集合类_补充案例

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高中集合题型和例题大全

高中集合题型和例题大全

高中集合的题型和例题有很多种,以下是一些常见的类型和示例:
1. 集合的表示方法
例题:用列举法表示下列集合:
(1){x|x是小于10的正整数}
(2){y|y是5的正整数倍}
(3){x|x是4除以3的余数}
(4){y|y是9的平方数}
2. 集合之间的关系
例题:已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=4k+1,k∈Z},求证:A∩B=
{x|x=8k+1,k∈Z}。

3. 集合的运算
例题:已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求:
(1)A∪B;
(2)A∩B;
(3)A-B;
(4)B-A。

4. 集合的元素与集合的关系
例题:已知集合A={a,b,c,d},B={e,f},且集合C满足A∩C≠∅,B∩C≠∅,求C的可能情况。

5. 集合的子集与真子集
例题:已知集合A={1,2,3},求A的所有子集和真子集。

6. 集合的交集、并集、补集运算
例题:已知集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},求:
(1)A∩B;
(2)A∪B;
(3)C∪A;
(4)C∪B。

7. 含参数的集合问题
例题:已知集合A={x|ax+b=0},若A=∅时a、b应满足什么条件?如果A≠∅时a、b 应满足什么条件?。

集合论中的集合运算与应用实例

集合论中的集合运算与应用实例

集合论中的集合运算与应用实例集合运算是集合论的基础,通过对不同集合进行运算,我们可以得到新的集合,进而应用于实际问题中。

本文将介绍集合运算的基本概念及其应用实例。

一、集合运算的基本概念集合运算是指对两个或多个集合进行操作,从而得到一个新的集合的过程。

常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。

1. 并集并集是指将两个或多个集合中的元素合并到一个集合中。

用符号"∪"表示。

例如,集合A = {1, 2, 3},集合B = {3, 4, 5},则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集交集是指两个或多个集合中共同拥有的元素组成的集合。

用符号"∩"表示。

例如,集合A = {1, 2, 3},集合B = {3, 4, 5},则A∩B = {3}。

3. 差集差集是指一个集合中除去与另一个集合相同的元素所得到的集合。

用符号"-"表示。

例如,集合A = {1, 2, 3},集合B = {3, 4, 5},则A-B= {1, 2}。

4. 补集补集是指相对于某个全集而言,除去集合中的元素之外的所有元素所组成的集合。

用符号"\'"表示。

例如,设全集为U,集合A = {1, 2, 3},则A\' = U - A。

二、集合运算的应用实例集合运算在实际问题中有着广泛的应用,下面介绍几个常见的实例。

1. 学生选课情况分析在一所学校,有两个班级,分别是A班和B班。

A班有学生集合A,B班有学生集合B。

为了了解两个班级中有哪些学生同时选了物理课和化学课,可以通过求两个集合的交集来得到结果。

即A班选物理课的学生集合A∩B班选化学课的学生集合B。

2. 地理分布分析假设一个国家有A、B、C、D四个省份,A省有城市集合A,B省有城市集合B,C省有城市集合C,D省有城市集合D。

为了了解哪些城市同时属于A、B、C三个省份,可以通过求三个集合的交集来得到结果,即A∩B∩C。

SX2020A059高考数学必修_集合问题的解题策略

SX2020A059高考数学必修_集合问题的解题策略

集合问题的解题策略有些集合问题,直接考虑并不易解决,如果改变考虑问题的角度,就可以把问题合理转化,得到简单易行的解法.下面介绍几例.一、灵活应用补集思想解题有些集合问题,从正面处理较难,一是解题思路不明朗,二是需要考虑的因素太多,要分多种情况讨论,运算量大,且讨论不全又容易出错.如用补集思想考虑其对立面,可以达到化繁为简的目的.例1 例2 已知集合A = {x | 2m -1<x <3m +2},B = {x | x ≤-2,或x ≥5},若A B ≠φ时,实数m 的取值范围.解:若A =φ,则2m -1≥3m +2,解得m ≤-3,此时A B=φ;若A ≠φ时,要使A B=φ,则应有:2132,212,32 5.m m m m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩⇒3,1,2 1.k k k >-⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩⇒-12≤m ≤1. 综上,当A B=φ时,m ≤-3或-12≤m ≤1, 所以当A B ≠φ时,m >1或-3<m <-12. 即所求实数k 的取值范围是k >2.评析:此题直接解,需分三种情况进行讨论,然后再求其并集.这样,考虑解题一是运算量大,二是容易出错,但“≠”的反面是“=”,即从问题的反面去思考探索,就容易得到正面结论.二、巧妙运用集合韦恩图解题用平面上一条封闭的曲线所围成的图形来表示集合,这个图形就叫做韦恩图.集合中图形语言具有直观形象的特点,将集合问题图形化,利用集合韦恩图的直观性,可以深刻理解集合有关概念、运算公式,有助于显示集合间的关系,所以,韦恩图是进行集合运算的有力工具.在深刻理解集合的交、并、补概念的基础上,用较简单的文氏图解有关集合问题,可化难为易.例2 定义集合A 与B 的运算:A ⊙B ={x |x ∈A ,或x ∈B ,且xA ∩B },已知集合A ={1,2,3,4},B ={3,4,5,6,7},则(A ⊙B )⊙B 为( )(A) {1,2,3,4,5,6,7} (B) {1,2,3,4}(C) {1,2} (D) {3,4,5,6,7}解:利用韦恩图,知(A ⊙B )⊙B 为阴影所示部分,即为{1,2,3,4},而选(B).评析:对于集合间的运算,通常是借助集合的性质和运算律来实施的,但若借用韦恩图则更方便,更简捷.有些数学问题,借用集合与对应的思想,去分析和研究其中的数量关系,利用集合思想与集BA合方法,使问题得到简化.三、借用数形结合思想解题数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景,在代数与几何的结合上寻找解题思路.求解集合有关的问题时,与之相关的几何图形的应用带来了便利条件.例3 设数集M={x| m ≤x ≤m +34},N ={x| n -13≤x ≤n},且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集.如果把b -a 叫做集合{x |a ≤x ≤b}的“长度”,那么集合MN 的长度的最小值是( ). A .31 B .32 C .121 D .125 分析:这是一道信息迁移题,属于应用性开放问题,用图形的直观性理解集合“长度”定义和集合交集的含义,即由图形把问题合理转化.解:根据题目提供的定义:b -a 叫做集合{x |a ≤x ≤b}的“长度”,可知集合M 的“长度”为定值43,集合N 的“长度”为定值31,集合{x |0≤x ≤1}的“长度”为定值1.求M N 的长度的最小值,相当于两线段公共部分最短时的长度值. 设AB 是一长度为1的线段,a 是长度为43的线段, b 是长度为31的线段.A 、b 可在线段AB 上自由滑动,a ,b 重叠部分的长度即为M N 的长度(如图).显然当a ,b 各自靠近AB 两端时,重叠部分最短.其值为:12113143=-+.故选C . 四、使用转化思想解题在解集合问题时,当一种集合的表达式不好入手时,可将其先转化为另一种形式.比如:将A B = B 或将A B = A 转化为B A ⊆,将()()U U A B 转化为()U A B ,将()()U U A B 转化为()U A B 等.例4 已知M ={(x ,y)| y = x +a},N ={(x ,y)| x 2+y 2= 2},求使得M N =φ成立的实数a 的取值范围.解:M N =φ等价于方程组22,2.y x a x y =+⎧⎨+=⎩无解. 把y = x +a 代入方程x 2+y 2= 2中,消去y ,得关于x 的一元二次方程2x 2+2ax +a 2-2= 0.① 问题又转化为一元二次方程①无实根,即△= (2a)2-4×2×(a 2-2)<0,由此解得a >2或a <-2.A B a b故所求实数a的取值范围是{a | a>2或a<-2}.评析:在理解集合符号的基础上,准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题,然后用所学的知识和方法把问题解决.这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来,提高解题效率.。

《子集、全集、补集》典型例题剖析

《子集、全集、补集》典型例题剖析

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系:(1){15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣; (2){}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣;(3){(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或; (4){}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析 (1)中集合表示不等式,可以根据范围直接判断,也可以利用数轴判断;(2)解集合A 中方程得到集合A ,再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ,进行判断;(3)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断;(4)将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式,再进行判断.答案 (1)方法一:集合B 中的元素都在集合A 中,但集合A 中有些元素(比如00.5-,)不在集合B 中,故BA .方法二:利用数轴表示集合A ,B ,如下图所示,由图可知BA .(2){}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中,当n 为奇数时,1(1)02nx +-==,当n 为偶数时,1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.(3)方法一:由00000xy x y x y >>><<得,或,;由000x y x >><,或,0y <得0xy >,从而A B =.方法二:集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标,集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标,从而A B =.(4)对于任意x A ∈,有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知,A B ⊆.设1B ∈,此时2451a a -+=,解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解,1A ∴∉. 综上所述,AB .名师点评 对于(5),在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆,再进一步判断AB .判断A B 时,只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系:(1){3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣; (2)1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣,1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案 (1)A 中的元素都是3的倍数,B 中的元素都是6的倍数,对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ,因为z ∈N ,所以2z ∈N ,从而可得6z A ∈,从而有B A ⊆.设63z =,则12z =∉N ,故3B ∉,但3A ∈,所以BA . (2)方法一:取,0,1,2,3,4,5,k =,可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素,但B 中的有些元素不在集合A 中,A B .方法二:集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ,集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ,而21k +为奇数,2k +为整数,A B ∴.点拨 判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征,再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围 类型(一)有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣,若BA ,试求a 的值.解析: 首先将集合A ,B 具体化,在对集合B 具体化时,要注意对参数a 进行讨论,然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣,且BA ,(1)当B =∅时,方程10ax -=无解,故0a =;(2)当B ≠∅时,则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时,B A ; 若13a =,即13a =时,B A . 综上可知,a 的值为:10,1,3-.易错提示 特别要注意子集与真子集的区别,审清题意,由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅,这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣,那么满足A C B 的集合C 的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣,由题意集合C 可以是{123},,,{124},,.本题考查对元素个数及真子集的理解,一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为:已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣,则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣,由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},故答案为4.类型(二) 无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣,若A B ,求实数a 的取值集合.解析 将数集A 在数轴上表示出来,再将B 在数轴上表示出来,使得A B ,即可求出a 的取值范围.答案 将数集A 表示在数轴上(如图),要满足AB ,表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示 在解决取值范围问题时,一般借助数轴比较直观,但一定要注意端点的取舍问题,能取的用实心点,不能取的用空心点,此题易漏掉端点4,显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. (1)若B A ⊆,求实数a 的取值范围; (2)若AB ,求a 的取值范围.答案 (1),B A D ⊆∴=∅①时,满足要求. 则121a a +>-即2a <;②B ≠∅时,则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知:3a ≤. (2)121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩,,且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组,无解,a ∴∈∅,即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ,集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===,,则集合B =____________.解析 因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==,所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =,所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5,,,变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===,则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为( )A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨 由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==,所以集合U M 和UN 共有的元素为6,组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣,集合{}15B x x =<<∣. (1)若A B ⊆,求实数a 的取值范围; (2)若RAB ,求实数a 的取值范围.解析 (1)可借助数轴求解;(2)先根据集合B 求出共补集RB ,再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案(1)若A =∅,则21a a +≤,解得1a ≤-,满足题意; 若A ≠∅,则21a a <+,解得1a >-.由A B ⊆,可得2151a a +≤≥且,解得12a ≤≤.综上,实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. (2)R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅,则211a a a +≤≤-,则,此时RAB ,满足题意;若A ≠∅,则1a >-. 又RAB ,所以5211a a ≥+≤或,所以510a a ≥-<≤或.综上,实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣,若RA B ⊆,求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣,得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆,所以1a ≤,故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. (1)列举观察法.当集合中元素较少时,可列出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系. (2)集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣,①若由()p x 可推出()q x ,则A B ⊆;②若由()q x 可推出()p x ,则B A ⊆;③若()p x ,()q x 可互相推出,则A B =;④若由力()p x 推不出()q x ,由()q x 也推不出()p x ,则集合A ,B 无包含关系.(3)数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系,一般地,判断不等式的解集之间的关系,适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.一般地,若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性;若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.(1)若所给集合是有限集,则先把集合中的元素列举出来,然后结合补集的定义来求解另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn 图来求解,这样处理比较直观、形象,且解答时不易出错.(2)若所给集合是无限集,在解答有关集合补集问题时,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的 以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体,求参数的范围为任务,借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动,加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境 已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣,若B A ⊆,求实数a 的取值范围.分析 易知集合{0,4}A =-,由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或,,进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或,. 当B =∅时,()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-;当{}0B =时,由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩,,解得1a =-. 当{}4B =-时,由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解; 当{0,4}B =-时,由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知,实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。

请根据集合的基础运算练习题,给出10个不同的案例。

请根据集合的基础运算练习题,给出10个不同的案例。

请根据集合的基础运算练习题,给出10
个不同的案例。

请根据集合的基础运算练题,给出10个
不同的案例
以下是根据集合的基础运算练题给出的10个不同的案例:
1. 案例一:假设集合A包含元素1、2、3,集合B包含元素3、4、5。

计算A和B的并集。

2. 案例二:假设集合A包含元素a、b、c,集合B包含元素b、
c、d。

计算A和B的交集。

3. 案例三:假设集合A包含元素1、2、3、4、5,集合B包含
元素3、4、5。

计算A中有而B中没有的元素。

4. 案例四:假设集合A包含元素a、b、c、d,集合B包含元
素c、d、e、f。

计算两个集合的差集。

5. 案例五:假设集合A包含元素1、2、3,集合B包含元素4、5、6。

判断A和B是否有交集。

6. 案例六:假设集合A包含元素a、b、c、d,集合B包含元
素c、d、e、f。

判断集合A是否包含集合B。

7. 案例七:假设集合A包含元素1、2、3、4,集合B包含元
素2、3、4、5。

判断集合A是否为集合B的子集。

8. 案例八:假设集合A包含元素a、b、c、d,集合B包含元
素c、d、e、f。

判断集合A和B是否相等。

9. 案例九:假设集合A包含元素1、2、3、4、5,集合B包含
元素6、7、8、9。

判断集合A和B是否互不相交。

10. 案例十:假设集合A包含元素a、b、c,集合B包含元素d、
e、f。

判断集合A和B是否完全不同。

请注意,以上案例仅供参考,实际问题中的集合运算可能更为
复杂。

1.1.3补集及集合的综合运用

1.1.3补集及集合的综合运用

练习2.设全集U {1, 2,3, 4,5}, A (CU A) B {4}, CU ( A 论正确的是( ) A.3 A,3 B C.3 A,3 B
B {2},
B ) {1,5}, 下列结
B.3 A,3 B D.3 A,3 B
例2.(2016 北京)某网店统计了连续三天 售出商品的 种类情况: 第一天售出 19种商品, 第二天售出 13种商品, 第三天售出 18件商品; 前两天都售出的商品有 3种, 后两天都售出的商品有 4种。则该网店 (1)第一天售出但第二天未 售出的商品有______种; (2)这三天售出的商品最少 有 _____种.
练习2.某班级共有学生 30人, 其中 15人喜欢篮球运动 , 10人喜欢乒乓球 ,8人对这两项运动都不喜 欢, 求喜欢篮球运动但不喜 欢乒乓球运动的人数 .
例3.如图,请用集合U , A, B, C分别表示下列 部分所表示的集合: Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ.
1.1.3补集及集合的综合运用
A是船寮高中 2018 级所有的高一学生所构 成的集合; B是该高一段周末在家完 成作业的学生所构成的 集合; C是该高一段周末在家未 完成作业的学生所构成 的集合;
请你分析一下 A, B, C三者有什么关系 ?
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题 通常记作U .
补集的性质 (1)CU U ____; (3)(CU A)
U A ____;(4) A (CU A) _____;
U (2)CU _____;
A . (5)CU (CU A) _____
求CR A; CR B;
练习.设U {x | x 4}, A {x | 1 x 2}, B {x |1 x 3}.求: (1)(CU A) B;

子集全集补集典型例题

子集全集补集典型例题

子集全集补集典型例题子集、全集、补集是集合论中的重要概念,理解和掌握它们对于解决集合相关的问题至关重要。

下面通过一些典型例题来深入探讨这些概念。

例 1:已知集合 A ={1, 2, 3, 4, 5},集合 B ={1, 2, 3},判断集合 B 是否为集合 A 的子集。

解:因为集合 B 中的所有元素 1、2、3 都在集合 A 中,所以集合 B 是集合 A 的子集。

这里要明确子集的定义,如果集合 B 的所有元素都是集合 A 的元素,那么集合 B 就是集合 A 的子集。

例 2:设全集 U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},集合 A ={1, 2, 3, 4},求集合 A 的补集。

解:全集 U 中不属于集合 A 的元素为 5、6、7、8、9,所以集合 A 的补集为{5, 6, 7, 8, 9}。

补集的概念就是在给定的全集中,除去某个集合中的元素,剩下的元素所组成的集合。

例 3:集合 M ={x | x < 5},集合 N ={x | x > 2},全集 U= R,求集合 M 的补集和集合 N 的补集。

解:集合 M 的补集是{x |x ≥ 5},集合 N 的补集是{x |x ≤ 2}。

对于这种用不等式表示集合的情况,要注意理解实数轴上的范围来确定补集。

例 4:已知集合 A ={x |-2 < x < 3},集合 B ={x | 1 < x < 5},全集 U = R,求(∁UA)∩(∁UB)。

解:∁UA ={x |x ≤ -2 或x ≥ 3},∁UB ={x |x ≤ 1 或x ≥ 5}所以(∁UA)∩(∁UB)={x |x ≤ -2 或x ≥ 5}这道题需要先分别求出两个集合的补集,然后再求交集。

例 5:集合 P ={(x, y)| x + y = 2},集合 Q ={(x, y)|x y = 4},全集 U 为平面直角坐标系中所有点组成的集合,求∁UP 和∁UQ。

解:对于集合 P,解方程组{x + y = 2}可得 y = 2 x,所以集合 P 表示直线 y = 2 x 上的点。

集合的基本运算 补集及综合应用 课件

集合的基本运算  补集及综合应用   课件
3.要使用好数轴这个工具,特别是关于数集的交、并、 补运算,利用数轴可以直观地写出解集.
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 UM =( C ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}
【解析】U中的元素去掉1,2,4得 UM,故选C.
2、若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},
补集及综合应用
思考1 如果你所在班级共有60名同学,要求你从中选 出56名同学参加体操比赛,你如何完成这件事呢?
你不可能直接去找张三、李四、王五、……一一确 定出谁去参加吧?如果按这种方法做这件事情,可就麻 烦多了.若确定出4位不参加比赛的同学,剩下的56名 同学都参加,问题可就简单多了.不要小看这个问题的 解决方法,它可是这节内容补集的现实基础.
(1) UU (2) U U
(3) U ( U A) A
(4) A ( U A) U (5) A ( U A)
补集的运算性质(2) (1) U ( A B) ( U A) ( U B)
(2) U ( A B) ( U A) ( U B)
U
例3 已知全集U={所有不大于30的质数},A,B
CUA
图形语言
补集符号∁∪A有三层含义:
(1)A是U的一个子集,即A U;
(2)∁∪A表示一个集合,且∁∪A U;
(3)∁∪A是U中所有不属于A的元素构成的集合.
判断:(1)补集既是集合间的一种关系,同时也是集
合间的一种运算.
( √)
(2)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,
集合A其实是给定的条件.
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补 并集运算
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第七章集合案例7-1 Collection接口对集合的操作一、案例描述1、考核知识点编号:00107002名称:Collection接口2、练习目标掌握Collection接口中方法的使用3、需求分析Collection是所有单列集合的父接口,在Collection中定义了单列集合(List和Set)通用的一些方法。

为了让初学者熟悉Collection接口中的常用方法,本案例将演示Collection接口中的方法对集合进行操作来学习方法的使用。

4、设计思路(实现原理)1)编写一个类Example012)在类中定义两个Collection集合,并向其中一个集合中添加数据3)用Collection接口中的方法对定义的两个集合进行各种操作二、案例实现import .*;public class Example01 {public static void main(String[] args) {;语句导包,否则程序将会编译失败,显示类找不到。

案例7-2 List接口的特有方法一、案例描述1、考核知识点编号:00107003名称:List接口2、练习目标掌握List接口的常用方法的使用3、需求分析List作为Collection集合的子接口,不但继承了Collection接口中的全部方法,而且还增加了一些根据元素索引来操作集合的特有方法。

为了熟悉List接口中特有方法的使用,本案例将演示使用List接口中的方法对List集合进行添加、修改等操作。

4、设计思路(实现原理)1)编写一个类Example022)在类中定义两个list集合,并向其中一个集合中添加数据。

3)用subList(int fromIndex, int toIndex)方法获取集合的一部分4)用set(int index, E element)方法修改一个元素5)用add(int index, E element)方法增加一个元素二、案例实现import .*;public class Example02{public static void main(String[] args) {List list = new ArrayList();("abc1");;public class Example03{public static void main(String[] args) {ArrayList array = new ArrayList();("lisi");("wangwu");("jordan");("jackson");("white");;"第2个元素是:" + (1));}}运行结果如图7-4所示。

图7-1运行结果三、案例总结1、在ArrayList内部封装了一个长度可变的数组对象,当存入的元素超过数组长度时,ArrayList会在内存中分配一个更大的数组来存储这些元素,因此可以将ArrayList集合看作一个长度可变的数组。

2、索引位置为1的元素是集合中的第二个元素,这就说明集合和数组一样,索引的取值范围是从0开始的,最后一个索引是size-1,在访问元素时一定要注意索引不可超出此范围,否则会抛出角标越界异常IndexOutOfBoundsException。

3、由于ArrayList集合的底层是使用一个数组来保存元素,在增加或删除指定位置的元素时,会导致创建新的数组,效率比较低,因此不适合做大量的增删操作。

但这种数组的结构允许程序通过索引的方式来访问元素,因此使用ArrayList集合查找元素很便捷。

案例7-4 LinkedList集合的特殊方法一、案例描述1、考核知识点编号:00107005名称:LinkedList集合2、练习目标了解LinkedList集合的特点掌握LinkedList集合的特殊方法的使用3、需求分析ArrayList集合在查询元素时速度很快,但在增删元素时效率较低,为了克服这种局限性,可以使用List接口的另一个实现类LinkedList。

LinkedList集合除了对于元素的增删操作具有很高的效率,还专门针对元素的增删操作定义了一些特有的方法。

为了熟悉这些特殊的方法,本案例将演示如何使用LinkedList中的特殊方法对集合进行增删操作。

4、设计思路(实现原理)1)编写一个类Example04,在该类中定义一个LinkedList集合2)分别使用addFirst()和addLast()方法向集合中添加元素3)使用peekFirst()方法获取集合中的第一个元素4)使用pollFirst()方法获取并移除集合中的第一个元素5)使用pollLast()方法获取并移除集合中的最后一个元素6)此时,集合中应该没有元素了,用peekLast()方法获取集合中的最后一个元素,由于集合为空,应该返回NULL二、案例实现import .*;public class Example04 {public static void main(String[] args) {LinkedList link = new LinkedList();("abc1"); ;public class Example05 {public static void main(String[] args) {List list = new ArrayList();("abc1"); ;public class Example06 {public static void main(String[] args) {;public class Example07 {public static void main(String[] args) {List list = new ArrayList();("abc1");("abc2");("abc3");("abc4");ListIterator lit = ();while ()) {Object o = ();quals(o)) {("abc5");};};public class Example08 {public static void main(String[] args) {Vector v = new Vector(); ;public class Example09 {public static void main(String[] args) {;public class Example10 {public static void main(String[] args) {;public class Example11 {public static void main(String[] args) {TreeSet ts = new TreeSet(); ;public class Example13 {public static void main(String[] args) {4) 值"林志颖"在集合中存在,所以输出true。

5)因为集合不为空,所以()返回false。

案例7-14 遍历Map中所有的键值一、案例描述1、考核知识点编号:00107014名称:HashMap集合2、练习目标掌握遍历Map中所有的键值两种方法3、需求分析在程序开发中,经常需要取出Map中所有的键和值。

为了让大家熟悉遍历Map中所有的键值,本案例将演示遍历Map中所有的键值对的两种遍历方式。

4、设计思路(实现原理)1)编写类Example14,在该类中创建Map集合并向集合中添加元素2)使用第一种方式,遍历集合元素,先获取键的集合,再获取键所对应的值3)使用第二种方式,先获取集合中键值对映射关系,再从映射关系中获得键和值二、案例实现import .*;public class Example14 {public static void main(String[] args) {;public class Example15{public static void main(String[] args) {String s = "cbxzbvavdvgd";ppend("(").append(i).append(")");}String result = ();;}}运行结果如图7-20所示。

图7-2运行结果三、案例总结1、在本案例中,演示了TreeMap集合中元素的存储和迭代方法与HashMap相同。

从输出结果可以看出,TreeMap集合中的元素是不重复的,并且按照值的自然顺序进行了排序。

这是因为在TreeMap中是通过二叉树的原理来保证键的唯一性,这个TreeSet集合存储的原理一样,因此TreeMap中所有的键是按照某种顺序排列的。

2、本案例中,在定义TreeMap集合时使用了泛型,即<参数化类型>。

它可以指定该类中方法操作的数据类型,避免在集合存取时会产生的数据类型转化的错误。

案例7-16 Proeprties集合的功能一、案例描述1、考核知识点编号:00107016名称:Proeprties集合2、练习目标掌握Proeprties集合的存储和遍历方法3、需求分析Map接口中还有一个实现类Hashtable,它和HashMap的区别是Hashtable是线程安全的。

Hashtable类有一个子类Properties在实际应用中非常重要,Properties主要用来存储字符串类型的键和值,为了掌握Properties集合的使用,本案例将演示Properties集合中元素的存储,修改和遍历。

4、设计思路(实现原理)1)编写一个类Example16,创建Proeprties集合对象2)向Proeprties集合中添加元素3)遍历Proeprties集合中的元素二、案例实现import .*;public class Example16{public static void main(String[] args) {;public class Example17 {public static void main(String[] args) {;public class Example18 {public static void main(String[] args) {案例7-19 Arrays类对数组的操作一、案例描述1、考核知识点编号:00107020名称:Arrays工具类2、练习目标掌握如何使用Arrays工具类对数组进行操作3、需求分析Arrays是一个专门用于操作数组的工具类,其中提供了大量的静态方法。

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