函数的概念及其表示

函数的概念及其表示

一、什么是函数？

1、函数的定义：

设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。记作： y=f(x)，x ∈A ．

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 注意：

1) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。

2) 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数；而f()表示的是对应关系。（用集合关系讲解）

2、映射与函数

函数的特殊的映射

二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

1、函数是一个整体“y=f(x)，x ∈A ．”表示一个函数。函数=定义域+对应关系+值域

2、比喻理解：

定义域f −−

→值域 等价于 原材料f −−→产品 一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程

3、举例说明：2

1,y x x R =+∈

问：定义域？值域是？对应关系是？

三、求函数定义域

主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1

例题讲解：

1、1()f x x x =-

2、1()11f x x

=+ 3

、()f x = 4、2()ln(1)f x x =- 5

、()f x = 四、求函数解析式

1、函数的三种表达方法

解析式法+图像法+列表法

因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。

2、函数解析式求法

1) 配凑法

由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知22

22(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法

如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法

例题：已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式

3) 换元法

若已知(())f g x 的解析式，可用换元法 例题：已知22

22(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 4) 解方程组法

已知关于()f x 与1()f x 或者()f x -与()f x 的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解

例题：已知()f x +21

()f x =3x ，则求()f x 的解析式。