《移动机器人原理与设计》第三章运动学
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移动机器人原理与设计第三章运动学
如果 ，，那么，机器人在平衡点是局部稳定的。 证明：在平衡点，做如下简化： 则
该闭环系统的系统矩阵： 特征方程为
如果 ，那么特征方程的所有根均具有负实部，则该 系统在平衡点附近是稳定的。证毕。
• 习题：
1.试给出建立全局参考坐标系和局部参考坐标系的必要性。 2. 对于差动机器人底盘，固定标准轮A如下图所示，若α＝90 度，β＝0度,θ（即全局框架横轴和局部参考框架横轴的夹 角）＝90度， l=1， r=2， ϕ为轮子旋转角度。试写出轮A 的滚动和滑动约束方程。
• 底盘的滑动约束
所用标准轮的滑动约束集合成一个单独表达式：
也表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考坐标系下 的运动投影到各个轮子的法平面内
• 例4
对两轮差动驱动机器人，求滚动约束和滑动约束的联合表达式。 解：联立约束方程，得
小脚轮无动力，可在任何方向自由运动， 和 分别简化 为 和 。 对右轮，α＝－π/2，β＝π；对左轮，α＝π/2，β＝0 可得总的约束方程：
左乘得，
进一步的运算可得：
• 3.4移动机器人的机动性
• 活动性程度 瞬时转动中心（即ICR） 四轮汽车和自行车的ICR 只有一个单独的ICR，才保证 机器人的运动是确定的 独立的滑动约束的数目可用 的秩来描述。一般地，对于一个安装有零个或多个标 准轮的机器人： 等于零时，表示机器人未安装标准轮；等于3时，表示机器 人在任何方向是完全受约束的，即它将不可能在平面中运动 。
• 移动机器人的运动控制 开环策略和闭环策略 点镇定、路径跟踪、轨迹跟踪
• 点镇定举例
• 在机器人局部参考坐标系下，给定实际位姿误差向量为 x，y和θ是机器人的目标坐标。如果存在一个控制矩阵K， ，
使得v（t）和w（t）的控制，
该闭环系统的系统矩阵： 特征方程为
如果 ，那么特征方程的所有根均具有负实部，则该 系统在平衡点附近是稳定的。证毕。
• 习题：
1.试给出建立全局参考坐标系和局部参考坐标系的必要性。 2. 对于差动机器人底盘，固定标准轮A如下图所示，若α＝90 度，β＝0度,θ（即全局框架横轴和局部参考框架横轴的夹 角）＝90度， l=1， r=2， ϕ为轮子旋转角度。试写出轮A 的滚动和滑动约束方程。
• 底盘的滑动约束
所用标准轮的滑动约束集合成一个单独表达式：
也表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考坐标系下 的运动投影到各个轮子的法平面内
• 例4
对两轮差动驱动机器人，求滚动约束和滑动约束的联合表达式。 解：联立约束方程，得
小脚轮无动力，可在任何方向自由运动， 和 分别简化 为 和 。 对右轮，α＝－π/2，β＝π；对左轮，α＝π/2，β＝0 可得总的约束方程：
左乘得，
进一步的运算可得：
• 3.4移动机器人的机动性
• 活动性程度 瞬时转动中心（即ICR） 四轮汽车和自行车的ICR 只有一个单独的ICR，才保证 机器人的运动是确定的 独立的滑动约束的数目可用 的秩来描述。一般地，对于一个安装有零个或多个标 准轮的机器人： 等于零时，表示机器人未安装标准轮；等于3时，表示机器 人在任何方向是完全受约束的，即它将不可能在平面中运动 。
• 移动机器人的运动控制 开环策略和闭环策略 点镇定、路径跟踪、轨迹跟踪
• 点镇定举例
• 在机器人局部参考坐标系下，给定实际位姿误差向量为 x，y和θ是机器人的目标坐标。如果存在一个控制矩阵K， ，
使得v（t）和w（t）的控制，
移动机器人运动学
– 由全方向轮构成的机器人 移动度为3 （改变轮速度，可以直接 控制移动机器人的三个自由度）
34
移动机器人的工作空间
机器人能够达到各种位姿的能力
• 工作空间：移动机器人在环境中可到达的可能姿态的范围 • 工作空间维度：移动机器人在环境中的自由度 • 机器人底盘的可移动度：通过改变轮速度可以控制的机器
l sin R( )I 0
转向标准轮 cos( ) sin( ) l sin R( )I 0
随时间变化
所有轮子的总约束表达式
J1(s C1 ( s
) )
R(
)
I
J2
0
23
基于约束的运动学建模
• 差速驱动机器人（前面同一个例子）
– 两个驱动轮是固定标准轮
右轮 / 2, 左轮 / 2, 0
汽车
自行车
28
活动性的程度
• 底盘的活动性是机器人运动上约束数目的函数， 而不是轮子数目的函数。
rank C1 s
C1
s
C1 f
C1s s
C1 f R I 0 C1s s R I 0
• 活动性程度
m dim N C1 s 3 rank C1 s
– 矩阵C1(βs)零空间的维数，注意0≤rank[C1(βs)]≤3 – 没有固定标准轮和可操纵标准轮时：rank[C1(βs)]=0 – 在任何方向都受约束时：rank[C1(βs)]=3
• 工作空间：
– 机械臂：机械臂末端执行器可能到达位置的范围 – 移动机器人：机器人在环境中可以到达的可能姿态的范围
• 可控性
– 机械臂：在工作空间中实现从一个位姿移动到另一个位姿 的控制方式
– 移动机器人：在工作空间中的可能路径和轨迹
34
移动机器人的工作空间
机器人能够达到各种位姿的能力
• 工作空间：移动机器人在环境中可到达的可能姿态的范围 • 工作空间维度：移动机器人在环境中的自由度 • 机器人底盘的可移动度：通过改变轮速度可以控制的机器
l sin R( )I 0
转向标准轮 cos( ) sin( ) l sin R( )I 0
随时间变化
所有轮子的总约束表达式
J1(s C1 ( s
) )
R(
)
I
J2
0
23
基于约束的运动学建模
• 差速驱动机器人（前面同一个例子）
– 两个驱动轮是固定标准轮
右轮 / 2, 左轮 / 2, 0
汽车
自行车
28
活动性的程度
• 底盘的活动性是机器人运动上约束数目的函数， 而不是轮子数目的函数。
rank C1 s
C1
s
C1 f
C1s s
C1 f R I 0 C1s s R I 0
• 活动性程度
m dim N C1 s 3 rank C1 s
– 矩阵C1(βs)零空间的维数，注意0≤rank[C1(βs)]≤3 – 没有固定标准轮和可操纵标准轮时：rank[C1(βs)]=0 – 在任何方向都受约束时：rank[C1(βs)]=3
• 工作空间：
– 机械臂：机械臂末端执行器可能到达位置的范围 – 移动机器人：机器人在环境中可以到达的可能姿态的范围
• 可控性
– 机械臂：在工作空间中实现从一个位姿移动到另一个位姿 的控制方式
– 移动机器人：在工作空间中的可能路径和轨迹
机器人学第3章 机器人运动学
(3.46)
如果已知一个表示任意旋转的齐次变换，那么就能够 确定其等价欧拉角。
3.2 机械手运动方程的求解
21
3.2.2 滚、仰、偏变换解
直接从显式方程来求解用滚动、俯仰和偏转表示的变 换方程。 RPY变换各角如下：
atan2(n y , n x ) 180 atan2(n z , cn x sn y ) atan2( sa x ca y , so x co y )
0
T6 0T1 (1 )1T2 (2 )2T3 (3 )3T4 (4 )4T5 (5 )5T6 (6 )
3.1 机器人运动方向的表示
5
3.1.1 运动姿态和方向角
用横滚、俯仰和偏转角表示运动姿态 另一种常用的旋转集合是横滚（roll）、俯仰（pitch） 和偏转（yaw）。
图3.3 用横滚、俯仰和偏转表示机械手运动姿态
3.1 机器人运动方向的表示 6
3.1.1 运动姿态和方向角
对于旋转次序，规定：
1
(3.16)
3.1 机器人运动方向的表示
15
3.1.3 连杆变换矩阵及其乘积
如果机械手与参考坐标系的相对关系是由变换 Z 来 表示的，而且机械手与其端部工具的关系由变换 E 表示，那么此工具端部对参考坐标系的位置和方向 可由变换 X 表示如下：
可求得：
X ZT6 E
T6 Z 1 XE 1
(3.52)
3.2 机械手运动方程的求解
22
3.2.3 球面变换解
把求解滚、仰和偏变换方程的技术用于球面坐标表示 的运动方程。 球面变换的解为：
atan2( p y , p x ), 180 atan2(cp x sp y , p z )
第3章运动学3
i ，使zi-1轴与zi轴在同一条直线上。
上述变换每次都是相对于动坐标系进行的，所以经过这四次 变换的齐次变换矩阵为
Ti Rot(z, i )Trans(0,0,di )Trans(ai 0,0)Rot(x, i )
cosi -sini 0 sin cos 0 i i Ti 0 0 1 0 0 0 cosi -sini cos i sin cos cos i i i 0 sin i 0 0 0 ai 1 0 0 0 0 cos i 1 di 0 sin i 0 1 0 0 ai cosi -cosi sin i ai sini cos i di 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 sini sin i 0 -sin i cos i 0 0 0 0 1
3.7 建立机器人运动学方程实例
对于一个六连杆的机器人，机器人手的末端（即连杆坐标系6） 相对于固定坐标系的变换可表示为 T60= T1 T2 T3 T4 T5 T6
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的
位姿来表示，如图所示。坐标系{B}可以这样来确定；取手部 的中心点为原点OB；关节轴为ZB轴，ZB轴的单位方向矢量a称 为接近矢量，指向朝外；两手指的连线为YB轴，YB轴的单位方 向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；XB轴与YB轴及ZB轴 垂直，XB轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n = o a， 指向符合右手法则。
值的大小是由zi-1和zi两轴之间的距离和夹角来决定的。
3.6.2 连杆坐标系之间的坐标变换
从oi-1系到o系之间的坐标变换，可令oi-1系经过下述变换顺序可 到： （1）绕zi-1轴旋转 i 角，使xi-1与 xi同向。 （2）沿zi-1轴平移一距离di，使xi-1与 xi在同一条直线上。 （3）沿xi 轴平移一距离ai，使oi-1系与到o系的坐标原点重合。 （4）绕xi轴旋转角
第3章 机器人导论操作臂运动学
3.4 对连杆附加坐标系的规定
为了描述每个连杆与相邻连杆之间的相对位置关系，需要在每个连杆上定义一个固连 坐标系。根据固连坐标系所在连杆的编号对固连坐标系命名，因此，固连在连杆i上的 固连坐标系称为坐标系{i}。
连杆链中的中间连杆
ˆ 轴称为 Z ˆ ， 坐标系{i}的 Z i 并与关节轴 i 重合，坐标系 {i}的原点位于公垂线 ai 与 ˆ沿 关节轴i的交点处。 X i ai 方向由关节 i 指向关节 i+1。
• 正运动学 • 知道操作臂的关节转角，去确定操作臂末端 执行器的位姿。
3.2 连杆描述
• 操作臂可以看成由一系列刚体通过关节连接而成的 一个运动链，我们将这些刚体称为连杆。通过关节 将两个相邻的连杆连接起来。
• 当两个刚体之间的相对运动是两个平面之间的相对滑动时，连 接相邻两个刚体的运动副称为低副。图3-1所示为六种常用的 低副关节。
例3.2 一个机器人由连杆1和连杆2两个连杆相互连接组成，如图3-3所示。关节2由连 杆1的支承“B”和连杆2的支承“A”组成，支承“A”和支承“B”的装配面为平面， 两者的装配面直接接触。求连杆偏距d2。
连杆偏距d2是关节2上的偏距，它是连杆1 和连杆 2 之间公垂线沿关节轴 2 方向的距 离。由图3-3可知， d2=2.5英寸。
当ai=0时，Xi垂直于Zi和Zi+1所在的平面。按右手定则绕Xi轴的转 角定义为αi ，由于Xi轴的方向可以有两种选择，因此αi的符号也 有两种选择。 Yi 轴由右手定则确定，从而完成了对坐标系 {i} 的 定义。图3-5所示为一般操作臂上坐标系{i-1}和{i}的位置。
中间连杆
与中间连杆i 1固接 的坐标系为 {i 1}；
② ( 对首、末连杆连接的描 述 )： a) b) 1 0为原位。 d1 0为原位。
机器人技术基础课件第三章-机器人运动学精选全文完整版
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
第03章 机器人的运动学和动力学
教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。
2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。
先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。
3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。
关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。
分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。
3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。
为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。
记该坐标系为世界坐标系。
在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。
3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。
机器人运动学
R3
Z
三个平移自由度 T1, T2, T3
三个旋转自由度 R1, R2, R3
T3
T1
T2
Y R2
X
2019/3/31
R1
2.2 刚体位姿描述
方位描述
第三章
机器人运动学
利用固定于物体的坐标系描述方位 (orientation)。方位又称为姿 态 (pose)。
在刚体 B上设置直角坐标系 {B} ，利用与 {B} 的坐标轴平行 的三个单位矢量表示B的姿态。
A
p R ( x , ) p
B
zB
zA
Bp
P
yB
{A}
1 0 R ( x , ) 0 c 0 s
c R ( y , ) 0 s 0 s 1 0 , 0 c
0 s c
s c 0 0 0 1
2019/3/31
i A iB A jB r11 r12
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置与姿态的表示 相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的 方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标 系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。
{ B}
当表示位置时 当表示方位时
zA
iB
jB
A
kA 坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：
pBo
kB
yA
{ A iB , A jB , A k B }
坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：
A B
O
R { iB , jB , k B }
A A A
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假定目標在全局參考坐標系 的原點，差動驅動的機器 人的運動學模型
令 為機器人前進方向和機器人輪軸中心與目標點連線之間的角度，當前 位置在全局參考坐標系下的極座標為：
• 控制率設置 設計控制信號v和w， 閉環控制系統可表示為：
該閉環系統有一個唯一的平衡點 器人到達目標點。
YR
XR
XI
在局部參考坐標系下，沿XR的運動等於- ，沿YR的運動是 ， 也就是說，機器人在局部參考坐標系下沿x軸的運動，相 當於在全局參考坐標系下沿y軸反方向的運動
• 運動學模型
假定差動機器人有2個動力輪，半徑均為r，給定點為兩輪之間的中點M， 輪距為d。給定r,d,θ和各輪的轉速 ， 點M在XR正方向上的平移速度為：
• 活動性程度
• 可操縱度 對於 一個安裝有零個或多個可操縱標準輪的機器人有： 為零時，說明機器人底盤沒有 安裝可操縱標準輪；等於2時， 說明機器人沒有安裝固定標 准輪。
• 機動性 指機器人可以操縱的總的自由度，由直接操縱的自由度（ 即活動性程度）和間接操縱的自由度（即可操縱度）兩個 部分構成。
• 移動機器人的運動控制 開環策略和閉環策略 點鎮定、路徑跟蹤、軌跡跟蹤
• 點鎮定舉例
• 在機器人局部參考坐標系下，給定實際位姿誤差向量為 x，y和θ是機器人的目標座標。如果存在一個控制矩陣K， ，
使得v（t）和w（t）的控制，
滿足
機器人在目標點是穩定的，即控制矩陣K可以使機器人到達該目標點。
• 運動學模型的建立
• 底盤的滑動約束
所用標準輪的滑動約束集合成一個單獨運算式：
也表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考坐標系下的 運動投影到各個輪子的法平面內
• 例4
對兩輪差動驅動機器人，求滾動約束和滑動約束的聯合運算式。 解：聯立約束方程，得
小腳輪無動力，可在任何方向自由運動， 和 分別簡化 為 和 。 對右輪，α＝－π/2，β＝π；對左輪，α＝π/2，β＝0 可得總的約束方程：
左乘得，
進一步的運算可得：
• 3.4移動機器人的機動性
• 活動性程度 暫態轉動中心（即ICR） 四輪汽車和自行車的ICR 只有一個單獨的ICR，才保證 機器人的運動是確定的 獨立的滑動約束的數目可用 的秩來描述。一般地，對於一個安裝有零個或多個標 準輪的機器人： 等於零時，表示機器人未安裝標準輪；等於3時，表示機器 人在任何方向是完全受約束的，即它將不可能在平面中運 動。
該映射可由正交旋轉矩陣來表示
• 例1 如圖3-2所示機器人，給定全局參考坐標系下的某個速度 ， 且 ，試計算沿機器人局部參考坐標系XR軸和YR軸的運動分 量。 YI 解：
R
.
0 R( 2) I 1 0
.
x y 1 0 0 0 y x 0 1
3.2 運動學模型的建立
1、機器人的位置表示 YI • 全局座標和局部座標的關係 YR XIOYI為全局參考坐標系， XRMYR為機器人的局部參 考坐標系，局部參考坐標系 的原點為機器人底盤上後輪 軸的中點M。 θ表示全局參 O 考坐標系和局部參考坐標系的角度差 機器人的位姿
XR
M XI
• 局部座標與全局座標的映射關係
解：根據滑動約束方程， 得：
即，yI=0
• 2）可操縱的標準輪 有一個附加的自由度， 輪子相對機器人底盤的 方向不再是一個固定值 β，而是隨時間變化的 函數β(t)。
約束方程與固定標準輪的約束方程是相同的，只把β換成β(t) ，並不直接影響機器人的暫態運動。但操縱角的變化會影 響到機器人的活動性。
假定輪子不能有側向滑移，則
旋轉角速度分量：
最終得到運動學模型如右式。
3.3 運動學約束
•輪子的運動學約束 假定： 1、 輪子的平面總是和地面保持垂直，輪子和地面之間只有一個 單獨的接觸點，並且該接觸點的瞬時速度為零。 2 、該接觸點無滑動，只存在純滾動。 1）固定標準輪 輪子的中心點A在機器人局部參考 坐標系下的位置可用極座標表示 為長度MA=l 和角度α，輪子平面 相對於MA的方向用固定角β表示。 半徑為r的輪子在輪子平面內可自 由轉動，轉動的角度用 ϕ(t)表示
第三章 移動機器人運動學
• • • • 移動機器人運動學模型 移動機器人運動學約束 移動機器人的機動性 運動控制
1
3.1 運動學概述
• 機械系統的運行規律 • 對工業機械手的研究很成熟 • 移動機器人的運動與機械手不同 • 由輪子的運動描述，進而得到機 器人整體的運動描述。討論機器人 的運動控制。
• 機器人運動學約束
把機器人底盤上所有輪子引起的運動學約束以適當的形式聯合起來，就 可以描述整個機器人的運動學約束。 設Nf個固定標準輪和Ns個可操縱標準輪， 底盤的滾動約束：
將所有輪子的滾動約束集合成一個單獨的運算式：
表示一個投影矩陣，該投影矩陣將機器人在局部參考坐標系下的 運動投影到沿著它們各個輪子平面的運動。 J2是一個大小為N×N的常對角矩陣，其對角線 上的元素為全部標準輪的半徑。
• 3.5 運動控制
• 非完整約束和非完整系統 完整約束是指系統的約束可以用相對於質點的直角坐標（(Xi ,Yi ,Ti)，i =1…n）及時間t的解析方程，或有限方程（非微 分方程）來表示。又稱為幾何約束。 若約束採用不可積分的微分方程表示，則稱為非完整約束。 當系統受非完整約束時，無法約束系統 的運動位形，而只是將系統的瞬時速度 限制在（n-k）維子空間上，也就是說非 完整約束使系統的運動自由度減少，但 是描述系統的獨立廣義座標的自由度並 沒有減少。
矩陣表示形式如下：
矩陣表示形式如下：
• 映射到全局坐標系 固定標準輪的滾動約束方程：
機器人沿著輪子平面的運動等價於機器人在全局參考坐標系 下的運動在輪子平面內的投影。必須等於由旋轉輪子完成 的運動 。
滑動約束方程：
正交於輪子平面的輪子運動分量為零
• 例3.
假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，試寫出 該輪的滑動約束方程。
令 為機器人前進方向和機器人輪軸中心與目標點連線之間的角度，當前 位置在全局參考坐標系下的極座標為：
• 控制率設置 設計控制信號v和w， 閉環控制系統可表示為：
該閉環系統有一個唯一的平衡點 器人到達目標點。
YR
XR
XI
在局部參考坐標系下，沿XR的運動等於- ，沿YR的運動是 ， 也就是說，機器人在局部參考坐標系下沿x軸的運動，相 當於在全局參考坐標系下沿y軸反方向的運動
• 運動學模型
假定差動機器人有2個動力輪，半徑均為r，給定點為兩輪之間的中點M， 輪距為d。給定r,d,θ和各輪的轉速 ， 點M在XR正方向上的平移速度為：
• 活動性程度
• 可操縱度 對於 一個安裝有零個或多個可操縱標準輪的機器人有： 為零時，說明機器人底盤沒有 安裝可操縱標準輪；等於2時， 說明機器人沒有安裝固定標 准輪。
• 機動性 指機器人可以操縱的總的自由度，由直接操縱的自由度（ 即活動性程度）和間接操縱的自由度（即可操縱度）兩個 部分構成。
• 移動機器人的運動控制 開環策略和閉環策略 點鎮定、路徑跟蹤、軌跡跟蹤
• 點鎮定舉例
• 在機器人局部參考坐標系下，給定實際位姿誤差向量為 x，y和θ是機器人的目標座標。如果存在一個控制矩陣K， ，
使得v（t）和w（t）的控制，
滿足
機器人在目標點是穩定的，即控制矩陣K可以使機器人到達該目標點。
• 運動學模型的建立
• 底盤的滑動約束
所用標準輪的滑動約束集合成一個單獨運算式：
也表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考坐標系下的 運動投影到各個輪子的法平面內
• 例4
對兩輪差動驅動機器人，求滾動約束和滑動約束的聯合運算式。 解：聯立約束方程，得
小腳輪無動力，可在任何方向自由運動， 和 分別簡化 為 和 。 對右輪，α＝－π/2，β＝π；對左輪，α＝π/2，β＝0 可得總的約束方程：
左乘得，
進一步的運算可得：
• 3.4移動機器人的機動性
• 活動性程度 暫態轉動中心（即ICR） 四輪汽車和自行車的ICR 只有一個單獨的ICR，才保證 機器人的運動是確定的 獨立的滑動約束的數目可用 的秩來描述。一般地，對於一個安裝有零個或多個標 準輪的機器人： 等於零時，表示機器人未安裝標準輪；等於3時，表示機器 人在任何方向是完全受約束的，即它將不可能在平面中運 動。
該映射可由正交旋轉矩陣來表示
• 例1 如圖3-2所示機器人，給定全局參考坐標系下的某個速度 ， 且 ，試計算沿機器人局部參考坐標系XR軸和YR軸的運動分 量。 YI 解：
R
.
0 R( 2) I 1 0
.
x y 1 0 0 0 y x 0 1
3.2 運動學模型的建立
1、機器人的位置表示 YI • 全局座標和局部座標的關係 YR XIOYI為全局參考坐標系， XRMYR為機器人的局部參 考坐標系，局部參考坐標系 的原點為機器人底盤上後輪 軸的中點M。 θ表示全局參 O 考坐標系和局部參考坐標系的角度差 機器人的位姿
XR
M XI
• 局部座標與全局座標的映射關係
解：根據滑動約束方程， 得：
即，yI=0
• 2）可操縱的標準輪 有一個附加的自由度， 輪子相對機器人底盤的 方向不再是一個固定值 β，而是隨時間變化的 函數β(t)。
約束方程與固定標準輪的約束方程是相同的，只把β換成β(t) ，並不直接影響機器人的暫態運動。但操縱角的變化會影 響到機器人的活動性。
假定輪子不能有側向滑移，則
旋轉角速度分量：
最終得到運動學模型如右式。
3.3 運動學約束
•輪子的運動學約束 假定： 1、 輪子的平面總是和地面保持垂直，輪子和地面之間只有一個 單獨的接觸點，並且該接觸點的瞬時速度為零。 2 、該接觸點無滑動，只存在純滾動。 1）固定標準輪 輪子的中心點A在機器人局部參考 坐標系下的位置可用極座標表示 為長度MA=l 和角度α，輪子平面 相對於MA的方向用固定角β表示。 半徑為r的輪子在輪子平面內可自 由轉動，轉動的角度用 ϕ(t)表示
第三章 移動機器人運動學
• • • • 移動機器人運動學模型 移動機器人運動學約束 移動機器人的機動性 運動控制
1
3.1 運動學概述
• 機械系統的運行規律 • 對工業機械手的研究很成熟 • 移動機器人的運動與機械手不同 • 由輪子的運動描述，進而得到機 器人整體的運動描述。討論機器人 的運動控制。
• 機器人運動學約束
把機器人底盤上所有輪子引起的運動學約束以適當的形式聯合起來，就 可以描述整個機器人的運動學約束。 設Nf個固定標準輪和Ns個可操縱標準輪， 底盤的滾動約束：
將所有輪子的滾動約束集合成一個單獨的運算式：
表示一個投影矩陣，該投影矩陣將機器人在局部參考坐標系下的 運動投影到沿著它們各個輪子平面的運動。 J2是一個大小為N×N的常對角矩陣，其對角線 上的元素為全部標準輪的半徑。
• 3.5 運動控制
• 非完整約束和非完整系統 完整約束是指系統的約束可以用相對於質點的直角坐標（(Xi ,Yi ,Ti)，i =1…n）及時間t的解析方程，或有限方程（非微 分方程）來表示。又稱為幾何約束。 若約束採用不可積分的微分方程表示，則稱為非完整約束。 當系統受非完整約束時，無法約束系統 的運動位形，而只是將系統的瞬時速度 限制在（n-k）維子空間上，也就是說非 完整約束使系統的運動自由度減少，但 是描述系統的獨立廣義座標的自由度並 沒有減少。
矩陣表示形式如下：
矩陣表示形式如下：
• 映射到全局坐標系 固定標準輪的滾動約束方程：
機器人沿著輪子平面的運動等價於機器人在全局參考坐標系 下的運動在輪子平面內的投影。必須等於由旋轉輪子完成 的運動 。
滑動約束方程：
正交於輪子平面的輪子運動分量為零
• 例3.
假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，試寫出 該輪的滑動約束方程。