函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有

n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞

=.若

{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的．

(2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.

(3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有

()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

（二）函数极限的定义

（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：()0

lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=．

2.充要条件：(1)()()0

lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-

→→→=⇔==;

(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞

→+∞

→-∞

=⇔==.

3.柯西准则：()0

lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当

100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.

4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0

lim ()lim (),

x x x x x x A ϕφ→→==则0

lim ()x x f x A →=.

5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞

存在.

（四）无穷小量的比较 (重点记忆)

1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.

(1)若()

lim

0()

x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()

lim ,())()

x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()

lim (0),())()

x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()

lim 1,())()

x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()

lim

(0),0,())()

k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,

sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x

x x x x x ⎫

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪

+⎪

-⎪⎭

()

2

11cos ~2(1)1~x x x x α

αα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记容,理解掌握)

定理1 0

00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.

定理2 0

lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.

定理3 (保号定理)：0

lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当

000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.

定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且

lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0

lim ()x x f x A →=．

定理6 无穷小量的性质：

(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．

定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim

(0)()f x A

B g x B

= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．

（六）重要公式 (重点记忆容,应考必备)

(1)0sin lim

1x x

x

→=

(2)1

1lim(1)e,lim(1)e n x

x n x n

→→∞

+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设

()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()

sin lim

1f x f x =,()()

1

lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦

)

(3)10110

10

0110,lim

,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m

---→∞-⎧ <⎪

++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩L L ． (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度

()ln ,0,(1),a x x

x x a a a x >>→+∞速度由慢到快

()ln ,0,(1),!,a n n

n n a a a n n >>→+∞速度由慢到快

(6)几个常用极限

)01,n a >=

1,n = lim

arctan 2

x x π

→+∞

=

lim arctan 2

x x π

→-∞

=-

lim arccot 0,x x →+∞

= lim arccot x x π→-∞

=

lim e 0,x x →-∞

= lim e ,x x →+∞

=∞ 0

lim 1x x x +

→=.