周益春-材料固体力学课后习题解答

第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明]()()()jtks kt js kt js jt ks jt ks kt js jt ks kt js it js jt is ki it ks kt is ji jt ks kt js ii ktks ki jt js ji it is ii istijk e e δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=-++--=-+---==33习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为ασασσνσνsin cos 11)(xy xx j j +== ασασσνσνsin cos 22)(yy yx j j +== 033==j j v σνσ)(由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为ασασσστ2cos 2sin )(2122)()(xy xx yy n n n +-=-=-=σσσn习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。

试写出其边界条件。

[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫'+'+''=='+'+''=='+'+'=='222222222,cos ,cos ,cos z yx z z yx y z yx x f f f f z n n f f f f y n m f f f f x n l带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-'+'+'='+-'+'='+'+-'000p f f f f p f f f f p f zz z yy y xz x yz z yy yyx x xz z xy yxx x σοσσσοσοσ习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。

[解由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得θθσθσθσσcos sin 2sin cos 22xy yy xx rr ++=θθσθσθσσθθcos sin 2cos sin 22xy yy xx -+=zzzzσσ=r xy yy xx r θθσθθσθθσθθσσ=-++-=)sin (cos cos sin cos sin 22θθσθσθσσz zx yx z =-=sin cos θσθσσcos sin zx yz zr +=利用三角公式可将上面的式子改写为θσθσσσσσ2sin 2cos 22xy yyxx yyxx rr +-++=θσθσσσσσθθ2sin 2cos 22xy yyxx yyxx ---+=zzzzσσ=θσθσσσθ2cos 2sin 2xy yyxx r +--=θθσθσθσσz zx yx z =-=sin cos θσθσσcos sin zx yz zr +=习题6 一点的应力状态由应力张量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力张量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：031031031=++=++=++)(,)(,)(σσσσσσσσσc b c a b a解得21-===c b a习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。

根据主应力定义有：k k (k )n σn σk σ=•=， l k l l n σn σ)(σ=•=将以上两式分别点乘k n 和l n 再相减，得k l l k k l k n n n n n σn n σn •-•=••-••l k l σσσ是对称应力张量，上式可改写为l k n n )(•-=l k σσ0所以应力的三个主方向互相垂直（2）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为),,(n 111n m l k 、),,(n l 222n m l 00212121=++∴=•n n m m l l ,n n l k若1σ为复数，则2σ为其共轭复数，从而方向余弦),,(n 111n m l k 、),,(n l 222n m l 互为共轭 0212121>++∴n n m m l l 与主方向相互垂直矛盾所以三个主应力必为实数习题8 证明球形应力张量Ιm σ在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为m σ[证明] 球形应力张量332211e e e e e e Ιm m m m σσσσ++=，设任意斜面的方向余弦为()n m l ,,n 由斜面应力公式 n σσ(n)•=，得321(n)e e e σm m m n m l σσσ++= 由斜面正应力公式 n σσ(n)•=n ，得m m n n m l σσσ=++=)(222 由斜面剪应力公式，得0)(2222222)()(=-++=-=-=m m n n n n m l σσστσσσn习题9 求应力偏量张量的不变量[解] 应力张量σ可分解为球形应力张量Ιm σ和应力偏量张量S ，))(31(332211σσσσ++=m应力偏量张量)()(m ij ij ij S σδσ-==S ，其主应力方程为n S n n S =•，即)3,2,1(0)(==-j S S n ij n ij i δ上述方程存在非零解i n 的必要条件是系数行列式为零，即0333231232221131211=---nn nS S S S S S S S S S S S得到关于n S 的三次代数方程，032213='-'+'-J S J S J S n n n其中1J '，2J '和3J '分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量 设1S ，2S 和3S 为应力偏量张量的三个主值()m i i S σσ-=，则033322113322111=-++=++='m S S S J σσσσ ()()1332212122312231111333322222112113331131133322322222S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S J ++=++-++=++='3213332312322211312113S S S S S S S S S S S S J =='习题11 设rs Φ为二阶对称张量，证明由pm qn jmn ipq ij e e ,φσ=导出的应力一定满足无体力的平衡方程 [证明] pmj qn jmn ipq j ij e e ,,φσ= 又j jm e , 关于m ，j 反对称，pmj qn ,φ关于m ，j 对称0,,==∴pmj qn jmn ipq j ij e e φσ，即pm qn jmn ipq ij e e ,φσ=满足无体力的平衡方程，0,=j ij σ－忽略体力下的平衡微分方程习题12 已知直角坐标系中各点的应力张量()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=020*******3222221x x x x x x ij σ，试求体积力分量[解] 根据平衡微分方程()3,2,1,,0,==+j i F i j ij σ，得 对谁偏导的问题000=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂z zzzy zx y yzyy yx x xzxy xx F zy x F z y x F z y x σσσσσσσσσ 得体积力分量为0,2,132===z y x F F x F习题13 如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为γ，承受着比重为1γ液体的压力，已求得应力解为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=-+=+=aydx y dy cx byax xy yy xx σγσσ，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数a ,b ,c 和d[解] 如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为()ββsin ,cos -n ，受外力y P P y x γ21,0==的作用 根据应力边界条件，()3,2,1,,==j i n P j ij i σ，在βytg x =处()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫--++--=---++=βλβγββsin cos 21sin cos 0y dy cx ay dx y ay dx by ax 水坝右侧表面法线的方向余弦为()0,1-n ，受外力0,1==y x P y P γ的作用 根据应力边界条件，()3,2,1,,==j i n P j ij i σ，在y 处()⎭⎬⎫+=+-=aydx by ax y 01γ由上述两个方程组，得βγβγβγγ21211,2,,0tg d ctg ctg c b a =-=-== 外力是如何确定的习题14 如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为γ的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。

[解] 如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为()ααsin ,cos --n ，受外力a y P y P y x sin 21,cos γαγ==的作用 根据应力边界条件，()3,2,1,,==j i n P j ij i σ，在αytg x =处⎪⎭⎪⎬⎫=--=--αγασασαγασασsin sin cos cos sin cos y y y xy xy x水坝右侧表面法线的方向余弦为()ββsin ,cos -n ，受外力0==y x P P 的作用 根据应力边界条件，()3,2,1,,==j i n P j ij i σ，在βyth x =处⎪⎭⎪⎬⎫=-=-0sin cos 0sin cos βσβσβσβσy xy xy x第二章习题1 初始时刻位于()321,,a a a 的质点在某时刻t 的位置为33322311;;a x ka a x ka a x =+=+=，其中510-=k ，求格林应变张量的分量。