动态规划算法的优化技巧
动态规划算法难点详解及应用技巧介绍
动态规划算法难点详解及应用技巧介绍动态规划算法（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
在解决一些复杂的问题时，动态规划算法可以将问题分解成若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
本文将详细介绍动态规划算法的难点以及应用技巧。
一、动态规划算法的难点1. 难点一：状态的定义在动态规划算法中，首先需要明确问题的状态。
状态是指问题在某一阶段的具体表现形式。
在进行状态定义时，需要考虑到问题的最优子结构性质。
状态的定义直接影响到问题的子问题划分和状态转移方程的建立。
2. 难点二：状态转移方程的建立动态规划算法是基于状态转移的思想，即通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
因此，建立合理的状态转移方程是动态规划算法的关键。
在进行状态转移方程的建立时，需要考虑问题的最优子结构性质和状态之间的关系。
3. 难点三：边界条件的处理在动态规划算法中，边界条件是指问题的最简单情况，用于终止递归过程并给出递归基。
边界条件的处理需要考虑问题的具体要求和实际情况，确保问题能够得到正确的解。
二、动态规划算法的应用技巧1. 应用技巧一：最长递增子序列最长递增子序列是一类经典的动态规划问题。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，找到问题的最优解。
在应用最长递增子序列问题时，可以使用一维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
2. 应用技巧二：背包问题背包问题是另一类常见的动态规划问题。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，将问题转化为子问题的最优解。
在应用背包问题时，可以使用二维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
3. 应用技巧三：最短路径问题最短路径问题是动态规划算法的经典应用之一。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，利用动态规划的思想来求解最优解。
在应用最短路径问题时，可以使用二维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
动态规划的空间复杂度
动态规划的空间复杂度动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法思想，它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的解来解决整体问题。
其中，空间复杂度是评估算法在使用内存方面的效率。
本文将探讨动态规划算法中的空间复杂度，并分析如何在实际应用中优化空间利用。
一、动态规划算法概述动态规划算法通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它的核心思想是将原问题分解为若干个子问题，并分别求解这些子问题的最优解，然后通过求解子问题的最优解，得到原问题的最优解。
二、动态规划算法的基本步骤动态规划算法通常包括以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题抽象为一个数学模型，并定义状态表示问题的一种描述方式。
2. 状态转移方程：为了求解原问题的最优解，需要找到子问题之间的关系，并建立状态转移方程，即将原问题的求解过程表示为子问题的求解过程。
3. 初始条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况。
4. 计算顺序：按照一定的顺序计算各个子问题的最优解。
5. 填表求解：根据状态转移方程和初始条件，计算各个子问题的最优解，并填表保存。
6. 构造解：根据填表求解的结果，构造原问题的最优解。
三、动态规划算法的空间复杂度分析在动态规划算法中，空间复杂度是评估算法使用内存的量。
由于动态规划算法通常采用填表的方式记录子问题的解，因此在空间复杂度分析中，主要考虑所需的额外空间。
1. 状态表空间：动态规划算法通常使用一个二维数组或一维数组来保存子问题的解。
如果问题的规模为n，状态数为m，则状态表的大小为m*n。
因此，状态表空间复杂度为O(m*n)。
2. 状态变量空间：有些动态规划问题只需要保存前一状态的解，而不需要保存全部子问题的解。
此时，可以只使用一个变量来保存前一状态的解，从而减少空间复杂度。
3. 优化空间利用：有时候，可以通过观察问题的特点，找到一种更加紧凑的存储方式，从而节省空间。
例如，对于一些只与前一状态相关的问题，可以使用滚动数组技巧，只保存最近的几个状态，从而将空间复杂度降低至常数级。
动态规划实验报告心得
一、实验背景动态规划是一种重要的算法设计方法，广泛应用于解决优化问题。
本次实验旨在通过实际操作，加深对动态规划算法的理解，掌握其基本思想，并学会运用动态规划解决实际问题。
二、实验内容本次实验主要包括以下几个内容：1. 动态规划算法概述首先，我们对动态规划算法进行了概述，学习了动态规划的基本概念、特点、应用领域等。
动态规划是一种将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并存储已解决子问题的解，以避免重复计算的方法。
2. 矩阵连乘问题矩阵连乘问题是动态规划算法的经典问题之一。
通过实验，我们学会了如何将矩阵连乘问题分解为若干个相互重叠的子问题，并利用动态规划方法求解。
实验过程中，我们分析了问题的最优子结构、子问题的重叠性，以及状态转移方程，从而得到了求解矩阵连乘问题的动态规划算法。
3. 0-1背包问题0-1背包问题是另一个典型的动态规划问题。
在实验中，我们学习了如何将0-1背包问题分解为若干个相互重叠的子问题，并利用动态规划方法求解。
实验过程中，我们分析了问题的最优子结构、子问题的重叠性，以及状态转移方程，从而得到了求解0-1背包问题的动态规划算法。
4. 股票买卖问题股票买卖问题是动态规划在实际应用中的一个例子。
在实验中，我们学习了如何将股票买卖问题分解为若干个相互重叠的子问题，并利用动态规划方法求解。
实验过程中，我们分析了问题的最优子结构、子问题的重叠性，以及状态转移方程，从而得到了求解股票买卖问题的动态规划算法。
三、实验心得1. 动态规划算法的思维方式通过本次实验，我深刻体会到了动态规划算法的思维方式。
动态规划算法的核心是将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并存储已解决子问题的解。
这种思维方式有助于我们更好地理解和解决实际问题。
2. 状态转移方程的重要性在动态规划算法中，状态转移方程起着至关重要的作用。
它描述了子问题之间的关系，是求解问题的关键。
通过本次实验，我学会了如何分析问题的最优子结构，以及如何建立合适的状态转移方程。
组合优化中的动态规划并行实现
组合优化中的动态规划并行实现动态规划是一种经典的优化算法，可以解决很多组合优化问题。
在实际应用中，为了加速计算速度，我们常常会使用并行计算来实现动态规划。
本文将介绍组合优化中的动态规划并行实现的一些方法与技巧。
首先，我们需要明确组合优化问题的定义。
组合优化问题是指在给定的一组元素中，通过选择其中的若干个元素，使得满足一定的约束条件，并使得目标函数达到最优。
例如，在旅行商问题中，我们需要确定一条路径，使得旅行商能够依次经过所有的城市，并使得总行程最短。
动态规划是一种自底向上的求解方法，适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
其基本思想是将大问题分解为小问题，并将小问题的解保存起来，以避免重复计算。
在串行实现中，动态规划通常通过填表格的方式进行计算，而并行实现则可以利用多个计算单元同时进行计算。
在组合优化中的动态规划并行实现中，一种常用的方法是任务划分。
我们将问题划分成多个子问题，并分配给不同的计算单元进行计算。
每个计算单元独立地计算自己负责的子问题，并将结果存储起来。
最后，通过组合各个计算单元得到最终的解。
另一种方法是数据划分。
我们将原始数据划分成多个部分，并分配给不同的计算单元进行计算。
每个计算单元只需要处理自己负责的数据部分，然后将计算结果传递给其他计算单元。
最后，通过合并各个计算单元的计算结果得到最终的解。
除了任务划分和数据划分，还可以采用混合并行的方法。
即将任务划分和数据划分结合起来使用，以充分发挥多核处理器的计算能力。
这种方法可以将计算任务划分成多个子任务，并且每个子任务处理自己负责的数据部分。
每个计算单元都可以独立地进行计算，并将计算结果传递给其他计算单元。
最后，通过合并各个计算单元的计算结果得到最终的解。
在实际应用中，选择合适的并行实现方法是一项具有挑战性的任务。
我们需要根据问题的特点以及计算资源的情况，综合考虑任务划分、数据划分和混合并行等不同的实现方法，并选择最优的方法来解决组合优化问题。
1D1D动态规划优化初步
1D1D动态规划优化初步在计算机科学和算法领域，动态规划是一种非常强大且实用的技术。
1D1D 动态规划，顾名思义，是在一维数据结构上进行的动态规划操作。
它在解决许多实际问题时，能够提供高效且准确的解决方案。
让我们先从一个简单的例子来理解 1D1D 动态规划的基本概念。
假设我们有一个整数数组｀arr`，其中的每个元素表示在该位置能够获取的价值。
我们要从数组的开头走到结尾，并且只能向右移动，求能够获取的最大价值。
这时候，我们可以用一个辅助数组｀dp` 来记录每个位置的最优解。
｀dpi` 表示从数组开头走到位置｀i` 能够获取的最大价值。
对于第一个位置｀i ＝ 0`，｀dp0 ＝ arr0`，因为这是起始位置，能获取的价值就是该位置的元素值。
对于其他位置｀i ＞ 0`，｀dpi ＝ max(dpi 1 ＋ arri, arri)｀。
这意味着我们要么选择在前一个位置的最优解基础上加上当前位置的价值，要么直接选择当前位置的价值（如果前一个位置的最优解是负数，可能就不如直接选择当前位置）。
通过这样逐步计算，最终｀dparrlength 1` 就是我们想要的结果，即从数组开头走到结尾能够获取的最大价值。
在这个简单的例子中，我们可以看到 1D1D 动态规划的几个关键步骤：1、定义状态：在这个例子中，状态就是｀dpi`，表示走到位置｀i` 的最大价值。
2、状态转移方程：即｀dpi ＝ max(dpi 1 ＋ arri, arri)｀，它描述了如何从一个状态转移到另一个状态。
3、初始化状态：｀dp0 ＝ arr0` 就是初始化。
接下来，我们再看一个稍微复杂一点的例子。
假设有一个数组｀cost` 表示爬上每个台阶所需的体力值。
我们要爬到楼梯的顶部，每次可以爬 1 级或 2 级台阶，求到达顶部所需的最小体力值。
同样，我们定义一个辅助数组｀dp`，｀dpi` 表示到达第｀i` 级台阶所需的最小体力值。
对于第一级台阶｀i ＝ 0`，｀dp0 ＝ cost0`。
动态规划自底向上算法和自顶向下算法从精度和精准度方面进行研究
动态规划自底向上算法和自顶向下算法从精度和精准度方
面进行研究
动态规划算法是一种常见的优化算法，在解决一些最优化问题方面具有广泛的实际应用。
在动态规划的算法实现中，有两种主要的策略：自底向上算法和自顶向下算法。
自底向上算法是先计算子问题的解，然后使用这些子问题的解来计算更大的问题的解。
这种算法通常使用一个二维数组来存储中间结果，然后按顺序计算每个单元格的值。
自顶向下算法是从大问题开始，递归地将问题分解成子问题，直到问题的规模变得可以直接求解。
这种算法通常使用递归来实现。
从准确度和精度两个方面来评估自底向上算法和自顶向下算法的性能。
从准确度的角度来看，自底向上算法通常比自顶向下算法更准确。
这是因为自底向上算法可以避免递归中可能出现的内存溢出和堆栈溢出等问题，在处理大规模问题时更为稳健。
另外，自底向上算法的计算顺序是固定的，因此可以更容易地进行调试和优化。
从精度的角度来看，自顶向下算法通常比自底向上算法更精确。
这是因为自顶向下算法可以根据具体问题的特点，选择更好的子问题划分方式和计算顺序，从而最大化优化效果。
另外，自顶向下算法有时可以避免计算不必要的子问题，从而在处理大规模问题时减少计算量。
总的来说，自底向上算法和自顶向下算法在不同的应用场景下都有其优劣之处。
在处理大规模问题时，自底向上算法通常更为可靠和高效；而在需要精细优化的小规模问题中，自顶向下算法则通常更为优秀。
因此，在实现动态规划算法时，需要根据具体问题的规模和特点来选择合适的算法策略。
最优控制问题的动态规划算法
最优控制问题的动态规划算法动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策问题的优化方法，对于最优控制问题而言，动态规划算法是一种有效的求解方法。
本文将介绍最优控制问题以及如何使用动态规划算法解决该类问题。
一、最优控制问题简介最优控制问题是在给定系统的一些约束条件下，通过对系统进行控制使得某个性能指标达到最优的问题。
该问题可以形式化地表示为数学模型，通常由状态方程、性能指标和约束条件组成。
二、动态规划算法原理动态规划算法采用自底向上的方法，通过建立递推关系，将原问题分解为若干个子问题，并以自底向上的顺序求解子问题的最优解，最终得到原问题的最优解。
三、最优控制问题的动态规划算法步骤1. 确定阶段数和状态变量：将最优控制问题划分为多个阶段，并定义每个阶段的状态变量。
状态变量可以是系统的状态、控制量或其他相关变量。
2. 建立状态转移方程：根据最优控制问题的约束条件和性能指标，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程表示了系统在不同阶段之间的演化过程。
3. 定义性能指标：根据最优控制问题的要求，定义系统的性能指标。
性能指标可以是系统的能量消耗、最大收益或其他相关指标。
4. 确定边界条件：确定最优控制问题的边界条件，即初始状态和终止状态。
5. 递推求解最优解：采用动态规划算法的核心步骤，即按照递推关系将问题分解为若干个子问题，并求解子问题的最优解。
6. 反推最优解：根据子问题的最优解，反向推导出原问题的最优解。
四、最优控制问题的应用举例以经典的倒立摆问题为例，倒立摆的目标是通过对摆的控制使其保持垂直。
假设倒立摆由质量为m的杆和质量为M的滑块组成。
其动态方程可以表示为：（这里给出具体的动态方程式，包含各个参数和变量）通过建立状态方程和性能指标，我们可以将倒立摆问题转化为最优控制问题。
然后利用动态规划算法求解。
五、总结最优控制问题是一类常见的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用价值。
用单调性优化动态规划
用单调性优化动态规划单调性优化动态规划是一种常用的算法优化技术，它通过利用问题的单调性质来减少计算量，从而提高算法的效率。
在本文中，我们将介绍单调性优化动态规划的基本原理、应用场景和实现方法，并通过一个具体的例子来说明其具体应用。
一、基本原理单调性优化动态规划是在传统的动态规划算法基础上进行的优化。
传统的动态规划算法通常是通过填表的方式来求解问题的最优解，而单调性优化动态规划则利用问题的单调性质，将原问题分解为若干个子问题，并根据子问题的单调性质进行计算，从而减少计算量。
具体来说，单调性优化动态规划通常包括以下几个步骤：1. 确定问题的状态和状态转移方程：首先需要确定问题的状态，即问题的子问题的定义。
然后根据子问题之间的关系，建立状态转移方程，描述子问题之间的转移关系。
2. 确定问题的单调性：根据问题的性质，确定问题是否具有单调性。
如果问题具有单调性，那末可以通过问题的单调性质来优化算法。
3. 优化算法的实现：根据问题的单调性质，对算法进行优化。
通常的优化方法包括剪枝、二分查找等。
二、应用场景单调性优化动态规划广泛应用于各种求解最优解的问题中，特殊适合于具有单调性质的问题。
以下是一些常见的应用场景：1. 最长递增子序列：给定一个序列，求解其中最长的递增子序列的长度。
该问题具有单调性质，可以通过单调性优化动态规划来解决。
2. 最大连续子数组和：给定一个数组，求解其中最大的连续子数组的和。
该问题具有单调性质，可以通过单调性优化动态规划来解决。
3. 背包问题：给定一组物品和一个背包的容量，求解如何选择物品放入背包中，使得总价值最大。
该问题具有单调性质，可以通过单调性优化动态规划来解决。
三、实现方法单调性优化动态规划的实现方法通常包括以下几个步骤：1. 确定问题的状态和状态转移方程：首先需要确定问题的状态，即问题的子问题的定义。
然后根据子问题之间的关系，建立状态转移方程，描述子问题之间的转移关系。
2. 确定问题的单调性：根据问题的性质，确定问题是否具有单调性。
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动态规划算法的优化技巧福州第三中学毛子青[关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态[摘要]动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。
全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文。
[正文]一、引言动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。
使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。
但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。
本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。
二、动态规划时间复杂度的分析使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。
所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。
动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。
但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。
它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。
下面给出动态规划时间复杂度的决定因素：时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1]下文就将分别讨论对这三个因素的优化。
这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。
有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。
因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。
三、动态规划时间效率的优化3.1 减少状态总数我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。
所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。
1、改进状态表示状态的规模与状态表示的方法密切相关，通过改进状态表示减小状态总数是应用较为普遍的一种方法。
例一、Raucous Rockers 演唱组（USACO`96）[问题描述]现有n首由Raucous Rockers 演唱组录制的珍贵的歌曲，计划从中选择一些歌曲来发行m张唱片，每张唱片至多包含t分钟的音乐，唱片中的歌曲不能重叠。
按下面的标准进行选择：（1）这组唱片中的歌曲必须按照它们创作的顺序排序；（2）包含歌曲的总数尽可能多。
输入n，m，t，和n首歌曲的长度，它们按照创作顺序排序，没有一首歌超出一张唱片的长度，而且不可能将所有歌曲的放在唱片中。
输出所能包含的最多的歌曲数目。
（1≤n, m, t≤20）[算法分析]本题要求唱片中的歌曲必须按照它们创作顺序排序，这就满足了动态规划的无后效性要求，启发我们采用动态规划进行解题。
分析可知，该问题具有最优子结构性质，即：设最优录制方案中第i首歌录制的位置是从第j张唱片的第k分钟开始的，那么前j-1张唱片和第j张唱片的前k-1分钟是前1..i-1首歌的最优录制方案，也就是说，问题的最优解包含了子问题的最优解。
设n首歌曲按照写作顺序排序后的长度为long[1..n]，则动态规划的状态表示描述为：g[i, j, k]，0≤i≤n，0≤j≤m，0≤k<t，表示前i首歌曲，用j张唱片另加k分钟来录制，最多可以录制的歌曲数目，则问题的最优解为g[n,m,0]。
由于歌曲i有发行和不发行两种情况，而且还要分另加的k分钟是否能录制歌曲i。
这样我们可以得到如下的状态转移方程和边界条件：当k≥long[i]，i≥1时：g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long[i]]，g[i-1,j,k]}当k<long[i]，i≥1时：g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long[i]]，g[i-1,j,k]}规划的边界条件为：当0≤k<t时：g[0,0,k]=0;我们来分析上述算法的时间复杂度，上述算法的状态总数为O(n*m*t)，每个状态转移的状态数为O(1)，每次状态转移的时间为O(1)，所以总的时间复杂度为O(n*m*t)。
由于n，m，t均不超过20，所以可以满足要求。
[算法优化]当数据规模较大时，上述算法就无法满足要求，我们来考虑通过改进状态表示提高算法的时间效率。
本题的最优目标是用给定长度的若干张唱片录制尽可能多的歌曲，这实际上等价于在录制给定数量的歌曲时尽可能少地使用唱片。
所谓“尽可能少地使用唱片”，就是指使用的完整的唱片数尽可能少，或是在使用的完整的唱片数相同的情况下，另加的分钟数尽可能少。
分析可知，在这样的最优目标之下，该问题同样具有最优子结构性质，即：设D在前i首歌中选取j首歌录制的最少唱片使用方案，那么若其中选取了第i首歌，则D-{i}是在前i-1首歌中选取j-1首歌录制的最少唱片使用方案，否则D前i-1首歌中选取j首歌录制的最少唱片使用方案，同样，问题的最优解包含了子问题的最优解。
改进的状态表示描述为：g[i, j]=(a, b)，0≤i≤n，0≤j≤i，0≤a≤m，0≤b≤t，表示在前i首歌曲中选取j首录制所需的最少唱片为：a张唱片另加b分钟。
由于第i首歌分为发行和不发行两种情况，这样我们可以得到如下的状态转移方程和边界条件：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long[i]}其中(a, b)+long[i]=(a’, b’)的计算方法为：当long[i]≤t-b时：a’=a; b’=b+long[i];当long[i]>t-b时：a’=a+1; b’=long[i];规划的边界条件：g[i,0]=(0,0) 0≤i≤n这样题目所求的最大值是：ans=max{k| g[n, k]≤(m-1,t)}改进后的算法，状态总数为O(n2)，每个状态转移的状态数为O(1)，每次状态转移的时间为O(1)，所以总的时间复杂度为O(n2)。
值得注意的是，算法的空间复杂度也由改进前的O(m*n*t)降至优化后的O(n2)。
（程序及优化前后的运行结果比较见附件）通过对本题的优化，我们认识到：应用不同的状态表示方法设计出的动态规划算法的性能也迥然不同。
改进状态表示可以减少状态总数，进而降低算法的时间复杂度。
在降低算法的时间复杂度的同时，也降低了算法的空间复杂度。
因此，减少状态总数在动态规划的优化中占有重要的地位。
2、选择适当的规划方向动态规划方法的实现中，规划方向的选择主要有两种：顺推和逆推。
在有些情况下，选取不同的规划方向，程序的时间效率也有所不同。
一般地，若初始状态确定，目标状态不确定，则应考虑采用顺推，反之，若目标状态确定，而初始状态不确定，就应该考虑采用逆推。
那么，若是初始状态和目标状态都已确定，一般情况下顺推和逆推都可以选用，但是，能否考虑选用双向规划呢？双向搜索的方法已为大家所熟知，它的主要思想是：在状态空间十分庞大，而初始状态和目标状态又都已确定的情况下，由于扩展的状态量是指数级增长的，于是为了减少状态的规模，分别从初始状态和目标状态两个方向进行扩展，并在两者的交汇处得到问题的解。
上述优化思想能否也应用到动态规划之中呢？来看下面这个例子。
例二、Divide (Merc`2000)[问题描述]有价值分别为1..6的大理石各a[1..6]块，现要将它们分成两部分，使得两部分价值和相等，问是否可以实现。
其中大理石的总数不超过20000。
(英文试题详见附件)[算法分析]令S=∑(i*a[i])，若S为奇数，则不可能实现，否则令Mid=S/2，则问题转化为能否从给定的大理石中选取部分大理石，使其价值和为Mid。
这实际上是母函数问题，用动态规划求解也是等价的。
m[i, j]，0≤i≤6，0≤j≤Mid，表示能否从价值为1..i的大理石中选出部分大理石，使其价值和为j，若能，则用true表示，否则用false表示。
则状态转移方程为：m[i, j]=m[i, j] OR m[i-1,j-i*k] (0≤k≤a[i])规划的边界条件为：m[i,0]=true；0≤i≤6若m[i, Mid]=true，0≤i≤6，则可以实现题目要求，否则不可能实现。
我们来分析上述算法的时间性能，上述算法中每个状态可能转移的状态数为a[i]，每次状态转移的时间为O(1)，而状态总数是所有值为true的状态的总数，实际上就是母函数中项的数目。
[算法优化]实践发现：本题在i较小时，由于可选取的大理石的价值品种单一，数量也较少，因此值为true的状态也较少，但随着i的增大，大理石价值品种和数量的增多，值为true的状态也急剧增多，使得规划过程的速度减慢，影响了算法的时间效率。
另一方面，我们注意到我们关心的仅是能否得到价值和为Mid的值为true的状态，那么，我们能否从两个方向分别进行规划，分别求出从价值为1..3的大理石中选出部分大理石所能获得的所有价值和，和从价值为4..6的大理石中选出部分大理石所能获得的所有价值和。
最后通过判断两者中是否存在和为Mid的价值和，由此，可以得出问题的解。
状态转移方程改进为：当i≤3时：m[i, j]=m[i, j] OR m[i-1,j-i*k] (1≤k≤a[i])当i>3时：m[i, j]=m[i, j] OR m[i+1,j-i*k] (1≤k≤a[i])规划的边界条件为：m[i,0]=true；0≤i≤7这样，若存在k，使得m[3,k]=true, m[4,Mid-k]=true，则可以实现题目要求，否则无法实现。
（程序及优化前后的运行结果比较见附件）从上图可以看出双向动态规划与单向动态规划在计算的状态总数上的差异。
回顾本题的优化过程可以发现：本题的实际背景与双向搜索的背景十分相似，同样有庞大的状态空间，有确定的初始状态和目标状态，状态量都迅速增长，而且可以实现交汇的判断。
因此，由本题的优化过程，我们认识到，双向扩展以减少状态量的方法不仅适用于搜索，同样适用于动态规划。
这种在不同解题方法中，寻找共通的属性，从而借用相同的优化思想，可以使我们不断创造出新的方法。
3.2 减少每个状态转移的状态数在使用动态规划方法解题时，对当前状态的计算都是进行一些决策并引用相应的已经计算过的状态，这个过程称为“状态转移”。
因此，每个状态可能做出的决策数，也就是每个状态可能转移的状态数是决定动态规划算法时间复杂度的一个重要因素。