常用函数的拉氏变换

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附录A 拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1 拉氏变换的基本性质齐次性)
()]([s aF t af L =1
线性定理
叠加性
)
()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±一般形式
=
-=][ '- -=-=----=-∑1
1
)1()
1(1
22
2)
()()
0()()(0)0()(])([)0()(])
([
k k k k n
k k n n n
n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L
）（2
微分定理初始条件为0时
)
(])([s F s dt t f d L n n
n =一般形式
∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+
+=+=
n
k t n n k n n n
n t t t dt t f s
s s F dt t f L s
dt t f s dt t f s s F dt t f L s
dt t f s s F dt t f L 10
10
2
2022
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个
共个
共 3
积分定理
初始条件为0时
n
n n s
s F dt t f L )
(]))(([=⎰⎰个
共 4延迟定理（或称域平移定理）t )
()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--5
衰减定理（或称域平移定理）s )
(])([a s F e t f L at +=-6终值定理)
(lim )(lim 0
s sF t f s t →∞
→=7
初值定理
)
(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=
420
8
卷积定理
)
()(])()([])()([210
210
21s F s F d t f t f L d f t f L t
t =-=-⎰⎰τττττ2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表序
号 拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
Z 变换E(z)
1
1
δ(t)1
2
Ts
e --11∑∞
=-=0)
()(n T nT t t δδ1
-z z 3s
1)
(1t 1
-z z 42
1s t
2
)1(-z Tz 53
1s 2
2t 3
2
)1(2)1(-+z z z T
61
1+n s !n t n )(!)1(lim 0aT
n n n a e z z a n -→-∂∂-7a
s +1at
e
-aT
e z z
--82
)(1a s +at
te -2
)(aT aT e z Tze ---9)
(a s s a +at
e
--1)
)(1()1(aT aT e z z z e -----10)
)((b s a s a b ++-bt
at e e ---bT aT e z z
e z z ----
-112
2ωω
+s t
ωsin 1
cos 2sin 2+-T z z T
z ωω122
2ω+s s t
ωcos 1
cos 2)cos (2
+--T z z T z z ωω132
2)(ωω
++a s t e at
ωsin -aT
aT aT e T ze z T
ze 22cos 2sin ---+-ωω14
2
2)(ω+++a s a s t
e
at
ωcos -aT
aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω
421
15
a
T s ln )/1(1
-T
t a /a
z z -3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进
行反变换。

设是的有理真分式
)(s F s （）0
11
10
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- m n >式中系数，都是实常数；是正整数。

按代数定理可
n n a a a a ,,...,,110-m m b b b b ,,,110- n m ,将展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

)(s F ① 无重根
0)(=s A 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

（F-1）∑=-=-++-++-+-=n
i i
i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)( 式中，是特征方程A(s)＝0的根。

为待定常数，称为F(s)在处的留数，可n s s s ,,,21 i c i s 按下式计算：
（F-2）
)()(lim s F s s c i s s i i
-=→或
（F-
i
s
s i s A s B c ='=
)()
(3）
式中，为对的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
)(s A ')(s A s
＝ (F-4)
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1)()(t
s n i i i
e c -=∑1
②
有重根
0)(=s A 设有r 重根，F(s)可写为
0)(=s A 1s ())
()()()
(11n r r s s s s s s s B s F ---=
+
422
=
n
n i i r r r
r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+
+-++-+-++-+-++-- 11
111111)()()(式中，为F(s)的r 重根，，…, 为F(s)的n-r 个单根；
1s 1+r s n s 其中，，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算，，，…, 则按下式计算：
1+r c n c r c 1-r c 1c )
()(lim 11
s F s s c r s s r -=→)]()([lim
111
s F s s ds
d
c r s s r -=→- (F-5)
)()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r -=→-
)
()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s --=--→原函数为
)(t f
[]
)()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11
111
1111)()()(
（F-6）
t s n
r i i t s r r r r i
e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211
1
)!2()!1(。