2019成都中考数学 专题训练-几何图形综合题

几何图形综合题

类型一 动点问题

1. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G .

(1)求证：△CDE ≌△CBF ； (2)当DE ＝2

1

时，求CG 的长；

(3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE 的长；若不能，说明理由．

第1题图

（1）证明：如解图，在正方形ABCD 中，DC ＝BC ， ∠D ＝ ∠CBA ＝ ∠CBF ＝ ∠DCB ＝ 90°， ∴∠1＋∠2＝ 90°， ∵CF ⊥CE ， ∴∠2＋∠3＝ 90°， ∴∠1＝ ∠3， 在△CDE 和△CBF 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠31BC

DC CBF D ， ∴△CDE ≌△CBF (ASA );

第1题解图

(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴△GBF ∽△EAF ， ∴

AF

BF

AE BG =

， 由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴BF ＝ DE ＝ 1

2

，

∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AF ＝AB ＋BF ＝ 3

2，

AE ＝AD －DE ＝ 1

2

，

∴2

32121=BG ，

∴BG ＝16

，

∴CG ＝BC －BG ＝ 5

6；

(3)解：不能．

理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ， ∴AD －AE ＝BC －CG ， ∴DE ＝BG ，

由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，

∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°， ∴∠CF A ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°，

此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符， ∴在点E 运动过程中，四边形CEAG 不能为平行四边形．

2.已知四边形ABCD是菱形，AB＝ 4，∠ABC＝ 60°，

∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝ 60°. (1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与点B、C重合)，求证：BE＝CF；

(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝ 15°

时，直接写出点F到BC的距离.

第2题图

(1)解：AE＝EF＝AF；

【解法提示】如解图①，连接AC，

第2题解图①

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝ 60°，

∴∠BCD＝ 120°，

∴∠ACE＝∠ACF＝ 60°，

∴AB＝BC＝AC，即△ABC为等边三角形，

又∵∠BAC＝∠1＋∠2＝ 60°，

∠EAF＝∠2＋∠3＝ 60°，

∴∠1＝∠3，

在△ABE 和△ACF 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠ACF ABE AC

AB 31， ∴△ABE ≌△ACF (ASA )， ∴AE ＝ AF ， 又∵∠EAF ＝ 60°， ∴△AEF 为等边三角形， ∴AE ＝ EF ＝ AF ；

(2)证明：如解图②，连接AC ，由(1)知，AB ＝ AC ，∠ACF ＝ 60°， ∵∠BAC ＝ ∠4＋∠5＝ 60°，∠EAF ＝ ∠5＋∠6＝ 60°， ∴∠4＝ ∠6， 在△ABE 和△ACF 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠ACF ABE AC

AB 64， ∴△ABE ≌△ACF (ASA )， ∴BE ＝ CF ；

第2题解图②

(3)解：点F 到BC 的距离为3－ 3.

【解法提示】由(2)知，BE ＝ CF ，如解图③，过点A 作AG ⊥CE 于点G ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，

第2题解图③

∵∠EAB＝ 15°，∠ABC＝ 60°，∴∠BAG＝ 90°－∠ABC＝ 30°，∴∠EAG＝ 15°＋30°＝ 45°，∴△AEG为等腰直角三角形，

又∵AB＝ 4，

∴AG＝AB·cos∠BAG＝ 4×

3

2

＝ 23，

∴BG＝AB

2

1＝ 2，

∵EG＝AG＝ 23，

∴BE＝EG－BG＝ 23－2，

∴CF＝ 23－2，

∵FH⊥CE，

∴∠FCH＝ 180°－∠BCD＝ 60°，

∴FH＝CF·sin∠FCH＝ (23－2)×

3

2

＝ 3－3，

∴点F到BC的距离为3－ 3.

类型二图形形状变化问题

3.如图，在四边形ABCD中，点P是AB上一点，点E在射线DP上，且∠BED＝∠BAD，连接AE.

(1)若AB＝AD，在DP上截取点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：AE＝AF；

(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在AB的延长线上，BE＝1，AE＝32，求DE的长；

(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD＝2AB，点P在AB的延长线上，AE＝5BE，求

DE

AE的值．