排列组合一轮复习学案

第一节：计数原理

基础梳理 一、计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有n 类不同的方案，在第一类方案中有1m 种不

同的方法，在第二类方案中有2m 种不同的方法，……，在

第n 类方案中有n m 种不同的方法，则完成这件事，共有N

＝v 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n 个不同的步骤，完成第一步有1m 种

不同的方法，完成第二步有2m 种不同的方法，……，完成

第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝

n m m m ⨯⨯⨯ 21种不同的方法．

二、两种计数原理的区别 两个原理的区别在于“分类”与“分步”，完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n 类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一个方法都能单独完成这件事，则用加法计数原理．若完成这件事需分为n 个步骤，这n 个步骤相互 依存，具有连续性，当且仅当这n 个步骤依次全都完成后，这件事才算完成，那么完成这件事的方法总数用乘法计数原理． 自我检测 1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有 ( C ) A ．238个 B ．232个 C ．174个 D ．168个 2．若y ＝f(x)是定义域为A ＝{x|1≤x≤7，x ∈N*}，值域为B ＝{0,1}的函数，则这样的函数共有 （ B ）

A ．128个

B ．126个

C ．14个

D ．12个

3．如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不

同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不

同的花，则不同的种法总数为 （ B ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48 4．某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A 、B 、C 、D ，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在 发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有__15______种． 例题讲解 题型一、分类加法计数原理的应用 【例1】 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？ 解：方法一：(1)当个位数字为0时，十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个满足条件的两位数；(2)当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8位满足条件的两位数；(3)当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条件的两位数；以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数分别有6,5,4,3,2,1,0个． 由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45个． 方法二：考虑两位数“ab ”与“ba ”中，个位数字与十

位数字的大小关系，利用对应思想计算．所有90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33， (99)

9个；另有10,20,30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置；其余90－18＝72个两位数，按“ab ”

与“ba ”进行一一对应，则每一个“个位数字小于十位数

字的两位数”就与另一个“十位数字小于个位数字的两位数”对应，故其中“个位数字小于十位数字的两位数”有72÷2

＝36个．故满足条件的两位数的个数为9＋36＝45个．

1.同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语

单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡

片，有____50____种不同的取法．

题型二、分步乘法计数原理的应用 【例2】 由数字1,2,3,4

(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字

大于十位数字，十位数字大于个位数字．

解：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成3

4＝64个3位

数．(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．(3)排出的三位数分别是432、431、421、321共4个． 2．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？ 解：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．获得冠军

的可能情况有5×5×5×5＝54(种)．

题型三、两类计数原理的综合应用

【例3】某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，2个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？（108）

3.(2010·湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多

有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( B ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．15

解析：若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24，由分类计数原理满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11.

题型四、涂色问题

【例4】 如图，用5种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 四

个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？

解：解法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事：

涂A 有5种涂法；涂B 有4种方法；涂C 有3种方法；涂D 有3种方法(还可以使用涂A 的颜色)．根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．解法二：由于A 、B 、C 两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A ＝60种涂法；又D 与B 、C 相邻、因此D 有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法． 4．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上

的两端异色，如果只有5种颜色可供使用， 求不同的染色方法总数．

解：方法一：以S 、A 、B 、C 、D 顺序分步染色．第一步，S 点染色，有5种方法；第二步，A 点染色，与S 在同一条棱上，有4种方法；第三步，B 点染色，与S 、A 分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C 点染色，也有3种方法，但考虑到D 点与S 、A 、C 相邻，需要针对A 与C 是否同色进行分类，当A 与C 同色时，D 点有3种染色方法；当A 与C 不同色时，因为C 与S 、B 也不同色，所以C 点有2种染色方法，D 点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种．

方法二：按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有5

5A 种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A 与C ，或B 与D)，共有2×4

5A 种不同的方法；

第三类，只有3种颜色，则A 与C 、B 与D 必定同色，共有

35A 种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方

法总数为55A ＋2×45A ＋3

5A ＝420种．

课后练习

1.在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ （ B ）

A.45

B.36

C.42

D.35 2.已知{}{}4,24,31,7,3,2--∈∈∈y x ，则y x ∙可表示不同的值的个数是 （ D ）

A.2

B.3

C.6

D.9

3.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一个人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 （ B ）

A.24种

B.36种

C.48种

D.72种

4.从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ B ）

A.300种

B.240种

C.144种

D.96种