信号有效奇异值的数量规律及其在特征提取中的应用
奇异值分解在深度学习中的特征提取方法(五)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种常用的矩阵分解方法，其在深度学习中被广泛应用于特征提取和降维。
本文将从数学原理、在深度学习中的应用以及未来的发展趋势等方面对奇异值分解在深度学习中的特征提取方法进行探讨。
首先，我们来简单介绍一下奇异值分解的数学原理。
对于一个矩阵A，其奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的主要思想是将原始矩阵分解为三个矩阵的乘积，这三个矩阵分别代表了原始矩阵的空间变换、奇异值以及数据的重构空间，通过对这些矩阵的分析和处理，我们可以实现对原始矩阵的特征提取和降维。
在深度学习中，奇异值分解被广泛应用于特征提取和降维。
以图像处理为例，我们可以将图像矩阵进行奇异值分解，然后选取其中的部分奇异值和对应的奇异向量，通过这种方式可以实现对图像特征的提取和表示。
此外，在自然语言处理、推荐系统等领域，奇异值分解也被用于提取数据的重要特征，从而实现对数据的分析和处理。
除了在特征提取和降维方面的应用，奇异值分解还被应用于深度学习模型的参数初始化和优化。
在深度神经网络中，参数的初始化对模型的训练和收敛至关重要，而奇异值分解可以帮助我们对参数进行初始化，从而提高模型的训练效果。
此外，奇异值分解还可以用于模型的压缩和加速，通过对模型参数矩阵进行奇异值分解，可以将其分解为更小的子矩阵，从而实现对模型的精简和加速。
随着深度学习技术的不断发展，奇异值分解在深度学习中的应用也将不断拓展。
未来，我们可以预见奇异值分解在图像生成、数据增强、模型解释等方面的应用，以及与其他深度学习技术的结合，将会为深度学习领域带来更多的创新和突破。
总之，奇异值分解作为一种重要的矩阵分解方法，在深度学习中发挥着重要作用，其在特征提取、参数初始化和模型优化等方面都具有重要的应用价值。
随着深度学习技术的不断进步和发展，奇异值分解在深度学习中的应用也将会不断拓展和深化，为深度学习领域的发展带来新的机遇和挑战。
矩阵SVD算法在机器学习特征提取中的应用
矩阵SVD算法在机器学习特征提取中的应用在机器学习领域，数据的特征提取是一个重要的预处理步骤。
该步骤的目标是将原始数据转换为更高效、更易于处理的表示形式。
矩阵奇异值分解（SVD）算法是一种常用的特征提取方法，它在维度约简、噪声过滤和潜在语义分析等方面具有广泛的应用。
一、矩阵奇异值分解（SVD）算法的基本原理矩阵奇异值分解算法是一种用于将矩阵分解为三个矩阵乘积的技术。
给定一个矩阵A，SVD算法可以找到三个矩阵U、S和V，使得A ≈U*S*V^T。
其中，U和V是正交矩阵，S是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
二、矩阵SVD算法在维度约简中的应用在机器学习中，高维数据常常会导致维度灾难问题，影响模型的性能和效率。
通过使用SVD算法，可以对数据进行维度约简，去除冗余信息，提取出最重要的特征。
以图像处理为例，对一个图像的每个像素点构成一个特征向量，将所有特征向量组成的矩阵进行SVD分解，可以得到图像中的主要模式。
通过保留前k个最大奇异值及其对应的特征向量，就可以实现对图像的维度约简。
这不仅加快了后续处理的速度，还可以过滤掉图像中的噪声。
三、矩阵SVD算法在噪声过滤中的应用在实际应用中，数据常常包含各种噪声，影响了模型的性能。
SVD 算法可以通过保留奇异值较大的特征向量，抑制与噪声相关的特征，实现噪声过滤的效果。
例如，对于语音信号处理，语音信号在传输过程中容易受到背景噪声的干扰。
通过将语音信号的数据矩阵进行SVD分解，筛选出奇异值较大的特征向量，可以降低噪声对语音信号的影响，提高语音信号的质量。
四、矩阵SVD算法在潜在语义分析中的应用潜在语义分析是文本挖掘中的一项重要任务，旨在从大规模文本数据中挖掘隐含的语义信息。
SVD算法可以应用于潜在语义分析中，帮助理解文本的主题结构和隐藏的语义关系。
通过将文本数据构成的矩阵进行SVD分解，可以得到文本的主题向量和主题词。
这些主题向量和主题词可以作为文本的表示形式，用于聚类、分类和检索等任务。
矩阵SVD算法在机器学习特征提取中的应用
矩阵SVD算法在机器学习特征提取中的应用机器学习是近年来快速发展的热门领域，其在各个行业和领域中的应用越来越广泛。
在机器学习模型的建立过程中，特征提取是至关重要的一步，它对最终模型的性能和效果有着直接的影响。
而矩阵SVD （奇异值分解）算法作为一种经典的线性代数工具，被广泛地应用于机器学习中的特征提取任务。
本文将介绍矩阵SVD算法在机器学习特征提取中的应用，并探讨其优势和不足。
一、矩阵SVD算法概述矩阵SVD算法，即奇异值分解算法，是一种常用的矩阵分解方法。
对于一个m×n的矩阵A，奇异值分解将其分解为三个矩阵的乘积：A=UΣVT，其中U、Σ、V分别是m×m、m×n和n×n的矩阵，并且满足UUT=I、VVT=I，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的主要应用领域是信号处理、图像压缩和数据降维等。
二、矩阵SVD算法在特征提取中的应用1. 数据降维在机器学习中，通常遇到的问题是维度灾难，即数据的维度非常高。
高维数据不仅会增加计算的复杂性，而且还可能导致过拟合等问题。
矩阵SVD算法可以通过保留奇异值较大的特征向量，将原始数据投影到一个低维空间中，从而实现数据的降维。
这样一来，可以保留更多与目标变量相关的信息，提高模型的预测性能。
2. 特征选择在机器学习中，特征选择是指从原始特征中挑选出对目标变量有较强相关性的特征。
矩阵SVD算法可以通过计算特征矩阵的奇异值，判断每个特征对应的重要性。
通过保留奇异值较大的特征向量，可以实现对特征的选择，提高模型的泛化能力。
3. 文本挖掘在文本挖掘任务中，常常需要对大量的文本数据进行特征提取。
矩阵SVD算法可以将文本数据转化为一个低维的向量表示，从而方便后续的分类、聚类等任务。
通过将文本数据投影到奇异值较大的特征向量上，我们可以获得文本的主题信息，忽略掉噪声和冗余信息。
三、矩阵SVD算法的优势和不足1. 优势（1）矩阵SVD算法具有数学原理清晰、稳定可靠的特点，是一种被广泛验证和应用的算法；（2）矩阵SVD算法能够提取数据中的主要特征，降低数据的维度，减少冗余信息，提高模型的效率和泛化能力；（3）矩阵SVD算法适用于不同类型的数据，包括数值型数据、文本型数据等。
如何利用奇异值分解进行特征提取
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解方法，在机器学习、图像处理、推荐系统等领域都有广泛的应用。
利用奇异值分解进行特征提取是其中的重要应用之一。
本文将从奇异值分解的基本原理、特征提取的概念以及具体的实际应用等方面进行论述。
### 奇异值分解的基本原理奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，其基本形式为A=UΣV^T，其中 A 是一个m×n 的矩阵，U 是一个m×m 的矩阵，Σ 是一个m×n 的矩阵，V^T 是一个n×n 的矩阵。
其中 U 和 V^T 是正交矩阵，Σ 是一个对角矩阵，对角线上的元素称为 A 的奇异值。
通过奇异值分解，我们可以得到矩阵 A 的基本特征信息，如主要特征值、特征向量等，这些信息对于后续的特征提取和降维处理非常重要。
### 特征提取的概念特征提取是指从原始数据中提取出具有代表性和区分性的特征，以便用于后续的分类、聚类、识别等任务。
在图像处理中，特征可以是像素的灰度值、纹理特征、形状特征等；在自然语言处理中，特征可以是词频、词性、句法结构等。
特征提取的目的是将原始数据转化为具有更高可区分性和可分类性的特征表示，从而提高后续任务的准确性和效率。
奇异值分解作为一种重要的特征提取方法，可以帮助我们从原始数据中挖掘出重要的特征信息，为后续的数据处理和分析提供支持。
### 奇异值分解在图像处理中的应用在图像处理领域，奇异值分解常常被用来进行图像压缩、图像去噪、图像特征提取等任务。
以图像特征提取为例，我们可以利用奇异值分解将图像转化为低维特征表示，从而实现对图像的简化和抽象。
具体来说，我们可以将一幅图像表示为一个矩阵，然后利用奇异值分解对这个矩阵进行分解，得到其主要的特征信息。
通过保留最重要的奇异值和对应的奇异向量，我们可以将图像的特征信息抽取出来，从而实现对图像的特征提取和表示。
特征提取在信号处理中的应用(Ⅲ)
特征提取在信号处理中的应用信号处理是信息科学和工程领域中的一个重要研究方向，其目标是对信号进行分析、处理和识别，以提取有用的信息。
特征提取作为信号处理的重要环节，对于从原始信号中提取有用的信息具有至关重要的作用。
本文将从不同角度探讨特征提取在信号处理中的应用。
1. 时域特征提取时域特征提取是对信号在时间轴上的特征进行分析。
在语音信号处理中，时域特征提取常用于语音识别和情感识别等应用。
例如，通过对语音信号的短时能量、过零率和基音频率等特征进行提取，可以实现语音信号的识别和分类。
此外，时域特征提取还常用于生物医学信号处理中，如心电信号和脑电信号的特征提取，以实现心脏病和脑疾病的诊断和监测。
2. 频域特征提取频域特征提取是对信号在频率域上的特征进行分析。
在图像处理中，频域特征提取常用于图像识别和匹配。
通过对图像信号的傅里叶变换，可以将图像信号转换到频域，然后提取其频谱特征，如频域直方图、频域均值等，以实现图像的分类和识别。
同样，在音频处理中，频域特征提取也常用于音频信号的音乐信息检索和音乐分类。
3. 时频域特征提取时频域特征提取是对信号在时域和频域上的特征进行联合分析。
在振动信号处理中，时频域特征提取常用于故障诊断和状态监测。
通过对振动信号的小波变换，可以将信号在时域和频域上进行联合分析，提取其时频特征，如瞬时频率、瞬时能量等，以实现设备故障的诊断和监测。
4. 统计特征提取统计特征提取是对信号的统计特性进行分析。
在通信信号处理中，统计特征提取常用于信号的调制识别和通信系统的性能评估。
通过对通信信号的统计特征，如均值、方差、偏度和峰度等进行提取，可以实现对信号调制方式的识别和通信系统性能的评估。
此外，统计特征提取还常用于金融时间序列数据的特征提取和预测。
总结特征提取在信号处理中具有广泛的应用，涉及语音、图像、音频、振动、通信等多个领域。
通过对信号的时域、频域、时频域和统计特征进行提取，可以实现对信号的分析、处理和识别，为实现各种应用提供了重要的技术支持。
信号特征提取方法与应用研究
信号特征提取方法与应用研究信号特征提取方法与应用研究一、引言信号特征提取是指从原始信号中提取出具有代表性的信息，用于研究和分析信号的特性和模式。
在不同领域的应用中，信号的特征提取是非常重要的一步。
信号特征可以揭示信号内在的规律和特点，从而为信号处理、分类、识别、故障诊断等提供理论基础。
本文旨在探讨信号特征提取方法的原理与应用研究。
二、信号特征提取方法目前，常用的信号特征提取方法主要包括时域特征、频域特征和小波特征等。
时域特征是通过对信号的幅值序列进行分析，提取出信号的均值、方差、能量等统计量的方法。
频域特征是通过将信号进行傅里叶变换，得到信号的频谱信息，从而提取信号的频率、幅值以及相位等特征。
小波特征则是将信号进行小波变换，得到信号的时频分布特性，从而提取信号的时频信息。
三、信号特征提取方法的应用研究1. 信号处理信号特征提取在信号处理中起到了至关重要的作用。
信号处理是指对信号进行滤波、降噪、去噪等处理，以提高信号的质量和清晰度。
信号特征提取可以帮助我们寻找到信号中的有效信息，从而更好地进行信号处理。
2. 信号分类与识别在信号分类与识别中，利用信号特征提取可以对不同类别的信号进行区分和判别。
通过比较信号特征之间的差异，可以对信号进行有效的分类和识别。
例如，声音信号的频谱特征可以用于语音识别，图像信号的纹理特征可以用于图像分类等。
3. 故障诊断信号特征提取在故障诊断中也具有重要的应用价值。
通过对故障信号进行特征提取，可以发现信号中的故障模式和规律。
例如，在机械设备故障诊断中，可以通过振动信号的频率谱特征、包络谱特征等来判断设备是否存在故障。
四、信号特征提取方法的优化研究为了更好地提取信号特征，目前还存在一些需要解决的问题。
例如，当信号存在噪声时，噪声会对信号的特征提取造成干扰。
因此，如何有效地降低噪声对信号特征提取的影响，是一个亟待解决的问题。
此外，当前的信号特征提取方法还存在一定的局限性，无法完全满足复杂信号的特征提取需求。
特征提取在信号处理中的应用(五)
特征提取在信号处理中的应用一、引言信号处理作为一门重要的学科，旨在提取和分析各种类型的信号。
而在信号处理中，特征提取是一项至关重要的工作。
特征提取能够将原始信号转换为易于分析和理解的形式，从而为信号处理领域的进一步研究和应用提供了基础。
本文将探讨特征提取在信号处理中的应用，并对其意义和方法进行分析。
二、特征提取的意义在信号处理中，原始信号可能具有非常复杂的特性和结构，这使得直接对信号进行分析和处理变得非常困难。
特征提取的意义在于，通过对原始信号进行转换和提取，可以将信号中的关键信息提取出来，从而简化信号的复杂性，使得进一步的分析和处理变得更加容易和有效。
特征提取能够帮助我们发现信号中的规律和特性，从而为信号处理提供了基础。
三、特征提取的方法在信号处理中，特征提取的方法多种多样。
其中，常用的方法包括时域特征提取、频域特征提取和时频域特征提取等。
时域特征提取是指将信号在时间域上进行分析和处理，常用的时域特征包括均值、方差、峰值等。
频域特征提取则是将信号转换到频率域进行分析，常用的频域特征包括功率谱密度、频谱特性等。
而时频域特征提取则是结合时域和频域的方法进行分析，常用的时频域特征包括小波变换、短时傅里叶变换等。
这些方法能够有效地提取信号的关键特征，为信号处理提供了基础。
四、特征提取在语音信号处理中的应用语音信号是一种重要的信号类型，在语音处理中，特征提取起着至关重要的作用。
通过对语音信号的特征提取，我们可以从中获取到许多有用的信息，例如说话人的身份、情绪状态等。
在语音信号的特征提取中，常用的方法包括基频提取、共振峰提取、短时能量特征提取等。
这些特征能够帮助我们更好地理解语音信号的特性，为语音处理提供了基础。
五、特征提取在图像信号处理中的应用图像信号是另一种重要的信号类型，在图像处理中，特征提取同样具有重要作用。
通过对图像信号的特征提取，我们可以从中获取到许多有用的信息，例如图像的边缘特征、纹理特征等。
奇异值分解在数据挖掘中的特征提取方法(九)
奇异值分解在数据挖掘中的特征提取方法引言随着信息时代的到来，数据的重要性变得越来越显著。
数据挖掘作为一种从数据中提取模式和知识的方法，被广泛应用于商业、科学和工程领域。
在数据挖掘中，特征提取是一个至关重要的步骤，它可以帮助我们从大量的数据中提取出最重要的特征，从而更好地理解和利用数据。
奇异值分解（SVD）作为一种有效的特征提取方法，在数据挖掘中得到了广泛的应用。
奇异值分解的原理奇异值分解是一种矩阵分解的方法，能够将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
对于一个实数矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的主要作用是将原始矩阵A转换为一个更简洁、更易处理的形式，从而减少数据的维度和复杂度。
奇异值分解在特征提取中的应用在数据挖掘中，奇异值分解可以用来提取数据的主要特征。
通过对原始数据进行奇异值分解，我们可以得到数据的主成分，从而更好地理解数据的结构和特点。
此外，奇异值分解还可以帮助我们降低数据的维度，从而减少数据的复杂度和计算成本。
因此，奇异值分解在数据挖掘中被广泛应用于特征提取和降维处理。
奇异值分解与主成分分析的关系奇异值分解与主成分分析（PCA）是密切相关的。
主成分分析是一种常见的特征提取方法，它通过线性变换将原始数据投影到新的坐标系中，并且保留最重要的特征。
而奇异值分解可以看作是主成分分析的一种推广，它可以对非方阵进行分解，并且能够得到更加稳定和准确的结果。
因此，奇异值分解在实际应用中往往比主成分分析更加可靠和有效。
奇异值分解在图像处理中的应用除了在数据挖掘中的应用，奇异值分解还广泛应用于图像处理领域。
图像可以看作是一个二维矩阵，而奇异值分解可以帮助我们提取图像的主要特征，从而实现图像的压缩和去噪。
通过对图像进行奇异值分解，我们可以得到图像的主成分，从而减少图像的数据量，提高图像的压缩率和传输效率。
此外，奇异值分解还可以帮助我们去除图像中的噪声，从而提高图像的质量和清晰度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
信号有效奇异值的数量规律及其在特征提取中的应用作者：赵学智聂振国叶邦彦陈统坚来源：《振动工程学报》2016年第03期摘要：针对信号的有效奇异值选择问题，发现了有效奇异值和信号频率个数之间存在重要联系，研究结果表明有效奇异值数量由信号中的频率个数决定，而与频率大小及其幅值无关，只要信号所构造矩阵的维数大于信号中频率个数的两倍，则每一个频率成分产生两个有效奇异值。
研究了噪声干扰下有效奇异值的分布规律，发现随着矩阵维数的增加，有效奇异值受噪声的影响逐渐变小，而噪声产生的奇异值则会被分离到有效奇异值之后。
基于每一个频率成分产生两个奇异值这一特性，提出利用SVD提取由一个或多个特征频率构成的特征信号时域波形，并将这一方法用于轴承和转子振动的波形特征提取，其效果优于小波变换。
关键词：信号处理；奇异值分解；有效奇异值；特征提取中图分类号： TN911.7； TH165+.3 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2016）03-0532-10DOI：10.16385/ki.issn.10044523.2016.03.020引言近年来，奇异值分解（Singular value decomposition， SVD）在振动模态[1]、心电信号[23]、声发射信号[4]、机械故障诊断[56]、小波变换[7]、地球电磁场信号[8]等方面获得了广泛的应用。
如Araujo等利用SVD中的左奇异向量来估计梁的振动模态[1]；Ahmed等将SVD和小波变换相结合用于心电信号的压缩[2]；Jung WooHyuk等则利用SVD方法来提取心电信号的R波峰[3]；Samraj等利用SVD提取刀具声发射信号的特征，用于对刀具磨损的监测[4]；Su Zhongyuan等将SVD和HilbertHuang变换相结合，用于对齿轮箱故障的识别和分类[5]；Cong Feiyun等提出了一种短时序列矩阵的SVD方法，用于轴承故障诊断[6]；此外，SVD对Morlet 小波变换冗余数据的压缩[7]和信号消噪[8]也有很好的效果。
总的说来，在这些应用中，都会面临着一个重要问题，那就是有效奇异值的确定问题，它决定着SVD的信号处理效果，但是这一问题从来没有很好地解决。
以信号降噪为例，其关键是选择出合理的奇异值进行SVD重构，才能得到既消除了噪声，又保留了原信号所有频率信息的处理结果，然而对于一个有着特定频率个数的信号，它到底有多少个有效奇异值的问题很少有人认真去研究过。
文[9]在估计正弦信号的奇异值时，认为一个频率对应一个奇异值，但这一结果值得商榷。
此外更多的研究都是集中于利用奇异值进行各种运算得到一些特征点来确定有效奇异值，如差分谱法[10]、奇异熵法[11]、聚类法[12]等等，这些方法并没有从根本上分析信号的有效奇异值个数问题，只是通过对奇异值序列进行不同运算得到一些特征点，由此来选择有效奇异值，但是在实际应用中总是难以适应各种不同的情况。
文[13]利用SVD来获得彼此独立的分量信号，文中讨论了矩阵行数和列数对分量信号独立性的影响，并认为矩阵行数大于15时可以获得具有独立性的一组分量信号。
文[14]则将这种方法引入到轴承的故障诊断中，并分别采用大的奇异值和分量信号的能量作为神经网络的输入来识别轴承的故障。
在这两篇论文中均未涉及到奇异值数目和频率个数的关系问题，也未涉及到单个频率的分离问题，而这两个问题是本文的研究核心。
通过研究，发现了有效奇异值个数和信号所含频率个数之间的内在关系，指出有效奇异值数目仅由频率个数确定，而与频率大小、频率的幅值和相位无关，对于具有确定频率个数的信号，明确地指出了其有效奇异值的数目；文中进一步分析了噪声干扰下信号的奇异值分布规律，分析了频率的幅值和奇异值大小的关系，这些结果为有效奇异值的选择具有明确的指导作用。
文中的研究结果还表明，利用频率和奇异值的内在联系，SVD还可对由一个或多个特征频率构成的特征信号进行提取，这种时域波形特征提取不同于通常的SVD消噪，也和利用SVD的左右奇异向量的正交性实现对特征向量的正交化有本质不同。
4 结论有效奇异值的选择一直是SVD研究中的一个重要问题，本文发现了有效奇异值个数和频率数量的内在联系，并分析了含噪信号的奇异值分布规律，这除了可为有效奇异值的选择提供明确的依据外，还可以利用SVD实现对由单个或多个频率构成的特征信号的时域波形进行提取。
总结全文，可以得到如下结论：（1）在Hankel矩阵方式下，信号的有效奇异值数量只与信号中的频率个数有关，而与频率大小及其幅值和相位无关，每一个频率成分总是最多只产生两个非零奇异值，频率的幅值越大，则其对应的两个奇异值也越大，且这两个奇异值总是一前一后紧密排在一起不会分开。
（2）对于含有r个频率成分的含噪信号，只要其构造的Hankel矩阵的维数大于2r，则其有效的奇异值个数为2r，并且随着矩阵维数的增加，有效奇异值受噪声的影响逐渐变小，而噪声产生的奇异值则会被分离到这2r个有效奇异值之后。
（3）基于每个频率产生两个非零奇异值这一特性，可以利用SVD对由单个或多个频率构成的特征信号的时域波形进行提取，提取的结果没有相位滞后，是一种零相移提取方法。
文中利用这种方法提取到了轴承振动的基频波形，结果显示这基频振动幅值是逐渐增长的，并通过这一方法提取到了转子系统由转频和二倍转频构成的时域波形以及各自单独的时域波形，结果显示了二倍转频振动先逐渐增大、后有所减小这一过程，这种特征提取效果远优于小波变换。
参考文献：[1] Araujo I G， Laier J E. Operational modal analysis using SVD of power spectral density transmissibility matrices [J]. Mechanical System and Signal Processing， 2014， 46（1）： 129—145.[2] Ahmed S M， Alzoubi Q， Abozahhad M. A hybrid ECG compression algorithm based on singular value decomposition and discrete wavelet transform [J]. Journal of Medical Engineering and Technology， 2007， 31（1）： 54—61.[3] Jung WooHyuk， Lee SangGoog. An Rpeak detection method that uses a SVD filter and a search back system [J]. Computer Methods and Programs in Biomedicine， 2012， 108（3）：1121—1132.[4] Samraj A， Sayeed S， Raja J E， et al. Dynamic clustering estimation of tool flank wear in turning process using SVD models of the emitted sound signals [J]. World Academy of Science，Engineering and Technology， 2011， 56： 1322—1326.[5] Su Zhongyuan， Zhang Yaoming， Jia Minping， et al. Gear fault identification and classification of singular value decomposition based on HilbertHuang transform [J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2011， 25（2）： 267—272.[6] Cong Feiyun， Chen Jin， Dong Guangming， et al. Shorttime matrix series based on singular value decomposition for rolling bearing fault diagnosis [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2013， 34 （12）： 218—230.[7] 赵学智，陈统坚，叶邦彦. 奇异值分解对连续Morlet小波变换的压缩和提纯[J]. 机械工程学报， 2015， 51（16）： 57—70.Zhao Xuezhi， Chen Tongjian， Ye Bangyan. Purification and compression of continuous Morlet wavelet transform based on singular value decomposition[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（16）： 57—70.[8] Reninger P A， Martelet G， Deparis J. Singular value decomposition as a denoising tool for airborne time domain electromagnetic data [J]. Journal of Applied Geophysics， 2011， 75（2）：264—276.[9] Baogang Hu， Raymond G Gosine. A new eigenstructure method for sinusoidal signal retrieval in white noise： estimation and pattern recognition [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1997， 45（12）： 3073—3083.[10] 赵学智，叶邦彦，陈统坚. 奇异值差分谱理论及其在车床主轴箱故障诊断中的应用[J]. 机械工程学报， 2010， 46（1）： 100—108.Zhao Xuezhi， Ye Bangyan， Chen Tongjian. Difference spectrum theory of singular value and its application to the fault diagnosis of headstock of lathe [J]. Journal of Mechanical Engineering，2010， 46（1）： 100—108.[11] WenXian Yang， Peter W T. Development of an advanced noise reduction method for vibration analysis based on singular value decomposition [J]. NDT&E International， 2003， 36（6）： 419—432.[12] 王维，张英堂，徐章遂. 基于动态聚类的奇异值降噪方法研究[J]. 振动工程学报，2008， 21（3）： 304—308.Wang Wei， Zhang Yingtang， Xu Zhangsui. Noise reduction in singular value decomposition based on dynamic clustering[J]. Journal of Vibration Engineering， 2008， 21（3）： 304—308.[13] Alonso F J， Salgado D R. Analysis of the structure of vibration signals for tool wear detection [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2008， 22（3）： 735—748.[14] Muruganatham B， Sanjith M A， Krishnakumar B， et al. Roller element bearing fault diagnosis using singular spectrum analysis [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2013，35（12）： 150—166.[15] 宋乾坤，柳斌. 矩阵奇异值的两个不等式的推广[J]. 自贡师专学报（综合版），1994， 4：77—79.Song Qiankun， Liu Bin. Generalization of two inequalities on singular values of matrix[J]. Journal of Zigong Junior College of Teachers （Integration Edition）， 1994， 4：77—79.[16] 赵学智，叶邦彦. 分量形成方式对奇异值分解信号处理效果的影响[J]. 上海交通大学学报， 2011， 45（3）： 368—374.Zhao Xuezhi， Ye Bangyan. Influence of formation manner of component on signal processing effect of singular value decomposition[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University， 2011， 45（3）： 368—374.[17] Case Western Reserve University Bearing Data Center， Download a data file[EB/OL].http：///bearingdatacenter/pages/downloaddatafile.[18] 赵学智，叶邦彦，陈统坚. 无显式表达小波在不同尺度下的离散生成算法及幅频特性[J]. 振动工程学报， 2011， 24（5）： 546—554.Zhao Xuezhi， Ye Bangyan， Chen Tongjian. Discrete generation algorithm and amplitudefrequency property of wavelet without analytic expression in various scales[J]. Journal of Vibration Engineering， 2011， 24（5）： 546—554.。