函数、极限、连续重要概念公式定理
函数极限连续知识点总结
函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。
对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。
1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。
上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。
通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。
这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。
1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
高数公式大全
高等数学公式总结第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=± 和差角公式：s i n s i n 2s i n c o s22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式： ::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+ ，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,1n a >=;1n =ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
数学中的函数极限与连续性知识点
数学中的函数极限与连续性知识点函数极限与连续性是数学中非常重要的概念，在解决实际问题和理论研究中起着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨函数极限与连续性的基本概念、性质以及相关定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
一、函数极限的定义与性质函数极限是研究函数在某一点上的变化趋势的重要工具。
在介绍函数极限之前，我们首先需要定义一些基本的概念。
设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都能找到另一个正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，其中A为常数，则称函数f(x)在点x_0处极限为A，记作lim┬(x→x_0)f(x)=A。
函数极限具有以下性质：1.唯一性：函数极限是唯一的，即一个函数在某一点的极限只能有一个值。
2.局部有界性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x)| < M成立，其中M为常数。
3.局部保号性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有f(x)与A同号。
二、连续性的概念与性质连续性是函数学中的一个重要的概念，是函数极限的基础。
一个函数在一个点x_0处连续，意味着在该点的函数值与极限值相等。
函数f(x)在区间[a, b]上连续，是指f(x)在该区间内的每一个点都连续。
在具体分析连续性时，我们需要关注以下几个方面的性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内连续。
2. 复合函数的连续性：若f(x)在点x_0处连续，且g(x)在点y_0=f(x_0)处连续，则复合函数h(x) = g[f(x)]在点x_0处连续。
3. 极限运算法则：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，lim┬(x→x_0)g(x)=B，则lim┬(x→x_0)[f(x)±g(x)] = A±B，lim┬(x→x_0)[f(x)g(x)] = A·B，及lim┬(x→x_0)[f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。
函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有()lim n n f x A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1xx x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),ax xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >= 1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .(了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有()lim n n f x A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a xxx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >= 1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
极限与连续知识点总结
极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。
下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。
一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。
例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。
这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。
极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。
二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。
2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。
3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。
4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。
5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。
三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。
例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。
2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。
例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。
无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。
四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。
2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数,极限与连续
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：
它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限 值等于该点处的函数值.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 . 证 任取 x0 (- , + )，则因
有定义， 如果
x 0
lim y 0.
则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.
若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 ) 或 lim f ( x ) f ( x 0 ) ，
x x0
则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.
a O c b x y = f (x)
例 9 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至 少有一个实根.
证
设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 [0, 1]
上连续且 f (0) = 1 > 0， f (1) = - 2 < 0，因此由推 论可知，至少存在一点 c (0, 1) ，使得 f (c) = 0. 这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根 .
sin(x a ) lim x a ( x a ) cos a cos x
令 x – a t ，由 x a，则 t 0.
sint 1 1 上式 lim lim . 2 t 0 t cos a cos(t a ) t 0 cos a cos(t a ) cos a
因 此 lim y 0. 这表明 y = sin x 在 x0 处连续，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==;(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x xx x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩L L ． (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=.（七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 连续：如果()f x 在(),a b 点点连续．5. ()f x 在[],a b 连续：如果()f x 在(),a b 连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .(了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim(0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量.(4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x xx x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim ,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩L L ．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 连续：如果()f x 在(),a b 点点连续．5. ()f x 在[],a b 连续：如果()f x 在(),a b 连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。