北师大版高中数学必修第一册培优第一章预备知识第4节一元二次函数与一元二次不等式第1课时一元二次函数

第一章 §4 4.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．将一元二次函数y ＝5x 2的图象平移，得到一元二次函数y ＝5(x －3)2－1的图象，下列平移方式中，正确的是( D )
A ．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D ．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．函数y ＝－2x 2＋x 在下列哪个区间上，函数值y 随x 增大而增大( D ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．⎣⎡⎭⎫14，＋∞
D ．⎝
⎛⎭⎫－∞，1
4 3．一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线( C )
x －1 0 1 3 y
－1
3
5
3
A ．x ＝0
B ．x ＝1
C ．x ＝1.5
D ．x ＝2
4．(2021·广东省深圳市质检)已知一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a ＞b ＞c ，且a －b ＋c ＝0，那么它的大致图象可能是( A )
[解析] 由a ＞b ＞c ，且a －b ＋c ＝0可以分析出a ＞0，c ＜0，即函数图象开口向上，当x ＝－1时y ＝a －b ＋c ＝0，当x ＝0时y ＝c ＜0．结合各选项可知选A ．
5．(2021·山东省青岛市调研)一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝bx 2＋ax ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( D )
[解析] 由于一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝bx 2＋ax ＋c 的图象的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，则－b 2a 与－a
2b 同号，即它们的图象的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排
除A ，B ；由C ，D 中给出的图象，可判定两函数的图象的开口方向相反，故ab ＜0，于是－b 2a ＞0，－a
2b
＞0，即两函数图象的对称轴都位于y 轴右侧，排除C ，选D ． 6．(2021·河南省郑州市期中)已知函数y ＝x 2－4x ＋5在闭区间[0，m ]上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是( D )
A ．[0,1]
B ．[1,2]
C ．[0,2]
D ．[2,4]
[解析] ∵函数y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，∴当x ∈(－∞，2]时，y 随x 的增大而减小，当x ∈[2，＋∞)时，y 随x 的增大而增大，而且x ＝0或x ＝4时y ＝5，x ＝2时y ＝1，由图象(如图所示)可知，若函数y ＝x 2－4x ＋5在闭区间[0，m ]上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是[2,4]．
二、填空题
7．一元二次函数y ＝3x 2的图象上有两点(2，y 1)，(5，y 2)，则y 1__＜__y 2(填＞，＜，＝)． 8．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y ＝－3(x ＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为__y ＝3x 2－12x ＋10__．
[解析] 由题意可知所求一元二次函数的解析式为y ＝3(x －2)2－2＝3x 2－12x ＋10． 9．函数y ＝3x 2－x ＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是__y ＝3x 2＋5x ＋2__．
[解析] 函数y ＝3x 2－x ＋2的图象向左平移1个单位长度，得到函数y ＝3(x ＋1)2－(x ＋
1)＋2的图象，再向下平移2个单位长度，得到函数y ＝3(x ＋1)2－(x ＋1)＋2－2的图象，即所得图象对应的函数解析式是y ＝3x 2＋5x ＋2．
三、解答题
10．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1，y ＝－1
2(x ＋1)2－1的图
象；
(2)指出y ＝－1
2(x ＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变
化趋势．
[解析] (1)作出这三个函数的图象，如图：
(2)y ＝－1
2(x ＋1)2－1的图象开口方向向下，对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，－
1)，当x ＝－1时，y max ＝－1．在区间(－∞，－1]上函数值y 随x 增大而增大，在区间[－1，＋∞)上函数值y 随x 增大而减小．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2021·辽宁大连八中高一月考)校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y (m)与水平的距离x (m)之间的函数关系式为y ＝－112x 2＋23x ＋53
，则该运动员的成绩是( B )
A ．6 m
B ．10 m
C ．8 m
D ．12 m
[解析] 当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋5
3＝0，解得x ＝10或x ＝－2(舍去)，故选B ．
2．(2021·山西大同一中高一月考)已知m ＞2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( A )
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 1＜y 3＜y 2
D ．y 2＜y 1＜y 3
[解析] 因为y ＝x 2－2x 在[1，＋∞)上是增函数，且m －1，m ，m ＋1均在[1，＋∞)内，
所以y 1＜y 2＜y 3．
3．(2021·贵州遵义三中高一月考)已知二次函数y ＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，若当x ＝m 时，y ＜0，则当x ＝m ＋1时，y 的值为( A )
A ．正数
B ．负数
C ．零
D ．符号与a 有关
[解析] 因为a ＞0，所以x ＝0时，y ＝a ＞0．
因为函数图象的对称轴为直线x ＝－1
2，所以x ＝－1时y 的值与x ＝0时y 的值相等．
又因为x ＝m ，y ＜0，所以－1＜m ＜0，所以m ＋1＞0，所以y ＞0．
4．(多选)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是( ABC )
A ．a ＋b ＋c ＜0
B ．a －b ＋c ＞1
C ．abc ＞0
D ．4a －2b ＋c ＜0
[解析] 由题图可知x ＝1时y ＜0，x ＝－1时y ＞1，所以AB 正确． 因为－b
2a ＝－1，且a ＜0，所以b ＝2a ＜0．
因为x ＝0时，c ＝1＞0，所以C 正确．
因为x ＝－2，x ＝0时，y ＝1，所以当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＞0，所以D 不正确． 二、填空题
5．(2021·内江统考)函数y ＝(m －1)·x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合是__{－3,0,1}__．
[解析] 当m ＝1时，y ＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝⎛⎭⎫14，0．当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0．
所以m 的取值集合为{－3,0,1}．
6．(2021·广西桂林一中高一月考)抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两个交点分别为A ，B ，顶点为C ，则△ABC 的面积为__8__．
[解析] 由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得点A (－3,0)，B (1,0)，C (－1,4)，所以|AB |＝|1－(－3)|＝4，点C 到边AB 的距离为4，所以S △ABC ＝1
2
×4×4＝8．
三、解答题
7．求函数y ＝3－2x －x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3
2的最大值和最小值． [解析] 函数y ＝3－2x －x 2的图象的对称轴为直线x ＝－1．
画出函数y ＝3－2x －x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3
2的大致图象，如图所示，由图可知，当x ＝－1时，y max ＝4；当x ＝32时，y min ＝－9
4
．
所以函数y ＝3－2x －x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－52，32的最大值为4，最小值为－9
4． 8．已知函数y ＝(x －2)(x ＋a )．
(1)若函数的图象关于直线x ＝1对称，求a 的值； (2)若函数在区间[0,1]上的最小值是2，求a 的值． [解析] (1)∵y ＝x 2＋(a －2)x －2a 的图象的对称轴 为直线x ＝2－a
2，
∴2－a 2
＝1，解得a ＝0． (2)由(1)知y ＝x 2＋(a －2)x －2a 的图象的对称轴为直线x ＝1－a
2
，
①当1－a
2≤0，即a ≥2时，y min ＝－2a ＝2，解得a ＝－1，不符合题意，舍去；
②当1－a
2∈(0,1)，即0＜a ＜2时，y min ＝－a 2－4a －44＝2，无解；
③当1－a
2≥1，即a ≤0时，y min ＝－1－a ＝2，解得a ＝－3，符合题意．
综上所述，a ＝－3．。