数值分析第五章学习小结【计算方法】
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。
科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|<E为止，此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。
2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。
3.比例法一般地，设[a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、(b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
数值分析第五章学习小结
第5章 插值与逼近--------学习小结姓名 王富民 班级 研1302 学号 s2******* 一、 本章学习体会本章为插值与逼近，是非常重要的一章。
插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。
一元函数插值中，差商表的应用，通过把,()x f x ，一阶差商，二阶差商，三阶差商等列入一个表格中，依次计算出各值，就可得出Netwon 插值多项式的系数，过程清晰明了。
最大的收获是几种常用的正交多项式的应用问题，每个多项式都有表达式，递推关系式和一些性质，可以很简单的写出最佳平方逼近多项式，还有就是曲线拟合，通过散点图，找出最佳多项式，使误差最小，并可以做出拟合曲线图，这个只是点可以应用到专业方面上的分析求解问题。
二、 本章知识梳理1.重点是Lagrange 插值、Newton 插值。
①Lagrange 插值基函数0(),0,1,2,,nj k j jk j kx x l x k n x x =≠-==-∏②Lagrange 插值多项式000()()[]n nnjn k k k k k j jk j kx x p x y l x y x x ===≠-==-∑∑∏③节点选取原则：居中原则④Lagrange 插值多项式的特点：直观对称，易建立插值多项式； 但无继承性。
Newton 插值主要是差商的理解与应用。
差商(divided difference)也称为均差，是导数的离散形式。
2.正交多项式的概念与性质 ①权函数②内积③正交④正交函数系 克莱姆-施密特正交化方法：01101()1()()(0,1,)(,)(0,1,,)(,)k k j k kj j k j kjj j x x x a x k x a j k φφφφφφ++=+⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩≡=-===∑ 其中3.几种常用的正交多项式 ①Legendre 多项式02()11()[(1)],1,2,2!n nn n n L x d L x x n n dx ⎧⎪⎨⎪⎩≡=⋅-=②Chebyshev 多项式()cos(arccos ),11n T x n x x =-≤≤③Laguerre 多项式()(),0,1,n n x xn nd xe U x e n dx -==④Hermite 多项式22()()(1),0,1,n x nx n nd e H x e n dx-=-=4.函数的最佳平方逼近1. 最佳平方逼近概念(,)min(,)nHf f f f φφφφφ**∈--=-- 2. 最佳平方逼近的条件*(,)0j f p φ-= 3. 最佳平方逼近元素是唯一的4. 最佳平方逼近元素的求法**()()nk k k p x c x φ==∑，求系数*kc 5. 最佳平方逼近误差(,)f p f p δ**=-- 5.曲线拟合1.曲线拟合的最小二乘法*2200[()][()]min mmi i i i D i i x y x y φφφ∈==-=-∑∑2.拟合曲线的求法01{(),(),,()},n D span x x x n m φφφ=<**0()()nj j j x c x D φφ==∈∑01[,,,]n A =ΦΦΦ ，01[,,,]T n c c c c =法方程为T T A Ac A y = 三、 本章思考题计算方法中插值与拟合的区别与联系是什么？插值和拟合都是函数逼近重要组成部分 他们的共同点都是通过已知一些离散点集M 上的约束，求一个定义在连续集合S(M 包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的。
数值分析第五章学习小结
数值分析第五章学习⼩结第五章学习⼩结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******⼀、本章学习体会本章的内容与实际关联很⼤，可以解决很多⼯程实际问题。
1、主要有两⽅⾯内容：插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是⽤简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最⼩最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值⽐较难，需要花⼀定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最⼩。
3、我个⼈觉得本章的难点是样条插值与最佳平⽅逼近。
⼆、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下⽅式：⼀、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上⾮负的函数满⾜（1）对⼀切整数存在；（2）对区间上⾮负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。
常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。
内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==；（3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+；（4）⾮负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。
(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥?(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=?(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=?(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满⾜则称是上带权的正交函数系。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析第五版第5章学习资料
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
数值分析第5章1-3节
a12
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
,
am1 am2 amn xn bm
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（2.1）
17
简记为Ax b. 例1 用消去法解方程组
x1 x2 x3 6, 4x2 x3 5,
2x1 2x2 x3 1.
(2.2) (2.3) (2.4)
(10) 初等置换阵
由单位矩阵 交I换第 行i与第 行(或j 交换第 列与第i 列)，
得到j 的矩阵记为 ,且
I ij
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10
Iij A A~（为交换 A第 i 行与第 j 行得到的矩阵）；
AIij B（为交换 A第 i列与第 j列得到的矩阵）；
(11) 置换阵
由初等置换阵的乘积得到的矩阵.
定理1 设 A R，nn 则下述命题等价：
(1) 对任何 b 方R程n ,组 有A惟x 一 b解.
(2) 齐次方程组 A只x 有 0惟一解 . x 0
(3) det( A) 0.
(4) A存1在.
(5) 的A秩 rank ( A) n.
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11
定理2 设 A R为n对n 称正定阵，则
解 第1步. 将方程(2.2)乘上 加2到方程(2.4)上去，
消去(2.4)中的未知数 x得1, 到
4x2 x3 11.
(2.5)
第2步. 将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去方程
(218
得到与原方程组等价的三角形方程组
x1
x2 4 x2
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xi , 得到与(2.1)等价的方程组
a (1) 11
数值分析第5章4-5节
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9
采用与列主元消去法类似的方法，将直接三角分解法修 改为(部分)选主元的三角分解法.
设第 r步分1 解已完成，这时有
u11
l21
A lr 1,1
lr1
ln1
u12 u22
lr 1,2 lr 2
k i1
由计算公式1知
所以
j
a jj
l
2 jk
k 1
(i 1,2,, n),
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22
于是
l
2 jk
a jj
max{a
1 jn
jj
},
max{l j,k
2 jk
}
max{a
1 jn
jj }.
这个结果说明，分解过程中元素 l jk l jj 恒为正数.
于是不选主元素的平方根法是一个数值稳定的方法.
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arr urr sr
air lir si /urr air / arr (i r 1,,n, 且r n)
r1
ari uri ari lrkuki
(i r 1,,n, 且r n)
k 1
求解 Ly b, Ux y. 2. 对于 i 1,2,, n 1
(1) t Ip(i) (2) 如果 则i转(3t )
3
A 2 1 0 0 1 4 LU.
3 5 1 0 0 24
按(4.4)求解 Ly (14,18,20)T , 得 y (14,10,72)T ,
求解
U x (14,10,72)T ,
y1 b1;
i1
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第五章最小二乘法与曲线拟合小结
一、本章知识梳理
1、
从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差
(i=0,1,…,m)
(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量
的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差
平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合
中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函
数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小
的曲线（图6-1）。
函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合
函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
2、多项式拟合
假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得
(1)
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘
拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然
为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得
(2)
即
(3)
（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为
(4)
式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式
(5)
可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。
我
们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作
由式(2)可得
(6)
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；
(2) 列表计算和；
(3) 写出正规方程组，求出；
(4) 写出拟合多项式。
在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛
顿插值多项式。
3、曲线拟合：
曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。
常用双曲线型和指数型函数。
定义：若曲线
*
*0()()n
j j j y x c x ϕ==∑
使得：
2
2
*0000()min ()m
n m n j j i i j j i i i j i j c x y c x y ϕϕ====⎡⎤⎡⎤
-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ 成立，则称曲线*()y x 为在曲线族中按最小二乘法原则确定的对于数据的拟合曲线。
注意：不能要求曲线y （x ）通过数据的所有点。
二、本章思考题
函数逼近与曲线拟合有什么异同？
答：相同点：函数逼近与曲线拟合的基本思想是相同的，都是用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者表达式未给出的函数，以便简化对后者的各种计算或揭示后者的某种性质。
不同点：曲线拟合是已知一组离散数据，选择一个较简单的函数，是在一定准则（如最小二乘准则）下，最接近这组数据。
而函数逼近是已知一个较为复杂的连续函数，要选一个较简单的函数，在一定准则下接近原函数。
三、本章测验题
在区间[-1，1]上给定函数122)(23-++=x x x x f ，求其在{}
2
,,1x x Span =Φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。
解：设 2001122()()()()P x C L x C L x C L x =++
取Legerdre 多项式 201231
()1,(),()22
L x L x x L x x ===-作为基函数
113200111112
(,)()(221)2223
C f L f x dx x x x dx --===++-=-⎰⎰
11113316(,)()225
C f L xf x dx -===⎰
1132222211555312
(,)()()(221)()222223
C f L f x L x dx x x x x dx --===++--=-⎰⎰
所以 22
221623116()()1353225P x x x x x =-++-=-++
四、本章学习体会
本章主要介绍了最小二乘法，最小二乘多项式，非线性曲线拟合知识；本章侧重介绍了用多项式作最小二乘曲线拟合的方法，针对一组实验数据采用最小二乘原则，以计算的最小二乘偏差为最小目标，给出最终的近似拟合多项式，最后本章介绍了非线性曲线拟合的思想方法；函数的拟合可以在某个范围内近似计算出所求的函数值，能简化我们在工程上或者数学上的一些问题。
通过本章的知识学习与掌握，对以后的工作学习有着巨大的帮助。