1.4 等可能概型——概率统计课件PPT

古典概型的基本模型:球放入盒子模型
例3 将n只球随机地放入N ( N n)个盒子里去, 试
求每个盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).
解 将n只球放入N个盒子中去, 因每一只球都可
以放入 N 个盒子中的任一盒子, 故共有
N N N N n种不同的放法, 而每个盒子 中至多放一只球共有N ( N 1)[N (n 1)]种
不同放法. 因而所求的概率为
p
N(N
1)( N Nn
n 1)
A
n N
Nn
说明：许多问题和本例有相同数学模型.
生日问题
课堂练习
1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
p (答案 : p 3 33 2 / 9) 3
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. (答案 : p 2010 36520 )
S {HHH, HHT, HTH,THH, HTT,THT, TTH,TTT},
而 A1 {HTT,THT,TTH} .
S中包含有限个元素, 由对称性知每个基本
事件发生的可能性相同. 故由计算公式得
P(
A1
)
3 8
.
(2) 由于
于是
A2 {TTT} ,
P(
A2
)
1
P(
A2
)
1
1 8
7 8
.
注意
1 15
(3)P(C)
P(
B
)1
P(B)
14 15
.
课堂练习
1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
(答案 : p 9 6 13 93 9 106 ) =0.01458
1 3
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
概率.
(答案 : p 3 63 ) =1/72
10 10
假设每个盒子只能放一个球（盒子容量有限） 问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
(1) 取到的两只球都是白球的概率; (2) 取到的两只球颜色相同的概率; (3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
解 (a) 放回抽样的情况. 以 A, B,C 分别表示事 件“取到的两只球都是白球”, “取到的两只球都 是红球”, “取到的两只球中至少有一只是白球”. 易知“取到两只颜色相同的球”这一事件为 A B , 而C B .
又由于基本事件是两两互不相容的, 于是
1P(S) P({e1} {e2 } {en }) P({e1}) P({e2 }) P({en })
nP({ei }),
于是
P ({ei
})
1 n
,
i 1,2,,n.
若事件A包含k个基本事件 , 即
A {ei1 } {ei2 } {eik } ,
二、古典概型的计算公式
定理 设试验的样本空间S包含n个元素 , 事件A包含k个基本事件, 则有
P(
A)
k n
SA中包基含本的事基件本的事总件数,
该式称为等可能概型中事件概率的计算公式.
证 设试验的样本空间为S {e1,e2,,en} , 由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同, 即
P({e1}) P({e2 }) P({en }) .
在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本 事件, 显然此时样本空间中仅包含有限个元素, 且 由对称性知每个基本事件发生的可能性相同, 因而
可利用公式来计算事件的概率. 第一次从袋中取球有6只球可供抽取, 第二次
也有6只球可供抽取. 由组合法的乘法原理, 一共有 6 6种取法 .即样本空间中元素总数为6 6 . 对于 事件A而言 , 由于第一次共有4只白球可供抽取, 第 二次也有4只白球可供抽取, 则由乘法原理总共有 4 4种取法 , 即A中包含4 4个元素 . 同理, B 中包 含2 2个元素 . 于是
当样本空间中的元素较多时, 一般不再将元素 一一列出, 只需分别求出S和A中元素的个数，再 用计算公式即可求得相应的概率.
古典概型的基本模型:摸球模型
例2 一只口袋装有6只球, 其中4只白球、2只红球.
从袋中取球两次, 每次随机地取一只, 考虑两种取 球方式: (a) 第一次取一只球, 观察其颜色后放回 袋中, 搅匀后再取一球. 这种取球方式叫做放回抽 样. (b) 第一次取一球不放回袋中, 第二次从剩 余的球中再取一球, 这种取球方式叫做不放回抽样. 试分别就上面两种情况求
(1) 取到的两只球都是白球的概率;
(2) 取到的两只球颜色相同的概率;
(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
基本事件总数为
6 , 2
A
所包含基本事件的个数为
4, 2
故(1)P(
A)
4 2
6
2
2 5
(2) P( A
B) P(A) P(B) 7 .
15
2
P(B) 4 .
66 9
P(B) 2 2 1 .
66 9 由于AB , 得
P( A B) P( A) P(B) 5 .
9
P(C) P(B ) 1 P(B) 8 .
9 (b) 不放回抽样. 请同学们自己完成.
例2 一只口袋装有6只球, 其中4只白球、2只红球.
从袋中取球两次, 每次随机地取一只, 不放回抽样
这里i1,i2,,ik是1,2,,n中某k个不同的数 , 则有
k
k A包含的基本事件数
P( A) j1 P({eij }) n S中基本事件的总数
定理得证.
三、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件A1为“恰有一次出现正面” 求P( A1 ) ; (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面”, 求P( A2 ) . 解 (1) 我们考虑如下的样本空间:
第四节 等可能概型(古典概型)
一、古典概型定义 二、古典概型计算公式 三、典型例题 四、小结
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验, 若E满足下列条件: 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称E为等可能概型. 等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.