粗糙近似算子的拓扑性质【开题报告】
基于粗糙集的知识约简方法及应用的开题报告
基于粗糙集的知识约简方法及应用的开题报告一、研究背景在大数据时代，数据处理变得越来越复杂，数据维度和属性数量也越来越多。
为了更好地利用这些数据，需要对数据进行分析和处理，但是数据维度过多会导致处理时间和空间开销增大。
同时，大数据中存在很多不必要的冗余信息和噪声，这些信息对于数据分析和处理不利。
为了解决这一问题，我们需要对数据进行简化和优化。
知识约简技术是一种有效的数据优化方法，可以在不损失信息的前提下，将数据集中的冗余信息和噪声去除，从而提高数据的处理效率和准确性。
二、研究内容本文将研究基于粗糙集理论的知识约简方法及其在实际应用中的效果。
具体研究内容如下：1. 粗糙集理论的基本概念和原理。
介绍粗糙集理论的起源、发展历程和基本原理，包括正域、约简、决策类等相关概念和理论。
2. 基于粗糙集的知识约简方法。
探讨基于粗糙集的知识约简方法，包括正域约简、决策规约、属性规约等相关算法和技术。
3. 粗糙集约简方法的应用案例分析。
通过实际应用案例，分析粗糙集约简方法的应用效果和优势，探讨其在数据挖掘、分类、聚类等领域的应用前景。
4. 粗糙集约简方法的改进和发展。
在分析粗糙集约简方法的基础上，提出一些改进和发展的思路和方法，探索进一步提高其效率和准确性的手段和途径。
三、研究意义知识约简技术在数据分析和处理领域具有广泛的应用前景，尤其是在大数据时代下更显得尤为重要。
本文研究基于粗糙集的知识约简方法，具有以下重要意义：1. 深入探讨粗糙集约简方法的理论基础和技术原理，为数据分析和处理提供了新的思路和方法。
2. 实际案例分析，验证了粗糙集约简方法在实际应用中的有效性和优越性。
3. 提出改进和发展的思路和方法，进一步推动粗糙集约简方法的发展和应用，为数据处理和分析提供更加高效、准确的手段和途径。
四、研究方法本文采用文献综述和案例分析的方法，通过收集、整理和分析相关文献和案例，深入探讨基于粗糙集的知识约简方法及其应用。
具体方法如下：1. 收集和整理与粗糙集约简方法相关的文献和资料，包括国内外学术期刊、论文、专著等。
覆盖模糊粗糙集近似算子的拓扑性质
２０ ０ ８年 ９月
第３卷 １
第 ５期
四川 师范大学 学报（自然科学 版） Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｕｎＮ ｒ ｌ ｎｖｒｔ（ ａ ｒ ｃｅｃ ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｃ ａ ｏｍａ Ｕ ｉｅ ｉ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｅ ｎ Ｓｈ ｓｙ ｕｌ ｎ
中图分类号 ： １９ ０ ５ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号 ：０ １８ ９ （０ ８ ０ － ２ －４ １０ —３ ５ ２０ ）５０ ６０ ５
１ 引言 及 预 备 知 识
自 １８ ９２年 由波兰数学家 Ｚ ａ ｌ 首次提 ．Ｐｗａ Ｉ ｋ ３
出粗糙 集概 念 以来 ， 经过 ２ ０多 年 的研究 与发 展 ， 无
子 分别 为模糊 拓扑 空间 的 闭包 、 内部算 子 ； 之 ， 反 满
足一定条 件 的 模 糊 拓 扑空 间 的 闭包 与 内部 算 子 也 恰 为覆 盖 近 似 空 间 中模 糊 粗 糙 集 的 上 、 近 似 算 下 子， 即覆盖近 似空 间与 满足 一定 条 件 的模糊 拓扑 空
间是 一一对 应 的． 关 于模糊 集 与模 糊 拓 扑 的基 本 概 念 与 基 本 性
集合 ．
论是 在理论 方 面 ， 是 在 应 用 方 面 ， 于 粗 糙 集 的 还 关
研究都有很多出色的工作． Ｐｗａ 粗糙集模型是 但 ａｌ ｋ 基于等价关系形成 的， 而在很多实际问题 中， 对象
之 间 的等价 关 系很难 构造 ， 或者 对 象 之 间本 质 上没 有 等价关 系． 了推广 粗 糙 集 理 论 的应 用 范 围 ， 为 人 们对 Ｐｗａ 糙集 模型 进行 了多种 形式 的推广 ， ａｌ ｋ粗 提 出了变精度 粗 糙 集 模 型 、 度 粗 糙 集 模 型 、 糊 粗 程 模 糙集 模型 、 于 一 般二 元 关 系 的粗 糙 集 模 型 、 于 基 基 覆盖 理论 的粗糙 集模 型等 ． 最近 文 ［ ］ ７ 又提 出 了
基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(I)
㊀[收稿日期]２０１８Ｇ０４Ｇ１６;㊀[修改日期]２０１８Ｇ０５Ｇ２４㊀[基金项目]国家自然科学基金资助课题(１１５０１２７８,１１４７１１５２);山东省自然科学基金资助课题(Z R ２０１３A Q ０１１,Z R ２０１４A Q ０１１);聊城大学成人教育科研立项项目(l d c j ２０１２１６);聊城大学大学生科技文化创新基金(２６３１２１７０７１４)㊀[作者简介]金秋(１９７９－),女,硕士,讲师,从事模糊数学理论的教学与研究．E m a i l :j i n q i u ＠l c u ．e d u ．c n ㊀[通讯作者]李令强(１９８０－),男,博士,副教授,从事模糊数学的研究．E m a i l :l i l i n g q i a n g＠l c u ．e d u ．c n 第３４卷第４期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３４,ɴ．４２０１８年８月C O L L E G E MA T H E MA T I C SA u g．２０１８基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(I)金㊀秋,㊀蒋惜珂,㊀李令强(聊城大学数学科学学院,山东聊城２５２０５９)㊀㊀[摘㊀要]模糊化邻域系源自模糊化拓扑空间．以模糊化邻域系为工具,定义了一对粗糙近似算子,研究了其基本性质．证明了这对算子涵盖一些常见粗糙近似算子作为其特殊情形,从而扩大了粗糙集理论的研究范围．此外,还研究了由串行的㊁反身的㊁一元的和传递的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子．[关键词]粗糙集;模糊集;模糊化邻域系;近似算子[中图分类号]O １５９．１,T P １８㊀㊀[文献标识码]A㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０４Ｇ０００１Ｇ０５１㊀引㊀㊀言粗糙集理论是由P a w l a k [１]引入的一种处理不确定现象的数学工具,其理论与应用的基础是一对近似算子．P a w l a k 粗糙近似算子是基于等价关系的,后来把等价关系推广为二元关系或覆盖[２],或者更一般的模糊关系或模糊覆盖[３－８],人们引入了更广泛的粗糙集理论．２０１５年,文献[９]研究了一种基于邻域系的粗糙集理论,并证明了该理论涵盖基于二元关系和覆盖的粗糙集作为其特殊情形．２０１７年,作者在文献[１０]中研究了基于邻域系的粗糙近似算子的公理化问题(即通过一组公理集来描述近似算子),并将之应用于不完备信息系统决策问题的研究．模糊化(F u z z i f y i n g)邻域系是邻域系的广义化,它源自模糊化拓扑理论[１１－１３]．旨在以模糊化邻域系为工具定义一对粗糙近似算子,并研究其基本性质．设U 为非空论域,I ＝[０,１]为单位区间．记２U 为U 的幂集,IU 为U 的模糊集之集．任意A ɪ２U都可以看做U 上的模糊集１A ʒ∀x ɪU ,若x ɪA ,则１A (x )＝１;否则１A (x )＝０．通常称１A 为A 的特征函数．对于任意的E ⊆[０,１],记ᶱE (ɡE )为E 的上(下)确界．特别地,当E ＝{a ,b }时,把它们记作a ᶱb和a ɡb ．任取{A t }t ɪT ⊆I U ,定义ᶱt ɪTA t ,ɡt ɪTA t ɪI U为:(ᶱt ɪTA t )(x )＝ᶱt ɪTA t (x ),㊀(ɡt ɪTA t )(x )＝ɡt ɪTA t (x )．任取A ɪI U和a ɪI ,定义A [a ]＝{x ɪU A (x )ȡa }和A (a )＝{x ɪU A (x )＞a };分别称为A 的a Ｇ截集和强a Ｇ截集．对于任意的X ɪ２U ,记X ᶄ＝{x ɪU x ∉X }为X 的补集．对于任意的A ,B ɪI U ,定义(A －B )ɪIU 为∀x ɪU ,(A －B )(x )＝A (x )－B (x )．定义１[９－１０]㊀设n ʒU ң２２U 为论域U 上的函数．若∀x ɪX ,n (x )是非空的,则称n 为U 上的一个邻域系．称序对(U ,n )为一个邻域空间,n (x )中的每个成员为x 的一个邻域．(i )如果∀x ɪU ,∀K ɪn (x )都有K ʂ∅,则称n 是串行．(i i )如果∀x ɪU ,∀K ɪn (x )都有x ɪK ,则称n 是自反的．(i i i )如果∀x ɪU ,∀K ɪn (x ),∃V ɪn (x )使得对任意y ɪV ,有V y ɪn (y )且V y ⊆K ．则称n 是传递的．(i v )如果∀x ɪU ,∀K ,V ɪn (x ),∃M ɪn (x )使得M ⊆K ɘV ,则称n 是一元的．定义２[９－１０]㊀设(U ,n )为一个邻域空间．X 为U 的任意子集,其上㊁下近似 n (X )和n (X )分别定义为: n (X )＝{x ɪU ∀K ɪn (x ),K ɘX ʂ∅},㊀n (X )＝{x ɪU ∃K ɪn (x ),K ⊆X }．２㊀基于模糊化邻域系的粗糙近似算子本章将引入一对基于模糊化邻域系的粗糙近似算子,研究其基本性质,并说明这对近似算子包含基于邻域系的粗糙近似算子作为其特殊情形．由文献[９,１０]知基于二元关系(覆盖)的粗糙近似算子可视为特殊的基于邻域系的粗糙近似算子．现在,又证明了基于邻域系的粗糙近似算子又可以看做基于模糊化邻域系的粗糙近似算子的特殊情形．因此,对基于模糊化邻域系的粗糙近似算子进行研究,所取得的结果更具普遍意义．２．１㊀模糊化邻域系生成的粗糙近似算子定义３[１１－１２]㊀设N ʒU ңI ２U 为论域U 上的一个函数．若∀x ɪU ,N (x )ʒ２UңI 是非空的,即ᶱK ɪ２UN (x )(K )＝１,则称N 为U 上的模糊化邻域系．并称序(U ,N )为一个模糊化邻域空间．这里,N (x )(K )解释为K 是x 的一个邻域的程度．定义４㊀设(U ,N )为一个模糊化邻域空间．X 为U 中任意子集,其上㊁下近似 N (X ),N (X )ɪI U 定义为:∀x ɪU , N (X )(x )＝ɡK ɘX ＝∅(１－N (x )(K ));㊀N (X )(x )＝ᶱK ⊆XN (x )(K )．设n 为论域U 上的邻域系,定义N n ʒU ңI２U为∀x ɪU ,N n (x )(K )＝１,K ɪn (x ),０,K ∉n (x )．{则N n 为X 上的模糊化邻域系．下面的引理表明基于邻域系的近似算子可以视为基于模糊化邻域系的近似算子的特例．定理１㊀设(U ,n )是一个邻域空间．则∀X ɪ２U,N n (X )＝１ n (X ),N n (X )＝１ n (X )．证㊀注意到∀x ɪU ,N n (X )(x )和N n (X )(x )的取值为０或１．则１n (X )(x )＝１⇔x ɪn (X )⇔∃K ɪn (x ),K ⊆X ⇔∃K ⊆X ,N n (x )(K )＝１⇔N n (X )(x )＝ᶱK ⊆XN n (x )(K )＝１．１ n (X )(x )＝０⇔x ∉ n (X )⇔∃K ɪn (x ),K ɘX ＝∅⇔∃K ɘX ＝∅,N n (x )(K )＝１⇔N n (X )(x )＝ɡK ɘX ＝∅(１－N n (x )(K ))＝０．由x 的任意性得N n (X )＝１n (X )和N n (X )＝１ n (X )．定理２㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则(i )N (∅)＝１∅,㊀N (U )＝１U ,(i i )X ⊆Y ⇒N (X )ɤN (Y ),㊀ N (X )ɤ N (Y )．证㊀(i )对于任意的x ɪU ,由N (x )是非空的知 N (∅)(x )＝ɡK ɘ∅＝∅(１－N (x )(K ))＝ɡK ɪ２U(１－N (x )(K ))＝１－(ᶱK ɪ２UN (x )(K ))＝１－１＝０,N (U )(x )＝ᶱK ɪ２UN (x )(K )＝１．(i i )设X ⊆Y ,x ɪU ．任取K ɪ２U ,由X ⊆Y 知若K ⊆X ,则K ⊆Y ．从而N (X )(x )＝ᶱK ⊆XN (x )(K )ɤᶱK ⊆YN (x )(K )＝N (Y )(x )．任取K ⊆X ,由X ⊆Y 知若K ɘY ＝∅,则K ɘX ＝∅．因此 N (X )(x )＝ɡK ɘX ＝∅(１－N (x )(K ))ɤɡK ɘY ＝∅(１－N (x )(K ))＝ N (Y )(x )．定理３㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,∀X ⊆U ,∀a ɪI ,有２大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷(i )１U －N (X ᶄ)＝ N (X ),(i i )１U － N (X ᶄ)＝N (X ),(i i i )N (X ᶄ)(１－a )＝( N (X )[a ])ᶄ,(i v ) N (X )[a ]＝( N (X ᶄ)(１－a ))ᶄ,N (X )(１－a )＝( N (X ᶄ)[a ])ᶄ．证㊀(i )任取K ɪ２U ,注意到K ⊆X ᶄ⇔K ɘX ＝∅．因此,对于∀x ɪU ,(１U －N (X ᶄ))(x )＝１－ᶱK ⊆X ᶄN (x )(K )＝ɡK ɘX ＝∅(１－N (x )(K ))＝ N (X )(x )．(i i )和(i )类似．(i i i)由以下等价可得x ɪN (X ᶄ)(１－a )⇔N (X ᶄ)(x )＞１－a ⇔(i) N (X )(x )＝１－N (X ᶄ)(x )＜a ⇔x ∉ N (X )[a ]⇔x ɪ( N (X )[a ])ᶄ．(i v )由(i i i)推得．最近,在文献[１０]中,研究了串行的㊁自反的㊁传递的㊁一元的邻域系生成的近似算子．接下来,将对基于模糊化邻域系的近似算子展开类似的研究．２．２㊀串行的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子定义５㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系．如果对于任意的x ɪU 都有N (x )(∅)＝０,则称N 是串行的．定理４㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则下述三个条件等价．(i )N 是串行的,(i i )N (∅)＝１∅,(i i i ) N (U )＝１U ．证㊀(i )⇔(i i )．注意到条件(i i )成立当且仅当∀x ɪU ,N (∅)(x )＝ᶱK ⊆∅N (x )(K )＝N (x )(∅)＝０,当且仅当N 是串行的．(i )⇔(i i i )．注意到条件(i i i )成立当且仅当∀x ɪU ,N (U )(x )＝ɡK ɘU ＝∅(１－N (x )(K ))＝１－N (x )(∅)＝１,当且仅当N (x )(∅)＝０,即N 是串行的．注㊀设n 为U 上的一个邻域系,容易证得N n 是串行的当且仅当n 是串行的．２．３㊀自反的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子定义６㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系．如果对于任意的x ɪU ,K ɪ２U都有N (x )(K )＞０蕴涵着x ɪK ,则称N 是自反的．容易看出 N (x )(K )＞０蕴涵着x ɪK 与 x ∉K 蕴涵着N (x )(K )＝０ 是等价的．定理５㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则下列条件等价．(i )N 是自反的,(i i )∀X ⊆U ,N (X )ɤ１X ,(i i i )∀X ⊆U , N (X )ȡ１X ．证㊀(i )⇒(i i )．设X ⊆U ,x ɪU ．若x ɪX ,则N (X )(x )ɤ１＝１X (x )．若x ∉X ,则对任意的K ⊆X ,x ∉K ,由N 的自反性得N (x )(K )＝０．所以N (X )(x )＝ᶱK ⊆XN (x )(K )＝０ɤ０＝１X (x )．因此,N (X )(x )ɤ１X ．(i i )⇒(i )．设x ∉K ．由(i i )得N (K )(x )＝ᶱL ⊆XN (x )(L )ɤ１K (x )＝０．故N (x )(K )＝０．(i i )⇒(i i i )．由(i i )和定理３(i i)知N (X ᶄ)ɤ１X ᶄ⇒１U － N (X )ɤ１U －１X ⇒ N (X )ȡ１X ．(i i i )⇒(i i )．由(i i i )和定理３(i)知 N (X ᶄ)ȡ１X ᶄ⇒１U －N (X )ȡ１U －１X ⇒N (X )ɤ１X ．注㊀设n 为U 上的一个邻域系,容易验证n 是自反的当且仅当N n 是自反的．２．４㊀传递的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子引理１㊀设a ,b ɪI ,则a ɤb 当且仅当∀c ＜a 有c ɤb ．定义７㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系．如果对于任意的x ɪU ,K ɪ２U,有３第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀金秋,等:基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(I)N (x )(K )ɤᶱV ɪ２U{N (x )(V )ɡ[ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )]},则称N 是传递的．定理６㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则以下条件等价．(i )N 是可传递的,(i i )∀X ⊆U ,∀a ɪI ,N (X )(a )⊆N (N (X )(a ))(a ),(i i i )∀X ⊆U ,∀a ɪI , N (X )[a ]⊇ N ( N (X )[a ])[a ]．证㊀(i )⇒(i i )．设x ɪN (X )(a ),即,a ＜N (X )(x )＝ᶱK ⊆X N (x )(K )．则∃K ⊆X 使得a ＜N (x )(K )ɤ(i)ᶱV ɪ２U{N (x )(V )ɡ[ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )]}．这意味着存在一个V ɪ２U,使得a ＜N (x )(V )且a ＜ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )．由a ＜ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y ),知对于任意的y ɪV ,存在V y ⊆K 使得a ＜N (y )(V y )．然而,V y ⊆K 和a ＜N (y )(V y )又意味着对于任意的y ɪV ,有a ＜N (y )(V y )ɤᶱM ⊆KN (y )(M )＝N (K )(y ),即y ɪN (K )(a ),由此得V ⊆N (K )(a )．由a ＜N (x )(V )和V ⊆N (K )(a )知a ＜N (x )(V )ɤᶱM ⊆ N (K )(a )N (x )(M )＝N (N (X )(a ))(x ),即x ɪN (N (X )(a ))(a )．因此条件(i i )成立．(i i )⇒(i )．对于任意的x ɪU ,K ɪ２U,设N (x )(K )＝a ,ᶱV ɪ２U{N (x )(V )ɡ[ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )]}＝b ,只需验证a ɤb ．如果a ＝０,那么a ɤb 显然成立．如果a ＞０,那么任取c ＜a ＝N (x )(K )．由N (K )的定义知c ＜N (K )(x ),即x ɪN (K )(c ),再由(i i )得x ɪN (N (K )(c ))(c),所以c ＜N (N (K )(c ))(x )＝ᶱV ⊆ N (K )(c )N (x )(V )．因此,存在V ⊆N (K )(c)使得c ＜N (x )(V )．由V ⊆N (K )(c )和N (K )的定义知对于任意的y ɪV ,存在K y ⊆K 使得c ＜N (y )(K y )．由此得对于任意的y ɪV ,有c ＜ᶱV y⊆K N (y )(V y )成立,所以c ɤɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )．进一步,由c ＜N (x )(V )知c ɤᶱV ⊆U{N (x )(V )ɡ[ɡy ɪV ᶱV y ⊆K N (y )(V y )]}＝b ．由引理１得a ɤb ．(i i )⇒(i i i )．根据(i i )和定理３(i i i)有N (X ᶄ)(１－a )⊆N (N (X ᶄ)(１－a ))(１－a )⇒(N (X ᶄ)(１－a ))ᶄ⊇(N (N (X ᶄ)(１－a ))(１－a ))ᶄ⇒ N (X )[a ]⊇(N (( N (X )[a ])ᶄ)(１－a ))ᶄ⇒ N (X )[a ]⊇ N ( N (X )[a ])[a ]．(i i i )⇒(i i )．根据(i i i )和定理３(i v )有 N (X ᶄ)[１－a ]⊇ N ( N (X ᶄ)[１－a ])[１－a ]⇒(N (X )(a ))ᶄ⊇ N ((N (X )(a ))ᶄ)[１－a ]⇒(N (X )(a ))ᶄ⊇(N (N (X )(a ))(a ))ᶄ⇒N (X )(a )⊆N (N (X )(a ))(a )．注㊀设n 为U 上的一个邻域系,容易验证n 传递当且仅当N n 传递．２．５㊀一元的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子定义８㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系．如果对于任意的x ɪU 和任意的K ,V ⊆X ,有N (x )(K )ɡN (x )(V )ɤᶱM ⊆K ɘVN (x )(M ),则称N 是一元的．定理７㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则以下条件等价．(i )N 是一元的,(i i )∀X ,Y ⊆U ,N (X ɘY )＝N (X )ɡN (Y ),(i i i )∀X ,Y ⊆U , N (X ɣY )＝ N (X )ᶱ N (Y )．４大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷证㊀(i )⇒(i i )．由X ɘY ⊆X ,Y ,得N (X ɘY )ɤN (X )ɡN (Y )．另一方面,∀x ɪU ,N (X )(x )ɡN (Y )(x )＝(ᶱK ⊆XN (x )(K ))ɡ(ᶱL ⊆YN (x )(L ))＝ᶱK ⊆X ,L ⊆Y(N (x )(K )ɡN (x )(L ))ɤᶱK ɘL ⊆X ɘY(N (x )(K )ɡN (x )(L ))ɤ(i)ᶱK ɘL ⊆X ɘY ᶱM ⊆K ɘLN (x )(M )ɤᶱM ⊆X ɘYN (x )(M )＝N (X ɘY ),其中第一个不等成立是因为{K ,L ⊆X K ⊆X ,L ⊆Y }⊆{K ,L ⊆X K ɘL ⊆X ɘY },最后一个不等式也类似成立．(i i )⇒(i )．令a ＝N (x )(K )ɡN (x )(V )．则a ɤN (K )(x ),a ɤN (V )(x ),由条件(i i)知a ɤN (K ɘV )(x )＝ᶱM ⊆K ɘVN (x )(M ),即条件(i)成立．(i i )⇔(i i i )．可由定理３(i ),(i i)得到．注㊀设n 为U 上的一个邻域系,容易验证n 是一元的当且仅当N n 是一元的．[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀P a w l a kZ ．R o u g hs e t s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fC o m p u t e r a n d I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,１９８２,１１:３４１－３５６．[２]㊀Y a oYY ．C o n s t r u c t i v e a n d a l g e b r a i cm e t h o d s o f t h e t h e o r y o f r o u gh s e t s [J ]．I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,１９９８,１０９:２１－４７．[３]㊀杨云．基于模糊集值映射的粗糙近似算子[J ]．大学数学,２０１０,２６(４):４３－４８．[４]㊀Z h u W．R e l a t i o n s h i p b e t w e e n g e n e r a l i z e dr o u g h s e t s b a s e d o n b i n a r y r e l a t i o n a n dc o v e r i n g [J ]．I n f o r m a t i o n S c i e n c e s ,２００９,１７９:２１０－２２５．[５]㊀W u W Z ,Z h a n g W X．C o n s t r u c t i v ea n da x i o m a t i ca p p r o a c h e so f f u z z y a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s [J ]．I n f o r m a t i o n S c i e n c e s ,２００４,１５９:２３３－２５４．[６]㊀李令强,金秋,孙守斌,等．多值近似空间的上下近似诱导的拓扑结构[J ]．系统科学与数学,２０１２,３２(２):２２６－２３６．[７]㊀S h eY H ,W a n g GJ ．A na x i o m a t i ca p p r o a c ho f f u z z y r o u g hs e t sb a s e do nr e s i d u a t e d l a t t i c e s [J ]．C o m pu t e r sa n d M a t h e m a t i c sw i t hA p pl i c a t i o n s ,２００９,５８:１８９－２０１．[８]㊀L i L Q ,J i n Q ,H u K ,e t a l ．T h ea x i o m a t i cc h a r a c t e r i z a t i o n so n L Ｇf u z z y c o v e r i n g Ｇb a s e da p p r o x i m a t i o no pe r a t o r s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fG e n e r a l S y s t e m s ,２０１７,４６(４)３３２－３５３．[９]㊀Z h a n g YL ,L iC Q ,L i n M L ,e t a l ．R e l a t i o n s h i p sb e t w e e n g e n e r a l i z e dr o u g hs e t sb a s e do nc o v e r i n g an dr e f l e x i v e n e i g h b o r h o o d s y s t e m [J ]．I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,２０１５,３１９:５６－６７．[１０]㊀Z h a oFF ,L i LQ．A x i o m a t i z a t i o n o n g e n e r a l i z e d n e i g h b o r h o o d s y s t e m Ｇb a s e d r o u g h s e t s [J ]．S o f t C o m p u t i n g DO I :１０．１００７/s ００５００Ｇ０１７Ｇ２９５７Ｇ０．[１１]㊀Y i n g M．An e wa p p r o a c h f o r f u z z y t o p o l o g y (I )[J ]．F u z z y s e t s a n d s ys t e m s ,１９９１,３９(３):３０３－３２１．[１２]㊀F a n g JM ,Y u eYLK．F a n s t h e o r e mi n f u z z i f y i n g t o p o l o g y [J ]．I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,２００４,１６２(３):１３９－１４６．[１３]㊀杨利军,斯钦孟克．L F 中的Q Ｇ闭空间[J ]．大学数学,２０１７,３３(６):２７－３２．F u z z i f y i n g N e i g h b o r h o o dS y s t e m s Ｇb a s e dR o u g hA p p r o x i m a t i o nO pe r a t o r s (I )J I NQ i u ,㊀J I A N GX i Ｇk e ,㊀L IL i n g Ｇq i a n g(D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s ,L i a o c h e n g U n i v e r s i t y ,L i a o c h e n g S h a n d o n g ２５２０５９,C h i n a )A b s t r a c t :T h en o t i o no f f u z z i f y i n g n e i g h b o r h o o d s y s t e m s i s i n i t i a t e d f r o mt h e n o t i o no f f u z z i f y i n g t o p o l o g i c a l s pa c e s ．I n t h i s p a p e r ,w e i n t r o d u c e a p a i r o f r o u g h a p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r sb y t h e n o t i o n o f f u z z i f y i n g n e i g h b o r h o o d s y s t e m s ,a n d t h e n s t u d y t h e i rb a s ic p r o p e r t i e s ．W e p r o v e t h a t t h i s p a i ro f a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s i n c l ude sm a n y w e l l Ｇk n o w nr o u gh a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s a s t h e i r s p e c i a l c a s e ．T h e r e f o r e ,i t e n l a r g e s t h e r e s e a r c h s c o p e o f r o u g h s e t t h e o r y ．F u r t h e r m o r e ,w e a l s os t u d y t h ea p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s g e n e r a t e db y s e r i a l ,r e f l e x i v e ,u n a r y a n dt r a n s i t i v ef u z z i f y i n g n e i gh b o r h o o d s ys t e m s ．K e y wo r d s :r o u g hs e t ;f u z z y s e t ;f u z z i f y i n g n e i g h b o r h o o d s y s t e m s ;a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s ５第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀金秋,等:基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(I)。
基于粗糙集理论的概念格研究的开题报告
基于粗糙集理论的概念格研究的开题报告一、研究背景粗糙集理论是一种基于近似推理的数学工具，它可以处理不确定性和模糊性问题。
概念格作为粗糙集理论的重要应用，在形式化概念分析、知识发现和数据挖掘等领域具有广泛的应用。
然而，概念格的研究长期以来仅仅关注其数学结构和算法，并忽略了其与语义学、认知心理学等学科的关系。
因此，进一步研究概念格的认知理论和语义学意义，对深入理解概念格的本质意义有着重要的意义。
二、研究目的本文旨在基于粗糙集理论，对概念格的认知理论和语义学意义进行研究，探讨概念格与认知心理学、语义学的关系，为概念分析、知识发现等领域提供理论支持和方法指导。
三、研究内容本文的研究内容主要包括以下三个方面：1. 概念格的认知理论研究。
在概念格的基础上，探讨认知心理学中概念形成和概念表示的相关理论，分析概念格在认知过程中的作用和意义，剖析概念格与人类认知的本质联系。
2. 概念格的语义学意义研究。
从语义学角度出发，研究概念格的形式与语义结构之间的联系，并探讨概念格在语义学中的应用，如语义网络、概念映射等。
3. 概念格的应用研究。
以概念格为基础，探讨其在知识发现、数据挖掘、信息检索等领域的应用，剖析概念格在实际应用中的优势和不足，并寻求改进方法和优化策略。
四、研究方法本文采用文献综述、理论分析和实证研究相结合的研究方法。
首先，对概念格的相关文献进行综述和分析，从中提取出概念格的关键问题和研究现状；其次，基于粗糙集理论和认知心理学、语义学等相关理论，对概念格的认知理论和语义学意义进行深入分析，探究概念格与人类认知、语义结构之间的关系；最后，以实际应用为背景，对概念格进行实证研究，验证其在知识发现、数据挖掘等领域的实用价值。
五、研究意义本文的研究成果对于概念格的理论和实践发展具有重要的意义：1. 丰富了概念格的认知理论和语义学意义，推动概念格与相关学科的交叉研究。
2. 提供了概念格在实际应用中的可行性评价和改进方法，为知识发现、数据挖掘等领域提供了理论支持和方法指导。
自反、对称关系下近似算子的拓扑性质
摘
要： 究一般论域下粗糙 近似 算子 的基本性质 ， 研 借助 自反 、 对称关 系下的近似算子构造 了粗糙拓扑 的 关 系 。 ２（ｌ ） ｏ
关键词 ： 集 ； 粗糙 近似算子 ； 扑空间；ｃｏ ） 拓 （１ 公理 ｐ
ＤＯ ：０３ ７／ｉ ｎ１ ０ ～ ３ １ ０ ８２ ． ７ 文 章 编 号 ：０ ２ ８ ３ （ ０ ８ ２ — ０ ３ ０ 文 献 标 识 码 ： 中 图分 类 号 ：Ｐ ８ Ｉ １ ． ８ ．ｓ． ２ ８３ ． ０ ． ０ ７ ｊｓ ０ ２ ６０ １０ — ３ １２ ０ ）６ ０ ２ — ２ Ａ Ｔ ｌ
方法是粗 糙集基础理论研究 的主流方法 。 粗糙 集的拓扑结构是粗糙集理论研究的核心问题之一 。 目前的研 究大多是 针对有 限论域进行 的。Ｙ ｏ研 究 了 自反 、 ａｐ 传
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ａ ｅ ｄ ｖ ｔｓ Ｏ ｈ ｄ ｓ ｕ ｓｏ ｏ ｐ ｒｘ ｍａ ｉｎ ｐ ｒ ｔ ｒ ｉ ｃ ｓ ｏ ｈ ｕ ｉ ｅ ｓ ｍａ ｂ ｉｆ ｉ ． ｈ ｒ ｕ ｈ ｓｒ ｃ ： ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｅ ｏｅ ｔ ｔ ｅ ｉｃ ｓｉ ｎ ｆ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｏ ｅ ａｏ ｓ ｎ ａ ｅ ｆ ｔ ｅ ｎ ｖ ｒｅ ｏ ｙ ｅ ｎｉ ｔ Ｔ ｅ ｏ ｇ ｎ ｅ ｔ ｐ ｌｇ ｃ ｌ ｓ ａ ｅ ｉ ｏ ｓｒ ｃｅ ａ ｅ ｎ ｒ ｆ ｘｖ ｎ ｙ ｏ ｏ ｏ ｉ ａ ｐ ｃ ｓ ｎ ｔｕ ｔｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｅ ｉｅ ａ ｄ ｓ ｍｍｅ ｒ ｅ ａｉｎ ．ｈ ｒ ｌｔ ｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｏ ｇ ｔｐ ｌ ｇｃ ｌ ｐ ｃ ａ ｄ ｃ ｌ ｔｉ ｒ ｌ ｔ ｓ ｅ ｅａ ｉ ｓ ｉ ｅｗｅ ｎ ｒ ｕ ｈ ｏ ｏｏ ｉ ａ ｃ ｏ Ｔ ｏ ｓ ａ ｅ ｎ
关于拓扑空间连通性的研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学关于拓扑空间连通性的研究一、选题的背景、意义一般拓扑学从19世纪成为一个独立的科学分支至今已经历了一百多年的发展历史．虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学、代数学，欧氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是20世纪40年代到70年代的蓬勃发展，一般拓扑学已日趋成熟与完善。
从序结构出发，我们可构造若干有趣的拓扑空间，很典型的就是L-拓扑空间，并应用序论的技巧和成果对这些空间的拓扑性进行研究，获得拓扑学中有普遍意义的成果。
格上拓扑学将拓扑结构、序结构融为一体，它有两个比较成熟的研究分支：Local理论和L一拓扑学．L0cal理论的特点是无点式的，其论证常常是构造性的而不是诉诸于选择公里，具有很浓的构造性色彩．L-拓扑空间的研究从1968年C．L．Chang[2]提出Fuzzy拓扑空间概念的第一篇论文算起，至今已有30多年．在这30多年中，它的研究已从初始的模仿性研究逐渐走上了创新的道路，层次结构的特点使它具有了不同于一般拓扑学的特点、风格，与完备格代数结构的紧密联系又赋予了它以新的生命力．在L-拓扑学发展的初期，一部分学者沿用无点式方法，也曾获得过许多漂亮而有创造性的结果，其中以C．K．Wong[3]的局部化及B．button[4，5]一致化研究尤为突出．但是，由于其研究工作不涉及点，不可避免的会有许多局限性．如对局部性质的讨论、对Moore-Smith收敛理论的建立以及嵌入理论的研究等都难以展开．事实上，在X L中自然存在一种“点”，即所谓的fuzzy点．因此在L-拓扑学发展的初期，许多学者都力图沿着有点式方向工作，他们沿用一般拓扑学中的邻域方法来研究L-拓扑，但在相当长的时间内无大的进展．1977年刘应明院士在分析了C．K．Wong的Fuzzy点及其邻域系理论的弊端以后，修改了Fuzzy点及其对一个Fuzzy集的从属关系，首次打破传统的属于关系和邻域方法，引入了“重于”这一新的Fuzzy 点和Fuzzy集之间的从属关系，这样的“重于”关系满足一条基本原则一择一原则，相应地，引入了“重域“的概念，从而为L-拓扑学的点式处理打开了大门．随后王国俊教授引入了。
粗糙集的拓扑特征
定义 2.12 （粗糙集的拓扑特征 ） (1)如果R( X ) ≠ R( X ) ∧ R( X ) ≠ ∅ ∧ R( X ) ≠ U , 则称X为R − 粗糙可定义。 (2)如果R( X ) ≠ R( X ) ∧ R( X ) = ∅ ∧ R( X ) ≠ U , 则称X为R −内不可定义。 (3)如果R( X ) ≠ R( X ) ∧ R( X ) ≠ ∅ ∧ R( X ) = U , 则称X为R − 外不可定义。 (4)如果R( X ) ≠ R( X ) ∧ R( X ) = ∅ ∧ R( X ) = U , 则称X为R − 全不可定义。 这个划分的直观意义是：如果集合X为R-粗糙可 定义，则意味着可以确定论域U中的某个或某些元素 属于X或不属于X。如果集合X为R-内不可定义，则 意味着可以确定论域U中的某个或某些元素一定不属 于X，但不能确定论域U中的任一元素是否属于X。
2
这表明，用知识R只能粗糙的描述概念 X 2 。 也就是说利用知识R只能判断论域中的某些元素 肯定属于 X 2，某些元素肯定不属于 X 2 ，还有一 些元素可能属于也可能不属于 X 2 。 (3)集合 X 3 的拓扑特征和数字特征
R( X 3 ) = {x | (∀x ∈ U ) ∧ ([x ]R ∩ X 3 ≠ ∅ )} = U .
α R (Y1 ) = 1, α R (Z 1 ) = 1 .
（7）集合 Y2 ， Z 2 与 X 2 的拓扑特征相同 ，其数字 特征——近似精度分别为
1 2 α R (Y2 ) = , α R (Z 2 ) = . 3 7 （8）集合 Y3 ， Z 3 与 X 3 的拓扑特征相同 ，其数字
特征——近似精度分别为
R( X1 ) = {x | (∀x ∈U ) ∧ ([x]R ∩ X1 ≠ ∅)} = {x0 , x1, x4 , x8 } = E1 ∪ E4 . R( X1 ) = {x | (∀x ∈U ) ∧ ([x]R ⊆ X1 )} = {x0 , x1, x4 , x8 } = E1 ∪ E4 ,
L-拓扑空间中收敛性、分离性等相关性质的研究的开题报告
L-拓扑空间中收敛性、分离性等相关性质的研究的开题报
告
1. 研究背景
在数学中，拓扑空间是最基本的数学结构之一。
拓扑空间中的收敛性、分离性等性质是拓扑学研究的核心内容之一。
对于拓扑空间中收敛性、分离性等性质的深入研究，不仅有助于推动拓扑学的发展，而且有广泛的应用价值。
2. 研究内容
本项目将围绕拓扑空间中收敛性、分离性等性质展开研究。
具体而言，研究内容包括以下几个方面：
（1）拓扑空间中的收敛性：研究收敛序列、收敛级数、Cauchy序列等概念及其性质，探讨拓扑空间中收敛性的充分必要条件。
（2）拓扑空间中的分离性：研究T0、T1、T2等分离公理及其相互关系，考察在什么条件下可以得到更强的分离性公理。
（3）拓扑空间中的完备性：研究完备拓扑空间的定义及其性质，探讨完备性与度量空间的关系。
（4）拓扑空间中的紧性：研究紧拓扑空间的概念及其性质，探讨紧性与连续映射的关系。
3. 研究方法
本项目将采用数学分析、抽象代数、数学逻辑等现代数学方法开展研究，注重理论推导与实例分析相结合，力求深入探究拓扑空间中收敛性、分离性等性质的本质特征和相互关系。
4. 研究意义
本项目的研究成果有以下几个方面的意义：
（1）深入研究拓扑空间中的基本性质，推动拓扑学和数学分析学科的发展。
（2）为数学分析学科、拓扑学等相关学科的教学提供有益参考。
（3）为工程、物理、计算机科学等应用领域提供数学基础支持。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
开题报告
数学与应用数学
粗糙近似算子的拓扑性质
一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义
波兰数学家Pawlak 于1982年提出的粗糙集理论是经典集合理论的推广, 是处理模糊和不确定知识的有用数学工具. 经过20多年的研究与发展, 已经在理论和实际应用上取得了长足的进展, 特别是由于20世纪80年代末90年代初在知识发现等领域的成功应用而受到了国际上广泛关注.
目前, 粗糙集理论已经在人工智能、知识与数据发现、模式识别与分类、故障检测等方面得到了广泛的应用. 为了推广粗糙集理论的应用范围, 人们对Pawlak 粗糙集模型进行了多种形式的推广.
在粗糙集拓扑理论研究方面, Yao 证明了集合 )}({U P A A ∈ 在R 是自反传递关系时构成一拓扑空间; Michiro Kondo 证明了集合{()}A P U RA A ∈= 在R 是自反关系时构成一拓扑空间. 秦克云、乔全喜通过在 Pawlak 近似空间意义下研究粗糙集构成的拓扑空间, 讨论了粗糙集的表示问题, 借助粗糙集的表示构造了粗糙拓扑空间M , 其中的开集为粗糙相等关系下的等价类, 因而既可以刻画精确集, 也可以刻画近似集. 同时给出了拓扑空间M 中内部与闭包算子的解析表达式, 并给出了它的拓扑基. 乔全喜、秦克云针对无穷论域, 研究了自反、对称关系下近似算子的基本性质,以及由近似算子构成的拓扑空间.
在模糊粗糙集情形, 秦克云、裴峥、杜卫锋通过研究模糊粗糙集的拓扑结构, 以及一般关系下的近似空间与模糊拓扑空间的关系, 证明了自反、传递关系下的近似空间中模糊集的上、下近似算子分别为一个模糊拓扑的闭包、内部算子, 且相应的模糊拓扑满足 )(TC 条件 ; 反之, 满足 )(TC 条件的模糊拓扑的闭包与内部算子也恰为一自反、传递关系下的近似空间中的上、下近似算子, 即论域上的自反、传递关系与满足 )(TC 条件的模糊拓扑是一一对应的．研究结果为基于粗糙集理论设计模糊推理方法提供了一条可选择的思路．陈子春、刘鹏惠、秦克云通过研究模糊粗糙近似算子的拓扑性质, 证明了集合
U
F
}
∈在R是自反关系时构成一模糊拓扑空间, 并且, 当二元关系自反R
A=
)
A
(
{A
对称时, 该模糊拓扑中的元既是开集又是闭集; 当二元关系自反传递时, 该模糊拓扑的闭包与内部算子恰为模糊粗糙上, 下近似算.
在覆盖模糊粗糙集情形下, 陈子春、刘鹏惠、秦克云通过研究基于覆盖理论的模糊粗糙集的拓扑结构, 以及覆盖近似空间与模糊拓扑空间的关系, 证明了覆盖近似空间中模糊粗糙集的上、下近似算子分别为模糊拓扑空间的闭包、内部算子; 反之,满足一定条件的模糊拓扑空间的闭包与内部算子也恰为覆盖近似空间中模糊粗糙集的上、下近似算子, 即覆盖近似空间与满足一定条件的模糊拓扑空间是一一对应的.
Pawlak粗糙集有各种形式的扩展, 基于二元关系的粗糙集和基于覆盖的粗糙集是Pawlak 粗糙集的两种扩展形式. 本文将研究二元关系的后继邻域系统的拓扑特征, 以及基于二元关系的粗糙近似算子的拓扑刻画. 并行地研究论域上拓扑的覆盖粗糙近似算子刻画.
二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题
研究的基本内容: 本文研究二元关系的后继邻域系统的拓扑特征, 以及基于二元关系的粗糙近似算子的拓扑刻画.
解决的主要问题:
1. 二元关系的后继邻域系统的拓扑特征.
2. 拓扑特征的基于二元关系的粗糙近似算子刻画.
3. 论域上拓扑的覆盖粗糙近似算子刻画.
三、研究步骤、方法及措施
研究步骤: 1、查阅相关资料, 做好笔记;
2、仔细阅读研究文献资料;
3、在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 拟定抽样调查方案,
撰写开题报告;
4、翻译英文资料;
5、修改英文翻译, 撰写文献综述;
6、开题报告通过后, 撰写毕业论文;
7、上交论文初稿;
8、反复修改论文;
9、论文定稿.
方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同组同学, 同班同学研究讨论, 用确定合理的方法来解决问题.
四、参考文献
[1]Pawlak Z. Rough sets [J]. International Journal of Computer and Information Science,
1982, (11): 341-356.
[2]Pawlak Z. Rough set: theoretical aspects of reasoning about data [M]. Boston: Kluwer
Academic Publishers, 1991.
[3]Yao Y Y. Two views of the theory of rough sets in finite universes [J]. International
Journal of Approximate Reasoning , 1996, (15) : 291-317.
[4]秦克云等. 粗糙集的拓扑结构[J]. 计算机科学, 2007, 34(12): 160-162.
[5]乔全喜等. 自反、对称关系下近似算子的拓扑性质[J]. 计算机工程与应用, 2008,
44(26): 23-24.
[6]秦克云等. 粗糙近似算子的拓扑性质[J] . 系统工程学报, 2006, (1): 81-85.
[7]刘鹏惠等. 模糊粗糙近似算子的拓扑性质[J].模糊系统与数学, 2008, (6): 163-166.
[8]陈子春等. 覆盖模糊粗糙集近似算子的拓扑性质[J].四川师范大学学报, 2008, (5):
526-529.
[9]刘清. Rough 集及Rough 推理[M] . 北京: 科学出版社, 2001.。