基于贝叶斯决策理论的分类器
基于概率统计的贝叶斯分类器设计
基于概率统计的贝叶斯分类器设计摘要：贝叶斯决策理论是统计模式识别中的一个基本方法。
依据贝叶斯决策理论设计的分类器具有最优的性能,即所实现的分类错误率或风险在所有可能的分类器中是最小的,因此经常被用来衡量其他分类器设计方法的优劣。
关键词：贝叶斯分类器 后验概率 贝叶斯公式随着计算机与信息技术的发展，及时处理数据效率更高，分类技术能对大量的数据进行分析，并建立相应问题领域中的分类模型。
在各种分类方法中基于概率的贝叶斯分类方法比较简单，得到了广泛的应用。
一 原理概述：贝叶斯分类器是基于贝叶斯网络所构建的分类器，贝叶斯网络是描述数据变量之间关系的图形模型，是一个带有概率注释的有向无环图。
贝叶斯分类器的分类原理是通过某对象的先验概率，利用贝叶斯公式计算出其后验概率，即该对象属于某一类的概率，选择具有最大后验概率的类作为该对象所属的类。
(1) 贝叶斯分类并不把一个对象绝对地指派给某一类,而是通过计算得出属于某一类的概率,具有最大概率的类便是该对象所属的类;(2) 一般情况下在贝叶斯分类中所有的属性都潜在地起作用,即并不是一个或几个属性决定分类,而是所有的属性都参与分类;(3) 贝叶斯分类对象的属性可以是离散的、连续的,也可以是混合的..二 计算方法：1、贝叶斯分类的先决条件：(1) 决策分类的类别数是一定的，设有c 个模式类ωi （i=1，2，…，c ） ()()()()p B A P A P A B p B =(2) 各类别总体的概率分布已知，待识别模式的特征向量x 的状态后验概率P(ωi|x)是已知的；或各类出现的先验概率P(ωi)和类条件概率密度函数p(x|ωi)已知2、两类分类的最小错误率Bayes 分类决策规则的后验概率形式：设N 个样本分为两类ω1，ω2。
每个样本抽出n 个特征，x =（x1， x2， x3，…， xn ）T其中，P (ωi |x)为状态后验概率。
由Bayes 公式：两类分类的贝叶斯决策函数：三 实例说明: 一数据集有两类，每个样本有两个特征，类别1（class1.txt 文件）含有150个样本，类别2（class2.txt 文件）含有250个样本（.txt 文件可以直接在Matlab 中读入），分别取类别1的前100个和类别2的前200个样本作为训练样本，剩下的作为测试样本。
贝叶斯分类器的实现与应用
贝叶斯分类器的实现与应用近年来，机器学习技术在各个领域都有着广泛的应用。
其中，贝叶斯分类器是一种常用且有效的分类方法。
本文将介绍贝叶斯分类器的原理、实现方法以及应用。
一、贝叶斯分类器原理贝叶斯分类器是一种概率分类器，它基于贝叶斯定理和条件概率理论，通过统计样本之间的相似度，确定样本所属分类的概率大小，从而进行分类的过程。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)其中，P(A|B) 表示在已知 B 的条件下，事件 A 发生的概率；P(B|A) 表示在已知 A 的条件下，事件 B 发生的概率；P(A) 和 P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 的概率。
在分类问题中，假设有 m 个不同的分类，每个分类对应一个先验概率 P(Yi)，表示在未知样本类别的情况下，已知样本属于第 i 个分类的概率。
对于一个新的样本 x，通过求解以下公式，可以得出它属于每个分类的后验概率 P(Yi|X)：P(Yi|X) = P(X|Yi) × P(Yi) / P(X)其中，P(X|Yi) 表示样本 X 在已知分类 Yi 的条件下出现的概率。
在贝叶斯分类器中，我们假设所有特征之间是独立的，即条件概率 P(X|Yi) 可以表示为各个特征条件概率的乘积，即：P(X|Yi) = P(X1|Yi) × P(X2|Yi) × ... × P(Xn|Yi)其中，X1、X2、...、Xn 分别表示样本 X 的 n 个特征。
最终，将所有分类对应的后验概率进行比较，找出概率最大的那个分类作为样本的分类结果。
二、贝叶斯分类器实现贝叶斯分类器的实现包括两个部分：模型参数计算和分类器实现。
1. 模型参数计算模型参数计算是贝叶斯分类器的关键步骤，它决定了分类器的分类性能。
在参数计算阶段，需要对每个分类的先验概率以及每个特征在每个分类下的条件概率进行估计。
先验概率可以通过样本集中每个分类的样本数量计算得到。
贝叶斯分类器
贝叶斯分类器 本⽂主要介绍⼀个常见的分类框架--贝叶斯分类器。
这篇⽂章分为三个部分：1. 贝叶斯决策论；2. 朴素贝叶斯分类器； 3. 半朴素贝叶斯分类器 贝叶斯决策论 在介绍贝叶斯决策论之前，先介绍两个概念：先验概率（prior probability）和后验概率（posterior probability）。
直观上来讲，先验概率是指在事件未发⽣时，估计该事件发⽣的概率。
⽐如投掷⼀枚匀质硬币，“字”朝上的概率。
后验概率是指基于某个发⽣的条件事件，估计某个事件的概率，它是⼀个条件概率。
⽐如⼀个盒⼦⾥⾯有5个球，两个红球，三个⽩球，求在取出⼀个红球后，再取出⽩球的概率。
在wiki上，先验概率的定义为：A prior probability is a marginal probability, interpreted as a description of what is known about a variable in the absence of some evidence。
后验概率的定义为：The posterior probability is the conditional probability of the variable taking the evidence into account. The probability is computed from the prior and the likelihood function via Baye's theorem. 现在以分类任务为例。
⾸先假设有N种可能的类别标签，即y={c1, c2, ..., cN}, λij 表⽰将⼀个真实标记为cj的样本误分类为ci时产⽣的损失。
后验概率p(ci|x)表⽰将样本x分类给ci是的概率。
那么将样本x分类成ci产⽣的条件风险（conditional risk）为： 其中，P(cj|x) 表⽰样本x分类成cj类的概率，λij 表⽰将真实cj类误分类为ci类的损失。
常用的分类模型
常用的分类模型一、引言分类模型是机器学习中常用的一种模型，它用于将数据集中的样本分成不同的类别。
分类模型在各个领域有着广泛的应用，如垃圾邮件过滤、情感分析、疾病诊断等。
在本文中，我们将介绍一些常用的分类模型，包括朴素贝叶斯分类器、决策树、支持向量机和神经网络。
二、朴素贝叶斯分类器朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类模型。
它假设所有的特征都是相互独立的，这在实际应用中并不一定成立，但朴素贝叶斯分类器仍然是一种简单而有效的分类算法。
2.1 贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一条基本公式，它描述了在已知一些先验概率的情况下，如何根据新的证据来更新概率的计算方法。
贝叶斯定理的公式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B独立发生的概率。
2.2 朴素贝叶斯分类器的工作原理朴素贝叶斯分类器假设所有特征之间相互独立，基于贝叶斯定理计算出后验概率最大的类别作为预测结果。
具体地，朴素贝叶斯分类器的工作原理如下：1.计算每个类别的先验概率，即在样本集中每个类别的概率。
2.对于给定的输入样本，计算每个类别的后验概率，即在样本集中每个类别下该样本出现的概率。
3.选择后验概率最大的类别作为预测结果。
2.3 朴素贝叶斯分类器的优缺点朴素贝叶斯分类器有以下优点：•算法简单，易于实现。
•在处理大规模数据集时速度较快。
•对缺失数据不敏感。
但朴素贝叶斯分类器也有一些缺点：•假设特征之间相互独立，这在实际应用中并不一定成立。
•对输入数据的分布假设较强。
三、决策树决策树是一种基于树结构的分类模型，它根据特征的取值以及样本的类别信息构建一个树状模型，并利用该模型进行分类预测。
3.1 决策树的构建决策树的构建过程可以分为三个步骤：1.特征选择：选择一个最佳的特征作为当前节点的划分特征。
模式识别--第三讲贝叶斯分类器（PDF）
第三讲贝叶斯分类器线性分类器可以实现线性可分的类别之间的分类决策，其形式简单，分类决策快速。
但在许多模式识别的实际问题中，两个类的样本之间并没有明确的分类决策边界，线性分类器（包括广义线性分类器）无法完成分类任务，此时需要采用其它有效的分类方法。
贝叶斯分类器就是另一种非常常见和实用的统计模式识别方法。
一、 贝叶斯分类1、逆概率推理Inverse Probabilistic Reasoning推理是从已知的条件（Conditions），得出某个结论（Conclusions）的过程。
推理可分为确定性（Certainty）推理和概率推理。
所谓确定性推理是指类似如下的推理过程：如条件B存在，就一定会有结果A。
现在已知条件B存在，可以得出结论是结果A一定也存在。
“如果考试作弊，该科成绩就一定是0分。
”这就是一条确定性推理。
而概率推理（Probabilistic Reasoning）是不确定性推理，它的推理形式可以表示为：如条件B存在，则结果A发生的概率为P(A|B)。
P(A|B)也称为结果A 发生的条件概率（Conditional Probability）。
“如果考前未复习，该科成绩有50%的可能性不及格。
”这就是一条概率推理。
需要说明的是：真正的确定性推理在真实世界中并不存在。
即使条件概率P(A|B)为1，条件B存在，也不意味着结果A就确定一定会发生。
通常情况下，条件概率从大量实践中得来，它是一种经验数据的总结，但对于我们判别事物和预测未来没有太大的直接作用。
我们更关注的是如果我们发现了某个结果（或者某种现象），那么造成这种结果的原因有多大可能存在？这就是逆概率推理的含义。
即：如条件B存在，则结果A存在的概率为P(A|B)。
现在发现结果A出现了，求结果B存在的概率P(B|A)是多少？例如：如果已知地震前出现“地震云”的概率，现在发现了地震云，那么会发生地震的概率是多少？再如：如果已知脑瘤病人出现头痛的概率，有一位患者头痛，他得脑瘤的概率是多少？解决这种逆概率推理问题的理论就是以贝叶斯公式为基础的贝叶斯理论。
贝叶斯分类器ppt课件
各类在不相关属性上具有类似分布
类条件独立假设可能不成立
使用其他技术，如贝叶斯信念网络（ Bayesian Belief Networks，BBN）
贝叶斯误差率
13
贝叶斯分类器最小化分类误差的概率 贝叶斯分类使决策边界总是位于高斯分布下两类
1和2的交叉点上
类C2 类C1
计算P(X| No)P(No)和P(X| Yes)P(Yes)
P(X| No)P(No)=0.0024 0.7=0.00168 P(X| Yes)P(Yes)=0 0.3=0
因为P(X| No)P(No)>P(X| Yes)P(Yes), 所以X分类为No
贝叶斯分类器
10
问题
如果诸条件概率P(Xi=xi |Y=yj) 中的一个为0，则它 们的乘积（计算P(X |Y=yj)的表达式）为0
设C=0表示真实账号，C=1表示不真实账号。
15
1、确定特征属性及划分
区分真实账号与不真实账号的特征属性， 在实际应用中，特征属性的数量是很多的，划分也会比
较细致 为了简单起见，用少量的特征属性以及较粗的划分，并
对数据做了修改。
16
选择三个特征属性：
a1：日志数量/注册天数 a2：好友数量/注册天数 a3：是否使用真实头像。
P( y j | X) P( yi | X), 1 i k, i j
根据贝叶斯定理, 我们有
P(y j
|
X)
P(X
| y j )P( y j ) P(X)
由于P(X) 对于所有类为常数, 只需要最大化P(X|yj)P(yj)即可.
朴素贝叶斯分类(续)
4
估计P(yj) 类yj的先验概率可以用 P (yj)=nj/n 估计
基于贝叶斯方法的决策树分类算法
2 贝叶斯方法与决策树方法
2. 1 贝叶斯方法 贝叶斯方法 的关 键是 使用 概率 表示 各种 形式 的 不确 定
性。在选择某事件面 临不确定 性时, 在某 一时刻假 定此事 件 会发生的概 率, 然后 根据 不断 获取 的新 的信 息修 正此 概率。 修正之前的概率称为 先验概 率, 修 正之后 的概率 称为后 验概 率。贝叶斯原理就是根据新的信息从先 验概率得到后验概率 的一种方法。通常用下面的式 子表示贝叶斯原理 [ 5] :
( 1. College of Information S cience and T echnology, Shandong University of S cience and T echnology, Q ingdao Shandong 266510, China; 2. D ep ar tm ent of Computer, L iny iN orma l University, L iny i Shandong 276005, Ch ina)
V o.l 25 No. 12 Dec. 2005
文章编号: 1001- 9081( 2005) 12- 2882- 03
基于贝叶斯方法的决策树分类算法
樊建聪1, 张问银 2, 梁永全 1 ( 1. 山东科技大学 信息科学与工程学院, 山东 青岛 266510;
2. 临沂师范学院 计算机系, 山东 临沂 276005) ( howdoyoudo07@ yahoo. com. cn)
关键词: 数据挖掘; 分类; 贝叶斯原理; 决策树 中图分类号: TP301. 6 文献标识码: A
D ecision tree classification algorithm based on Bayesian m ethod
贝叶斯决策理论
P(x 2 ) P(1)
2、决策规则：
(1) P(1
x) P(2
x) x 1 2
(2)P( x
1)P(1) P( x
2 )P(2 )
x 1 2
(3) P(x
1 )
P(x
P(2 )
2 )
P(1 )
x 1 2
(4) ln
P(x
gi (x) g j (x)
1 [ 2
x j
1 j
x j
x i T
1 i
x
i
ln
二、最小错误率(Bayes)分类器：
j i
] ln
P(i ) P( j )
0
从最小错误率这个角度来分析Bayes 分类器
1.第一种情况：各个特征统计独立，且同方差情况。(最简单
ln P(i ) P( j )
2019/5/8
13
讨论：
(a二 ) :因类为情况i 下2iI , 协方1差, 为2零。所以等概率面是一个圆形。
(b) :因W与(x x0)点积为0，因此分界面H与W垂直
又因为W i j 1 2，所以W与1 2同相(同方向)
xn
n
x1 1 x1 1 ...x1 1 xn n
E ......
2019/5/8
xn
n x1
1 ...xn
n xn
n
9
Ex1 1 x1 1 ...Ex1 1 xn n
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dx是d维特征空间的体积元，积分在整个特征空间。 • 期望风险R反映对整个特征空间上所有x的取值都采 取相应的决策a(x)所带来的平均风险；而条件风险 R(ai|x)只反映观察到某一x的条件下采取决策ai 所 带来的风险。 • 如果采取每个决策行动ai使条件风险R(ai|x)最小， 则对所有的x作出决策时，其期望风险R也必然最 小。这就是最小风险Bayes决策。
如果 (l21 l11 ) P (w1 | x ) (l12 l22 ) P (w2 | x )， 则决策w1；否则w2 p( x w1 ) l12 l22 P (w2 ) 如果 l ( x ) ， p( x w2 ) l21 l11 P (w1 ) 则决策w1；否则w2
§2 Bayes 决策理论 1. Bayes公式，也称Bayes法则
已知：先验概率 (wi ), 类条件概率密度函数 p( x | wi ) P p( x | wi ) P (wi ) 则 后验概率为 P (wi | x ) p( x ) 其中，全概率密度 p( x ) p( x | wi )P (wi )
求：
exp(( x 1) 2 )
①若先验概率 P(w1) = P(w2) = 1/2，计算最小错误 率情况下的阈值 x0。 ②如果损失矩阵为
0 0.5 l 计算最小风险情况下的阈值 x0。 1 0
例2：条件同例1，利用决策表， 按最小风险Bayes决策分类。 已知：P(w1 ) 0.9, P(w2 ) 0.1 p( x | w1 ) 0.2, p( x | w2 ) 0.4 l11 0 l12 6 l21 1 l22 0 例 1 得到后验概率： (w1 | x) 0.818, P(w2 | x) 0.182 P
i i i
j 1,,c
3. 最小错误率的 Bayes 决策 决策规则 P (wi | x ) max P (w j | x ), 则x wi
j 1, 2 ,,c
误差概率 P (error) min[P (wi | x )] i , j 1,2,, c
⑴为什么这样分类的结果平均错误率最小？ 在一维特征空间中，t 为两类的分界面分成两个区 域R1和R2 ， R1为(－∞, t)； R2为(t,∞)。 R1区域所有x值： 分类器判定属于w1类； R2区域所有x值： 分类器判定属于w2类。 判断错误的区域为阴影包围的面积。
条件风险 R(a1 | x) l1 j P(w j | x) l12 P(w2 | x) 1.092
j 1 2
R(a2 | x) l21 P(w1 | x) 0.818 由于 R(a1 | x) R(a2 | x), 所以 x w2
• 这里决策与例1结论相反为异常细胞。因损失起 了主导作用。l不易确定，要与有关专家商定。
x0
• 判定错误区域及错误率 真实状态w2，而把模式x判定属于w1类 真实状态w1，而把模式x判定属于w2类 P(w1 | x)，当P(w2 | x) P(w1 | x) P (e | x ) P(w2 | x)，当P(w1 | x) P(w2 | x) • 平均错误率P(e) P(e) P(w2 ) R p( x w2 )dx P(w1 ) R p( x w1 )dx
j 1
P (w2 | x ) 1－P (w1 | x ) 0.182 因此 P (w1 | x ) 0.818 P (w2 | x ) 0.182
x w1
• 这种规则先验概率起决定作用。这里没有考虑 错误分类带来的损失。
4. 最小风险的Bayes决策 ⑴把分类错误引起的“损失”加入到决策中去。 决策论中： 采取的决策称为动作，用ai表示； 每个动作带来的损失，用l表示。 归纳数学符号： T ① x是d维随机向量 x [ x1 , x2 ,，xd ] ②状态空间由c个自然状态(c类)组成 {w1 , w2 ,, wc } ③决策空间A由a个决策ai 组成, i 1,2,, c, a A {a1 , a2 , ac , aa }, 下标a c 1(拒绝决策) ④损失函数l (ai , w j ), i 1,2,, a j 1,2,, c l表示当真实状态为w j时，采取的决策为 i 的损失。 a
⑵另一方面从样本的可分性来看： • 当各类模式特征之间有明显的可分性时，可用 直线或曲线(面)设计分类器，有较好的效果。 • 当各类别之间出现混淆现象时，则分类困难。
这时需要采用统计方法，对模式样本的统计特 性进行观测，分析属于哪一类的概率最大。此 时要按照某种判据分类，如，分类错误发生的 概率最小，或在最小风险下进行分类决策等。
⒉ 三个重要的概率和概率密度 先验概率、类条件概率密度函数、后验概率。 ⑴先验概率 P(wi) 由样本的先验知识得到先验概率，可从训练集样 本中估算出来。 例如，两类10个训练样本，属于w1为2个，属于w2 为8个，则先验概率P(w1) = 0.2，P(w2) = 0.8。 ⑵类条件概率密度函数 p(x|wi) 模式样本x在wi类条件下，出现的 概率密度分布函数。也称 p(x|wi) 为wi 关于x 的似然函数。 • 在本章中均假设已知上述概率和概率密度函数。
i 1 c
③上式得到的a个条件风险值R(ai | x), i 1,2, , a 进行比较， 找出使条件风险最小的 决策ak 即 R(ak | x) min 小风险Bayes决策。
• 如果只有两类的情况下 R(a1 | x) l11 P(w1 | x) l12 P(w2 | x) R(a2 | x) l21 P(w1 | x) l22 P(w2 | x) 这时最小风险的Bayes决策法则为： 如果R(a1|x)< R(a2|x), 则x的真实状态w1, 否则w2。 • 两类时最小风险Bayes决策规则的另两种形式：
例3： 现有两类问题，比较两种Bayes决策。 1 1 xm 已知：单个特征变量x为正态分布 p( x) 2 s exp[ 2 ( s ) 两类方差都为s 2=1/2, 均值分别为m = 0,1
即
p( x w1 ) P( x w 2 ) 1
2
]
1
exp( x 2 )
类条件概率密度函数
R(ai x) E[l (ai , w j )] l (ai , w j ) P(w j x) i 1,2,, a
j 1 c
在决策论中条件期望损失称为条件风险，即x被 判为i类时损失的均值。 • 由于x是随机向量的观察值，不同的x采取不同 决策ai ，其条件风险的大小是不同的。
• 决策a可看成随机向量x的函数，记为a(x)，它本身 也是一个随机变量。 • 定义期望风险R
P(e) P(w2 ) P2 (e) P(w1 ) P (e) 1 • 决策规则实际上对每个x都使 p(e|x)取小者，移动决策面 t 都会使错误区域增大，因此 平均错误率最小。
1 2
⑵错误率计算：
• 多类时，特征空间分割成 R1,· Rc ，P(e) 由 · · c×(c-1)项组成，计算量大。
第二章
基于贝叶斯决策理论的分类器 Classifiers Based on Bayes Decision Theory
§1 引言 §2 Bayes决策理论 最小错误率的贝叶斯决策 最小风险的贝叶斯决策 §3 Bayes分类器和判别函数 §4 正态分布的Bayes决策
§1 引言 • 模式识别是根据对象特征值将其分类。 d个特征组成特征向量x=[x1,·,xd]T，生成d 维特征 · · 空间，在特征空间一个 x 称为一个模式样本。 • Bayes决策理论是用概率统计方法研究决策问题。 ⒈ 为什么可用Bayes决策理论分类？ ⑴样本的不确定性： ①样本从总体中抽取，特征值都是随机变量，在相 同条件下重复观测取值不同，故x为随机向量。 ②特征选择的不完善引起的不确定性； ③测量中有随机噪声存在。
i 1 c
2. Bayes分类规则：用后验概率分类
两类(c 2)情况下 如果 P (w1 x) P (w2 x )， 则x属于w1类 如果 P (w1 x ) P (w2 x )， 则x属于w2类
类条件概率密度
上图
后验概率
⑴两类情况下的 Bayes分类规则的几种等价形 式 下述四种等价规则的决 策：x w1，否则x w2 Bayes公式 ① P (w1 | x ) P (w2 | x ) 后验概率 p( x | w ) P (w ) P (w | x ) ② p( x | w1 ) P (w1 ) p( x | w2 ) P (w2 ) p( x ) p( x w1 ) P (w2 ) ③ l ( x) p( x w2 ) P (w1 ) P (w2 ) 统计学中l ( x )称为似然比, 称为似然比阈值 P (w1 ) 取 h( x) ln l ( x) P (w1 ) ④ h( x ) ln[l ( x )] ln p( x | w1 ) ln p( x | w2 ) ln P (w ) 2 ⑵多类问题的 Bayes决策： P (wi | x ) max P (w j | x ), 则x wi i , j 1,2, , c
⑵最小风险的Bayes决策规则： 如果 R(ak | x) min R(ai | x), 则对应的决策a ak
i 1, 2 ,, a
最小风险Bayes决策可按下列步骤进行 ： ①已知P(w j ), p( x | w j ), 根据待识别的x, 由Bayes公式， 计算后验概率P(w j | x)； ②利用决策表，计算出 采取ai决策的条件风险 (ai | x) R R(ai | x) l (ai | w j )P(w j | x), i 1,2, , a
• 一般用决策表或损失矩阵表示上述三者关系。 决策表表示各种状态下的决策损失，如下表：