等价关系与划分

不难看出，上述关系图被分为三个分离（互不连 通）的部分。每部分中的数两两都有关系(模3相等)， 位于不同部分中的数之间则没有关系。
称每一部分中的顶点构成了一个等价类。
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定义7.16（等价类） 设 R 为 非 空 集 合 上 的 等 价 关 系 ， xA， 令
[x]R={y|yA∧xRy}，称[x]R为x关于R的等价类，简 称为x的等价类，简记为[x]。 说明：
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对R求三种闭包共有6种顺序，问每种顺序的运算结 果是否一定为等价关系？
不一定。 由于对称闭包不一定保持关系的传递性，因此先求 传递闭包后求对称闭包得到的关系不一定是等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,2>,<3,2>}
str(R)=IA{<1,2>,<2,1>,<3,2>,<2,3>} 显然str(R)不是等价关系 用闭包运算去构造等价关系时，传递闭包运算应该 放在对称闭包运算的后面
所以R是对称的。 （3）x,y,z∈A，若<x, y>∈R，<y, z>∈R，
则有xyC， yzC。 xz=(xy)(yz)C <x,z>∈R. 所以R是传递的。 综上所证，R是A上的等价关系。
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画出等价关系R={<x,y>|x,yA∧x≡y(mod 3)}的 关系图 ，其中A={1,2,…,8}。
不相交，不能部分相交。 （4）：所有等价类的并集就是A （3）和（4）：等价关系将A划分成若干个互不相交的子集
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例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, yA∧x≡y（mod 3）}
等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, 6}
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定义7.17（商集）设R为非空集合A上的等价关系， 以R的所有等价类为元素的集合叫做A在R下的商集， 记作A/R，即A/R={[x]R|xA }
例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, yA∧x≡y（mod 3）}等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, 6}。
所以A在R下的商集为{{1, 4, 7}, {2, 5, 8}, {3, 6}}。 A在R下的商集也可写成{[1], [2], [3]}。 整数集Z在模n等价关系下的商集是 {{nz+i|zZ} | i=0,1,…n-1} 或{[0], [1], ..., [n-1]}
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定理7.14（等价类的性质） 设R为非空集合A上 的等价关系，则
（1）[x]是A的非空子集 （2）x，yA，如果xRy，则[x]=[y] （3）x，yA，如果xRy，则[x]与[y]不交 （4）∪{[x]|xA }=A
定理的含义： （1）：任何等价类都是集合A的非空子集 （2）和（3）：在A中任何两个元素，它们的等价类相等或
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定义7.18（划分）设A为非空集合，若A的子集族π （πP(A)，是A的子集构成的集合）满足以下的条 件：
（1）π （2）xy（x，yπ∧xy → xy=）
即π中任意两个集合不相交 （3）∪π=A，即π中所有集合的并集等于A 则称π是A的一个划分，称π中的元素为A的划分块
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例 设 A={a,b,c,d}，给定 π1,π2,π3,π4,π5,π6如下， 判 别它们是否为A的划分。
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例 设AN，R={<x, y>|x, yA∧x≡y (mod 3)} 为A上的 关系，其中x≡y (mod 3)叫做x与y模3相等，其含义为x 除以3的余数与y除以3的余数相等。证明R为A上的等 价关系。 证明:
xA，有x≡x (mod 3)，即<x, x>R，所以R是自 反的。
x,yA，若x≡y (mod 3)，则有y≡x (mod 3)。所以 R是对称的。
x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合。
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集合A={1,2,…,8}上的等价关系 R={<x, y>|x, yA∧x≡y（mod 3）}
等价类是： [1]=[4]=[7]={1，4，7} [2]=[5]=[8]={2，5，8} [3]=[6]={3，6}
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将模3的等价关系加以推广，可以得到整数集合 Z上的模n等价关系。
对于任意的整数x和y，定义模n相等关系： xyx≡y（mod n）
易证是整数集合Z上的等价关系。
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将Z中所有的整数根据它们除以n的余数分类如下： 余数为0的数，其形式为nz，zZ 余数为1的数，其形式为nz+1，zZ … 余数为n-1的数，其形式为nz+n-1，zZ 以上构成了n个等价类： [i]=[n+i]=[2n+i]=…={nz+i|zZ}，i=0,1,…n-1
x,y,zA，若x≡y (mod 3)，y≡z (mod 3)，则有x≡z (mod 3)。所以R是传递的。
综上R为A上的等价关系。
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例：已知A=P(X), CX, x, yA, <x,y>R xyC。 证明R为A上的等价关系.
证明： （1）xA，由于xx=C <x,x>R,
所以R是自反的。 （2）x,yA，<x,y>RxyCyxC<y,x>,
等价关系是一类重要的关系。 定义7.15(等价关系) 设R非空集合上的关系， 如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的 等价关系。 设R是一个等价关系，若<x，y>R，称x等价于 y，记作xy。
例 设A={1,2,3}，R1，R2，R3是A上的关系 R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>，<2,3>} R3={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>,<3,1>}
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例 设A为某班学生的集合，讨论下列关系是否为等 价关系。
R1={<x, y>|x, yA x与y同年生} R2={<x, y>|x, yA x与y同姓} R3={<x, y>|x, yA x的年龄比y小}
解：R1是等价关系； R2是等价关系； R3不是等价关系；
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通过闭包运算将任意的关系R构造成为一个等价关系 如tsr(R)必为一个等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,1>,<2,2>,<1,2>} tsr(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>}