二次函数的应用ppt课件
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二次函数应用PPT教学课件
用价值。解决这类实际问题时，首要 的一步就是___求_出__抛_物__线_解_析__式__， 而这一步必须把抛物线建立在特定的 ____直_角_坐__标_系____中才能顺利进行。 否则，将寸步难行！
生也 活是 中抛 有物 许线 多形 桥的
C
D
A
B
实例2、如图：有一座抛物线形的石拱桥，在正常水位时水面AB
——二次函数应用（一）
DJY
某抛物线如图所示： （1）根据图中所给信息，你能
说出它的哪些有关性质？
y D
9
C5
请同学们畅所欲言！
（2）你能求出这条抛物线 的解析式吗？怎样求？
A
2
-1 O
比比谁的方法好而多！
X=2
B X
5
交
点
式
解：
y D
9
抛物线与x轴交于A（-1，0）、 B（5，0）
两点
C5
可设抛物线解析式为y=a(x-5)(x+1)
1m
乙
谢谢大家 再见！
嘉兴市清河中学 初三数学组 制作：陈豪 2005年3月
敬请各位老师指导！
虎丘记
（袁宏道）
一、关于袁宏道和“公安派”：
袁宏道，明代文学家，湖广公安人，万历16年 中举人，万历20年中进士，万历23年任吴县县令， 颇有政绩，不到两年就辞官归隐。后又出仕官场， 官至吏部主事、稽勋郎中。著《袁中郎全集》。 袁宏道在明代文坛上占有重要地位。他与兄长 袁宗道、弟弟袁中道合称“公安三袁”，被称为 “公安派”。“公安派”在文学上反对形式主义和 拟古主义，在思想上反对封建礼教和儒家道统。他 们的作品也能打破传统诗文的陈规陋习，抒发个性， 清新流畅。但由于不适当地强调表现自我表现，忽 视社会现实，因而作品缺乏深厚的社会内容，思想 比较贫乏。
生也 活是 中抛 有物 许线 多形 桥的
C
D
A
B
实例2、如图：有一座抛物线形的石拱桥，在正常水位时水面AB
——二次函数应用（一）
DJY
某抛物线如图所示： （1）根据图中所给信息，你能
说出它的哪些有关性质？
y D
9
C5
请同学们畅所欲言！
（2）你能求出这条抛物线 的解析式吗？怎样求？
A
2
-1 O
比比谁的方法好而多！
X=2
B X
5
交
点
式
解：
y D
9
抛物线与x轴交于A（-1，0）、 B（5，0）
两点
C5
可设抛物线解析式为y=a(x-5)(x+1)
1m
乙
谢谢大家 再见！
嘉兴市清河中学 初三数学组 制作：陈豪 2005年3月
敬请各位老师指导！
虎丘记
（袁宏道）
一、关于袁宏道和“公安派”：
袁宏道，明代文学家，湖广公安人，万历16年 中举人，万历20年中进士，万历23年任吴县县令， 颇有政绩，不到两年就辞官归隐。后又出仕官场， 官至吏部主事、稽勋郎中。著《袁中郎全集》。 袁宏道在明代文坛上占有重要地位。他与兄长 袁宗道、弟弟袁中道合称“公安三袁”，被称为 “公安派”。“公安派”在文学上反对形式主义和 拟古主义，在思想上反对封建礼教和儒家道统。他 们的作品也能打破传统诗文的陈规陋习，抒发个性， 清新流畅。但由于不适当地强调表现自我表现，忽 视社会现实，因而作品缺乏深厚的社会内容，思想 比较贫乏。
二次函数的应用(经典) PPT
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件 衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
新版北师大九年级下2.4二次函数的应用课件ppt
【解析】 （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意 得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200， 整理得x2－45x＋350＝0， 解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意 ， 所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米， 则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为
4.02m2.
1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，
并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这
两个正方形面积之和的最小值是
cm2．
【答案】 12.5 或 25
2
2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所 示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其
4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常 数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE， 作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若 y 12 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用 40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教 学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
解析：
由4 y 7 x x 15.
二次函数的应用 ppt课件
通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
ppt课件
19
最值应用题——运动观点
一般地，函数y=f(x)的图象关于x轴对称 的图象的解析式是y=-f(x)
一般地，函数y=f(x)的图象关于y轴对称
的图象的解析式是y=f(-x)
ppt课件
4
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
求这个二次函数的解析式。
当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
求函数最值点和最值的若干方法：
直接代入顶点坐标公式
配方成顶点式
借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合
和x轴两个交点坐标求。
ppt课件
9
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
经过这三点的二次函数解析式； 在同一坐标系内画出这三个二次函数图象； 分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们
的表达式的区别与联p系pt课件，你发现了什么？ 3
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，设出 一般式y=ax2+bx+c是绝对通用的办法。
因为有三个待定系数，所以要求有三个已 知点坐标。
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的 一个交点坐标是（8,0），顶点是（6,12），求这个二次函数的解析式。（分 别用三种办法来求）
ppt课件
30.4二次函数的应用(第2课时)PPT课件(冀教版)
解:∵
S 24 4x x 4 x2 8x 4 (x 3)2 12
3
3
3
且a= 4 <0,
3
∴当x=3时,S有最大值,且 S 12 . 最大
答:当x=3时,矩形框架ABCD的面积S 最大,最大面积为12 m2.
利用二次函数解决生活实际中最值问题的 一般方法: 1.根据题意找等量关系,列出二次函数的表 达式,求出符合题意的自变量的取值范围. 2.在自变量的取值范围内,求出二次函数的 最大值或最小值.
(教材第44页例3)一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1
档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每
提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只
从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润? 思考: 题目涉及哪些变量?哪个量是自变量?哪些量随之产生了变化?
成矩形ABCD的最大面积是 ( C )
A.60 m2
B.63 m2
C.64 m2
D.66 m2
解析:设BC=x m,矩形ABCD的面积为y m2,根据题意得y=(16-x)x=x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,ymax=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是 64 m2.故选C.
2.如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°, AB=8 cm,AC=6 cm,点P
[知识拓展]
1.求二次函数最值最常用的方法有两种:
(1)配方法:
y ax2 bx c
a
x2
b a
x
c
若a>0,则当x=- b
2a
时,y最小值=
4ac b2 4a
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
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种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－(t－
4)2＋40，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点
火升空到引爆需要的时间为( B )
A．2 s B．4 s
C．6 s D．8 s
例题解析 例2、如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近 似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若 两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。 (1)、若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求 这条抛物线的函数关系式。 (2)、计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长（精 确到0.1m）
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
(18.51,-7.23)
7
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的 最大值和最小值的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围;
配方变形，或利用公式求它的最大值 或最小值;
检查求得的最大值或最小值对应的自 变量的值必须在自变量的取值范围内 .
8
3
练习第：2某课桥时洞建的立截二面次是函抛数物的线模型型，解如决图实2际1问－题4－5 所示，在图中 建立的平面直角坐标系中，抛物线的关系式为 y＝－14x2，当桥洞水
面宽 AB 为 12 米时，水面到桥拱顶点 O 的距离为____9____米．
[解析] 依题意，设 A 点坐标为(－6，y)， 将 A(－6，y)代入抛物线关系式，得 y＝－14× (－6)2＝－9，即水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米．
21.4 二次函数的应用
利用二次函数的最值解决实际问题(2) ----与最大高度有关的问题
1
基础自主学习
2
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间
t(秒)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离
地面的最大高度是( C ) A．1米 B．5米
C．6米
D．7米
2．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这
6
练习：赵州桥桥拱跨径37.02m, 拱高7.23m.
你能建立恰当的直角坐标系并写出与该抛物线
桥拱对应的二次函数关系式吗?试试看. 1. 先建立直角坐标系;
以桥拱的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原 点的铅垂线为纵轴建立直角坐标系.
2.求抛物线对应的二次函数关系式.
y
设函数关系式为:
y=ax2
4
例题解析
5
练习：某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图 21－4 －4，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐 标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y＝－2x2＋8x(单位：米)
的一部分，则水喷出的最大高度是( A )
A．8 米 B．6 米 C．4 米 D．1 米
[解析] 由于 y＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，所以抛物线的顶 点坐标是(2，8)，因此，水喷出的最大高度是 8 米．