《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题

例1.如图，已知：在ABC中，C 90 , A 30 , BD平分ABC

交AC于D.

求证：D在AB的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD DA即可.

证明：T C 90 , A 30 （已知），

二ABC 60 （Rt的两个锐角互余）

又T BD平分ABC （已知）

1

二DBA 丄ABC 30 A.

2

• •• BD AD （等角对等边）

••• D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2.如图，已知：在ABC中，AB AC , BAC 120 , AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F。

求证：CF 2BF。

分析：由于BAC 120 , AB AC，可得 B C 30，又因为

EF垂直平分AB连结AF,可得AF BF .要证CF 2BF，只需证

CF 2AF ，即证FAC 90 就可以了.

证明：连结AF，

T EF垂直平分AB（已知）

FA FB （线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相

等）

二FAB B （等边对等角）

T AB AC （已知），

••• B C （等边对等角）

又J BAC 120 （已知），

二B C 30 （三角形内角和定理）

二BAF 30

二FAC 90

• •• FC 2FA （直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）/. FC 2FB

说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.

例3.如图，已知：AD平分BAC, EF垂直平分AD交BC延长线于F,连结AF。

分析：B 与CAF 不在同一个三角形中，又 B , CAF 所在的两 个三角形不全等，所以欲证 B CAF ，不能利用等腰三角形或全等

三角形的性质•那么注意到 EF 垂直平分AD 可得FA FD ，因此

FAD ADF ，又因为 CAF FAD CAD ， B ADF BAD ，而 CAD BAD ，所以可证明 CAF B .

证明：T EF 垂直平分AD （已知），

FA FD （线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相

等）

二 FAD ADF （等边对等角）

T B ADF BAD （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的

和），

CAF FAD CAD ,

又BAD CAD （角平分线定义），

/. B CAF

说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化， 如本例题中，EF 垂直平分AD 可以直接有结论FA FD ，不必再去证 明两个三角形全等.

求证：B

例4.如图，已知直线I和点A,点B,在直线I上求作一点P,使

PA PB.

分析：假设P点已经作出，则由PA PB，那么根据“到线段两端

点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB 的垂直平分线上.而点P又在直线I上，则点P应是AB的垂直平分线与垂线I的交点。

作法：1 .连结AB

2.作线段AB的垂直平分线，交直线I于点P.

则P即为所求的点.

说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上