五年级奥数精编数学蝴蝶模型课件
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
蝴蝶定理模型
蝴蝶定理模型【1】任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”） （1）1243::S S S S =或1324S S S S ⨯=⨯（2）根据1S 与4S 的高相等，3S 与2S 的高相等可以得到1234:():()AO CO S S S S =++ 【2】梯形中的比例关系（“蝴蝶定理”） （1）2213::S S a b =(a 、b 为份数)（2）221324:::::():()S S S S a b ab ab =(a 、b 为份数) （3）梯形面积的对应份数为：()2a b +(a 、b 为份数)【3】已知四边形ABCD ，O 是BD 的中点。
NE 、MF 相交于点O 。
那么OP ＝OQ【例1】已知正方形的面积为12，E 、F 是DC 上三等分点。
求阴影部分的面积。
【分析提示】：由E 、F 是DC 上三等分点可知，:1:3EF AB =。
设1EOF S ∆=(份)，根据梯形蝴蝶定理1可以知道()AOE BOF S S ∆∆==份,()AOB S ∆=份。
又()ADE BFC S S ∆∆==。
从而阴影部分的面积为： 。
【例2】如图，四边形ABCD 被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积如图所示。
求（1）BGC S ∆; (2):AG GC 。
【分析提示】：根据任意四边形中蝴蝶定理可以知道123BGC S ∆⨯=⨯, 那么6BGC S ∆=ABCDODACB EFM NOP QABCDO（2） 。
【训练与提高】1.在直角梯形ABCD 中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。
梯形ABCD的面积是多少平方厘米？解答:连接AE,可得15AEF BFC S S ∆∆==，。
而因为()ABC S ∆= 再次用蝴蝶定理可求()EFC S ∆=所以()ABCD S ∆=2．如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空 白三角形的高均为（ ），因此空白处的总面积为（）， 阴影部分的面积为（ ）＝（ ）。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
部编版数学五年级上册第7讲.蝴蝶模型.优秀A版
面积是多少？
A
D
E
F
B
C
【分析】根据梯形蝴蝶模型，可以得到 SAFB SDFC SAFD SBFC ，而 SAFB SDFC (等积变换)，所
以可得
SAFD
SAFB SCDF S BFC
9 9 27
3 ，并且 SAEF
SADF
SAED
Байду номын сангаас
3 1.8 1.2 ,而
SAFB : SBFC AF : FC 9 : 27 1: 3 ,所以阴影 AEC 的面积是：
知识点回顾
比例模型 : (1)
A
E
FB
DC
同底, 面积比等于高之比． SABC AD S BCE EF
(2) A
B
D
C
同高, 面积比等于底之比． SABD BD ． S ACD DC
1. 如图, 三角形 ABC 中 BC 的高 AD 长 7 厘米, 三角形 BCE 中 BC 的高 EF 长 3 厘米．并且已知 SABC 70 平方厘米, 则 SBCE ____
S a b2 5 72 144 (平方厘米)．
【铺垫】如图,证明梯形蝴蝶模型的结论.
a
A
S1
B
S2 O
S4
S3
a
A
S1 x B
S2 O
S4
y
S3
D b
CD
b
C
① S2 S4
② S1 : S2 S4 : S3 或者 S1 S3 S2 S4 ；
③ S1 : S3 : S2 : S4 : S梯形 a 2 : b2 : ab : ab : (a b)2
【分析】证明: (1)因为 AB∥CD,所以 SACD S BCD (同底等高的两三角形面积相等),所以 S ACD SCOD SBCD S COD ,即 S2 S4
小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
07 蝴蝶模型
基本蝴蝶模型
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梯形蝴蝶模型
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梯形蝴蝶模型
梯形蝴蝶模型两翼三角形面积相等
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梯形蝴蝶模型
25 35
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பைடு நூலகம்
梯形蝴蝶模型
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蝴蝶模型
主讲：五豆
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等积变换
基本蝴蝶模型
梯形蝴蝶模型
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等积变换
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等积变换
当两个三角形同底或等底时，它们的面积比等于对应高之比 当两个三角形同高或等高时，它们的面积比等于对应底之比
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小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
数学：第7讲《蝴蝶模型》
10
（2）如图，已知小正方形边长 为 6 厘米，请求出阴影部分的面
积；
6
（3）如图，正方形 ABCD 和正
方形 ECGF 并排放置，BF 与 EC
相交于点 H，已知 AB 6厘米，
则阴影部分的面积是多少平方
厘米？
E
F
A
D
6
H
B
C
G
【答案】 （1）50 平方厘米；（2）18 平方 厘米；（3）18
连结 EF，显然四边形 ABEF 和
四边形 DCEF 都是梯形，根据梯
形蝴蝶模型中的“翅膀相等”，可
以得到：三角形 EFG 的面积等 于三角形 ABG 的面积；三角形 EFH 的面积等于三角形 CDH 的 面积，所以四边形 EGFH 的面积 是11 23 34.
例5 （1）如图，已知大正方形边长 为 10 厘米，请求出阴影部分的 面积；
五年级数学星队秋季班第七讲
蝴蝶模型
例1
任意四边形中的蝴蝶模型：
（1）如图，四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O，图形中出 现了 4 个小三角形；其中有 3 个 小三角形的面积被标注出来了，
请写出第 4 个小三角形的面积.
A
D
1
2O
3
B
C
【答案】
1.5
【解析】
设所求面积为 x，则根据等高模
D
A O
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蝴蝶模型
五年级 第六课
本讲主线
1、四边形中的蝴蝶模型 2、梯形中的蝴蝶模型
本讲主线
1、四边形中蝴蝶模型
（1） S1×S3=S2×S4
（2）△ABD=AO △CBD OC
例题【一】（★ ★ ）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个 部分， △AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平 方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积 是多少平方千米？
16 △OAB=1×25=25
16 16
例题【五】（★ ★ ★ ★）
如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4平方 厘米，△CED的面积是6平方厘米.问：四边形ABEF的面积是 多少？
连接BF，得到梯形FBCD △FCE=6 根据蝴蝶模型： △BCE=6×6÷4=9 根据一半模型： 四ABEF=9+6-4=11
根据蝴蝶模型可得： △AOD=3×1÷2=1.5 四边形ABCD的面积： 1+2+3+1.5=7.5 人工湖的面积：7.5-6.92=0.58（平方千米）
例题【二】（★ ★ ★）
如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、 板块二:梯形中的蝴蝶模型△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6.求：
△1OCD=35×35÷25 =35×35 25 =49
25+35×2+49=144（平方厘米）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ）
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O.已 知AB＝5，CD＝3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积.
梯形中的面积份数，9:25:15:15 共计：64份 一份：4÷64=1
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（2）△ABC=AO △CBD OC
2.梯形中的蝴蝶模型 （1）S1×S3=S2×1 （2）S1：S2：S3：S4=a2：ab：b2：ab
以下赠品教育通用模板
前言
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超常大挑战
如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、 5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米
连接ED、FC、得到梯形EBCF 长=12×2=24 根据梯形蝴蝶模型：24-5-2-8=9 △EDO=△OCF=4 △FDC=8+4=12
知识链接
1、四边形中蝴蝶模型 （1）S1×S3=S2×S4
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（2）△OEC=8-6=2 根据蝴蝶模型：
OG=△OEF=4=2 GC △ECF 2 1
∴△GCE=2×1=2 33
知识链接
2、梯形中的蝴蝶模型
（1）S1×S3=S2×S4 （2）S1:S2:S3:S4=a2:ab:b2:ab （3）AO=DO=a
OC OB b
例题【三】（★ ★ ★）
如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知 △AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么 梯形ABCD的面积是多少平方厘米.
（1）求△OCF的面积； （2）求△GCE的面积，
（1）△BCD=2+4+4+6=16 △BCO=△CDO=8 △OCF=8-4=4
例题【二】（★ ★ ★）
如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、 板块二:梯形中的蝴蝶模型△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6.求：
（1）求△OCF的面积； （2）求△GCE的面积，