一般的，∀n∈Z+，有：ℒ′＞更一般的，∀n∈Z+，有：ℒ′证明由拉普拉斯变换的定义，分部积分法得：ℒ∞∞∞∞性质3.1.4（积分性质）若ℒ，则：ℒ。

证明令ℎ，则ℎ，ℎ，则：ℒℎ′ℒℎℎℒℎ，ℒℒ。

性质3.1.5（延迟性质）若ℒ，t＜0时，则∀τ＞0，τ为常数，有：ℒe-sτ定理3.1.1（卷积定理）如果ℒ，ℒ，那么ℒ或者ℒ证明由定义有：ℒ∞∞由于二重积分绝对可积，可交换积分次序：ℒ∞∞令：∞∞故：ℒ∞∞3.2应用3.2.1解线性微分方程（组）例3.2.1（线性微分方程）求′满足初始条件的特解解对方程两端取拉普拉斯变换，得像方程于是取逆变换，得，，例3.2.2（常系数线性微分方程组）求′′′′满足的解解设ℒ，ℒ，ℒ。

对每个方程两侧取拉普拉斯变换，得像方程组：解得：，，。

对每个像函数取逆变换：ℒℒℎℒℒℎℒℒℎ例3.2.3（变系数线性微分方程组）求′′′，满足′的解解由性质3.1.3（微分性质）可知ℒ′′ℒ′′′′对原方程两边做拉普拉斯变换得：′解这个分离变量方程：将展开为收敛的幂级数，而后逐项取拉普拉斯变换：4.傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系 对于函数()f t ，设0t <时， ,当β足够大时，函数()t f t e β-的傅里叶变换就有可能存在，即 ∞ ∞ ∞ 再根据傅立叶逆变换可得 ∞ ∞ 记 ， ，注意到 ，于是可得 ∞ ， ∞ ∞ 当 ，实际上就是()f t 的傅里叶变换，所以在一些时候把傅里叶变换称为拉普拉斯变换的特殊情形。

引入β的缘故是：()f t 不一定可以符合傅里叶变换的狄利克雷条件，而 在 足够大时能够符合傅里叶变换的条件。

()f t 的拉普拉斯变换的本质是 的傅里叶变换，对于()f t 来说，这种变换改变了傅里叶正变换里的原函数（原函数乘以指数衰减函数项），同时也改变了傅里叶逆变换的积分因子（ ），这种变换就是()f t 的拉普拉斯变换。

注意这时 ，它的讨论范围就不仅仅是频率ω，而是一个复数(包含频率ω)的 。

连续的时间域信号转傅里叶变化到换是把频率域；它可以说是拉普拉斯变换的特例，拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，存在的条件比傅里叶变换要宽，是把连续的时间域信号转化到复频率域。

总结本文先介绍了一些傅里叶变换的基础知识，先后介绍了两种不变换的性质，对重要的性质或定理进行了证明，并且介绍了两种变换的应用，列举了一些立体加以说明，最后总结了一下两种变换的关系。

这两种变换都具有线性性质，微分性质，积分性质，卷积定理，等。

都可以可用于解微分，积分方程。

应用十分广泛，可以简化有些计算。

两种变换的相关理论应用是一个广泛的领域，将来可能会有更多精彩的应用，希望大家通过这篇论文，对进一步研究这两种变换产生兴趣，将它们运用到更多地方。

参考文献[1]苏变萍，陈东立.2010.复变函数与积分变换.2版.背景：高等教育出版社[2]蔺小林，白云霄，王晓琴，岳宗敏，胡明昊.2016.复变函数与积分变换.1版.北京：科学出版社[3]河北科技大学理学院数学系.2014.复变函数与积分变换.1版.北京：清华大学出版社[4]Hansen, Eric W. (Eric William).2015.Fourier transforms: principles and applications, with an introduction to complex analysis.Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc。