运筹学-随机规划
运筹学教程
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运筹学（Operations Research，简称OR）是一种应用数学方法和技术的学科，旨在解决复杂的决策问题和优化问题。
它是通过建立数学模型、分析模型以及应用计算机技术等手段，为决策者提供科学的决策支持。
运筹学主要包括以下几个方面的内容：
1. 线性规划：线性规划是运筹学中常用的一种优化方法，用于在一组约束条件下，找到使目标函数最大化或最小化的最优解。
2. 整数规划：整数规划是线性规划的一种扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划常用于需要做出离散决策的问题，如装箱问题、旅行商问题等。
3. 动态规划：动态规划是一种通过将大问题分解为小问题并利用小问题的最优解来求解大问题的方法。
它主要用于具有重叠子问题结构的优化问题。
4. 随机规划：随机规划是一种考虑不确定性因素的优化方法，它通过引入随机变量和概率分布来描述问题的不确定性，并在干预决策中考虑不确定性的影响。
5. 排队论：排队论是运筹学中研究排队模型的一门学科，用于优化队列系统的设计与性能，以及评估排队系统的性能指标。
除了上述内容，运筹学还包括模拟、图论、网络优化等其他方法和技术。
它广泛应用于交通运输、生产计划、资源分配、供应链管理等领域。
运筹学教学大纲
运筹学教学大纲第一部分：引言运筹学作为一门跨学科的学科，通过运用数学和统计学的方法，来解决实际生活中的决策问题，以实现最优的效益。
本教学大纲旨在介绍运筹学的基本概念、原理和应用，使学生能够掌握运筹学的基本知识和解决问题的方法。
第二部分：教学目标2.1 知识目标- 理解运筹学的基本概念、原理和模型- 掌握线性规划、整数规划、动态规划等运筹学方法- 熟悉常见的运筹学应用领域和实际案例2.2 能力目标- 能够分析和抽象实际问题，并构建相应的运筹学模型- 能够运用运筹学方法解决实际问题- 具备独立思考和团队合作的能力第三部分：课程内容3.1 运筹学基础知识- 运筹学的定义和历史发展- 运筹学的基本概念与特点- 运筹学的应用领域与重要性3.2 线性规划- 线性规划的基本概念与原理- 线性规划模型的建立与求解方法- 敏感性分析与灵敏度分析3.3 整数规划- 整数规划的基本概念与模型- 整数规划的求解方法与算法- 整数规划在实际问题中的应用3.4 动态规划- 动态规划的基本思想与模型- 动态规划的求解方法与步骤- 动态规划在决策问题中的应用3.5 随机规划- 随机规划的基本概念与特点- 随机规划的模型与方法- 随机规划在风险决策中的应用第四部分：教学方法4.1 理论授课通过课堂讲授，系统介绍运筹学的基本概念、原理和方法，让学生建立起运筹学的知识体系。
4.2 经典案例分析通过分析运筹学在实际问题中的应用案例，引导学生理解运筹学方法在解决实际问题中的作用和价值。
4.3 数学建模实践组织学生参与运筹学相关的数学建模活动，提高学生的运筹学问题分析和建模能力。
第五部分：教学评价5.1 平时成绩评定根据学生的课堂表现、作业完成情况和课堂互动等综合评定。
5.2 考试成绩评定通过闭卷考试进行学生对运筹学知识的掌握情况评估。
5.3 课程综合评价通过学生的课堂报告、小组项目、个人论文等方式评价学生的综合能力和实际运用能力。
第六部分：参考教材与参考资料6.1 参考教材- 《运筹学导论》赵启南主编高等教育出版社- 《运筹学（第三版）》方宇明主编清华大学出版社6.2 参考资料- 《运筹学及其应用》王栋梁炜主编北京航空航天大学出版社- 《运筹学导论》张忠任主编机械工业出版社结语：本教学大纲将通过理论教学、案例分析和数学建模实践等方式，系统介绍运筹学的基本概念、模型与方法，培养学生的运筹学问题分析和解决能力。
运筹学必考知识点总结
运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。
这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。
本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。
在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。
考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。
2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。
3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。
在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。
考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。
4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。
在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。
5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。
效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。
6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。
在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。
7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。
在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。
8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。
在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。
以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。
研究生数学教案：运筹学中的随机模型与优化算法
研究生数学教案：运筹学中的随机模型与优化算法1. 引言1.1 概述本文旨在探讨研究生数学教案中的运筹学内容，重点介绍随机模型与优化算法的应用。
运筹学作为一门基于数学方法和模型构建解决实际问题的学科，具有广泛的应用领域和重要性。
在现代社会中，随机性因素经常出现，并对决策和规划产生重要影响。
同时，为了提高决策的质量并优化实际问题的解决方案，各种优化算法也得到了广泛研究和应用。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、运筹学与数学教案、随机模型与应用、优化算法及其应用以及结论与展望。
在引言部分，我们将简要介绍本文的概述、文章结构以及目的。
1.3 目的本文旨在通过对研究生数学教案中运筹学相关内容的深入探讨，全面了解随机模型与优化算法在运筹学中的重要性及其具体应用。
通过详细介绍相关概念和原理，并借助实际案例分析和讨论，旨在帮助研究生更好地理解和应用这些数学方法，提高他们在运筹学领域的能力和素质。
通过系统的知识框架，本文还将对优化算法在随机模型中的应用研究进展以及现有成果进行总结，并探讨未来可能的研究方向。
希望本文能够为相关领域的研究工作者提供一定的参考和启示，进一步推动运筹学在实际问题中的应用以及优化算法的发展。
2. 运筹学与数学教案2.1 运筹学概述运筹学是一门综合应用数学和计算机科学的学科领域，旨在研究在各种实际问题中如何做出最佳决策。
它结合了数学模型、统计分析和优化方法等理论工具，以解决管理、工程、制造等领域中的实际问题。
2.2 数学教案介绍数学教案是指为教师准备和组织课堂教学所使用的材料和参考资料。
在研究生数学教育中，编写适合培养研究生创新思维和解决实际问题能力的数学教案尤为重要。
这些教案不仅可以引导研究生深入理解运筹学的基本概念和方法，还可以提供实际案例和应用场景，促进他们将所学内容与实际情境相结合。
2.3 研究生运筹学课程重要性研究生运筹学课程对于培养研究生的分析思考能力、数据建模能力以及问题解决能力至关重要。
管理科学 运筹学
管理科学运筹学引言管理科学是一门应用数学学科，运筹学是其中的一个重要分支。
运筹学主要研究如何通过数学建模和优化算法来解决管理和决策问题。
在现代社会中，各种组织和企业面临着复杂的问题和挑战，而管理科学运筹学正是为了解决这些问题而产生和发展的。
运筹学的基本概念管理科学的定义管理科学是一门综合运用数学、统计学和信息科学等多种方法和工具，研究组织和管理问题的学科。
它通过建立数学模型，运用数学和逻辑推理的方法，对组织和管理问题进行分析和决策，从而提高组织和管理的效率和效果。
运筹学的定义运筹学是管理科学的一个重要分支，它主要研究如何通过数学建模和优化算法来解决管理和决策问题。
运筹学的核心思想是通过有效的资源分配和决策，使组织能够实现最佳的结果。
运筹学的应用领域运筹学广泛应用于各个领域，包括生产调度、供应链管理、物流运输、项目管理、金融投资、市场优化等。
下面我们将分别介绍几个典型的应用领域。
生产调度生产调度是运筹学的重要应用领域之一。
通过优化生产计划和调度算法，可以提高生产效率，减少生产成本，提高产品质量。
例如，通过调度生产车间和工人的安排，可以实现生产过程的合理化和优化。
供应链管理供应链管理是指通过优化供应链的各个环节，实现物流和信息流的高效运转，从而降低供应链的成本和提高供应链的响应能力。
运筹学可以通过数学模型和优化算法，帮助企业优化供应链的库存管理、订单分配、运输路径等问题。
项目管理项目管理是指通过合理的资源分配、任务分工和进度控制等手段，实现项目的顺利完成。
运筹学可以通过建立项目管理的数学模型，帮助管理者进行项目的计划和决策，提高项目的进度和效益。
金融投资金融投资是指通过对金融市场的分析和决策，实现资金的增值。
运筹学可以在金融投资中应用多种数学模型和优化算法，帮助投资者制定投资策略、优化投资组合、进行风险管理等。
市场优化市场优化是指通过对市场需求和供给的分析，确定合理的市场策略和营销活动，实现市场份额和利润的最大化。
随机优化与随机规划
随机优化与随机规划随机优化和随机规划是运筹学和数学领域中一类重要的优化问题求解方法。
它们通过引入随机变量来刻画问题中的不确定性信息，进而对问题进行求解和优化。
本文将介绍随机优化和随机规划的基本概念、方法以及应用领域。
一、随机优化的基本概念随机优化是指在优化问题中引入随机变量的方法，将确定性优化问题转化为随机优化问题，从而考虑问题中的不确定性因素。
随机优化的目标是在考虑不确定性条件下，寻找使得目标函数达到最优的解。
随机优化的基本步骤包括：建立模型、制定目标函数、确定约束条件、引入随机变量、建立随机优化模型、求解最优解。
其中，引入随机变量是随机优化的核心步骤，通过引入随机变量来刻画问题中的不确定性信息。
随机优化可以分为两类：随机线性规划和随机非线性规划。
随机线性规划是指目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题；随机非线性规划是指目标函数和/或约束条件中存在非线性函数的优化问题。
二、随机规划的基本概念随机规划是指在规划问题中引入随机变量的方法，将确定性规划问题转化为随机规划问题，从而考虑问题中的不确定性因素。
随机规划的目标是在考虑不确定性条件下，制定合理的规划方案。
随机规划的基本步骤包括：建立模型、制定目标函数、确定约束条件、引入随机变量、建立随机规划模型、求解最优解。
与随机优化相似，引入随机变量也是随机规划的核心步骤。
随机规划可以分为两类：随机线性规划和随机非线性规划。
随机线性规划是指目标函数和约束条件都是线性函数的规划问题；随机非线性规划是指目标函数和/或约束条件中存在非线性函数的规划问题。
三、随机优化与随机规划的应用领域随机优化和随机规划在实际应用中具有广泛的应用领域，以下列举几个典型的应用领域：1. 金融风险管理：随机优化和随机规划可以应用于金融领域中的风险管理问题，通过引入随机变量来描述金融市场的不确定性，进而制定合理的投资组合方案和风险控制策略。
2. 生产调度问题：随机优化和随机规划可以应用于生产调度领域中的问题，通过引入随机变量来刻画生产过程中的各种不确定性因素，进而优化生产计划、资源调度和物流管理。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结一、线性规划线性规划是运筹学中最基础、最重要的一个分支。
它的基本形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是一个n维的列向量，x是一个n维的列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维的列向量。
线性规划的目标是找到满足约束条件的x，使得目标函数cx取得最大值。
而当目标是最小化cx时，则是最小化问题。
线性规划问题有着很好的性质，它的最优解一定存在且一定在可行域边界上。
而且，很多非线性规划问题也可以通过线性化转化成线性规划问题，因此线性规划具有广泛的适用范围。
二、整数规划整数规划是线性规划的一个扩展，它在线性规划的基础上增加了对决策变量的整数取值限制。
这样的问题往往更加接近实际情况。
整数规划问题的一般形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ∈ Zn整数规划问题的求解难度要比线性规划问题高很多。
因为整数规划问题是NP-hard问题，也就是说它没有多项式时间的算法可以解决。
但是对于特定结构的整数规划问题，可以设计专门的算法来求解。
比如分枝定界法、动态规划等。
整数规划问题在许多领域都有着广泛的应用，比如生产调度、设备配置、网络设计等。
三、动态规划动态规划是一种用来求解具有重叠子问题结构的最优化问题的方法。
它的核心思想是将原问题分解成一系列相互重叠的子问题，然后利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。
动态规划问题的一般形式可以表示为：F(n) = max{F(n-1), F(n-2)+cn}其中，F(n)是问题的最优解，cn是问题的参数，n是问题的规模。
动态规划问题的求解是一个自底向上的过程，它依赖于子问题的最优解，然后通过递推关系来求解原问题的最优解。
动态规划在资源分配、路径优化、排程问题等方面有着广泛的应用。
四、决策分析决策分析是一种用来帮助人们做出最佳决策的方法。
它可以应用在各种风险决策、投资决策、生产决策等方面。
决策分析的一般形式可以表示为：Max E(u(x))其中，E(u(x))是对决策结果的期望效用，u(x)是决策结果的效用函数，x是决策变量。
运筹学解题方法技巧归纳pdf
30个运筹学的解题方法与技巧1. 线性规划：解决在一定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
常用方法有单纯形法、对偶理论和分解算法等。
2. 整数规划：处理决策变量取整数值或只能取整点值的线性规划问题。
常用方法有分支定界法、割平面法等。
3. 动态规划：通过将原问题分解为相互重叠的子问题，解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
4. 图论方法：用于解决最短路、最小生成树、最小割、最大流等问题，常用算法有Dijkstra 算法、Prim算法、Ford-Fulkerson算法等。
5. 网络优化：解决运输、分配和布局等问题，常用方法有运输问题算法、分配问题算法等。
6. 排队论：研究等待队列的结构和特性，以及服务机构的工作规律。
主要模型有M/M/1、M/M/c等。
7. 存储论：研究如何科学地管理物资库存，以最低的费用保证生产和销售需要。
常用模型有不允许缺货模型、一次性订货模型等。
8. 决策分析：根据已知信息评估不同行动方案的效果，从而选择最优方案。
常用方法有期望值法、决策树法等。
9. 对策论：研究竞争、对抗和冲突问题的数学模型，常用方法有Nash均衡、优势策略和必胜策略等。
10. 随机规划：处理具有随机性的决策问题，常用的求解方法有期望值法、机会约束规划和贝叶斯决策等。
11. 多目标规划：解决具有多个冲突目标的优化问题，常用的求解方法有主要目标法、权衡法和分层序列法等。
12. 非线性规划：处理目标函数或约束条件非线性的优化问题，常用的求解方法有梯度法、牛顿法等。
13. 启发式方法：采用直观和经验的方法求解问题，如遗传算法、模拟退火算法等。
14. 数学仿真：通过建立数学模型并模拟实际情况，评估不同方案的性能和效果。
15. 多属性决策分析：处理具有多个评估属性的决策问题，常用的求解方法有多属性效用理论、层次分析法等。
16. 模拟退火算法：一种启发式优化算法，通过模拟固体退火过程来寻找全局最优解。
17. 遗传算法：模拟生物进化过程的优化算法，通过遗传、交叉和变异等操作寻找最优解。
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Operations Research
期望值模型
解：由于每天可以售出报纸份数为随机变量b. 若x≥b, 则每天 报纸的剩余量为x-b; 否则为0. 于是, 报童的收益为
f
(x,
b)
(a (a
p)x, p)b
p(x
b),
xb xb
收益函数 f (x,b)是随机变量, 考虑其期望收益
E(
f
( x, b))
x
0
p(x
b)
(a
p)b(b)db
x (a p)x(b)db
这里E表示期望值算子, (b)表示需求量b的概率密度函数.
报童问题就是寻找最优的订购数量x, 使期望收益E(f(x,b))达到最 大值. 这是一个典型的期望值模型.
其中x是一个n维决策向量，是一个t维随机向量，其概率密度函数为( ), f (x, )是目标函数, g j (x, )是随机约束函数, E表示期望值算子，
E( f (x, )) f (x, )( )d Rt
E(g j (x, )) Rt g j (x, )( )d , j 1, 2,L , p E(hk (x, )) Rt hk (x, )( )d , k 1, 2,L , q
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随机规划
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Operations Research
随机规划
在确定性数学规划问题中, 要求目标函数是确定性函数, 约束条件确定的集合是一个确定的可行域. 但是，数学规划 问题中目标函数或约束条件中的系数往往是随机变 (向) 量. 含有随机变 (向)量的数学规划问题被称为随机规划.
Operations Research
期望值模型
期望值模型的确是随机优化问题中常用且有效的方法，但我们并 不总是关心极大化期望值收益问题或极小化期望值费用问题。实 际上，有时可能更要考虑所谓的风险问题。
给定两种不同的投资方案，它们的期望收益相同而风险不同。有 些人(称为风险爱好者)可能为追求最大效益而选择风险较大的方 案，而另一些人(称为风险厌恶者)可能为躲避风险而选择风险较 小的投资方案，也可能有些人不太在乎风险，认为哪一种方案都 可以接受，这也是期望值模型的理论基础。
若是一离散型随机变量且分布函数为P i i ,i I , I为序号集,有
E( f (x, )) i f (x,i ), E(g j (x, ))和E(hk (x, ))也有类似表示. iI
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随机规划这一学科的理论和计算方法还不完善和成熟, 但 已在管理科学、经济学、最优控制等学科和应用中显示了 越来越强的生命力, 已成为运筹学的一个重要分支.
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Байду номын сангаас
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x
0
(1)
实际上，这个数学规划模型是没有定义的，由于随机变量的出现， 使得min和约束条件的意义并不明确！
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随机规划模型及研究模式
有几种方式理解随机规划模型以适合于不同的实际背景.
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Operations Research
期望值模型
一般的，单目标的期望值模型可以表示如下：
max E( f (x, )) s.t. E(g j (x, )) 0, j 1, 2,L , p
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期望值模型
报童问题：
设一报童每天清晨去批发报纸来零售, 每天可以售出报纸份数为随 机变量b(假设根据他长期卖报的经验, b的概率分布是已知的). 根据规定,如果报童没有卖完当天的报纸, 卖不完的报纸不能退回. 设所订购的报纸数量为x份, 每份报纸的批发价为p分, 售价为a分. 报童所面临的决策问题为, 清晨, 他应批发多少份报纸最好?
期望值模型
在有些情况下, 使用期望值模型会显得不太合理, 如圣彼得堡悖论.
(1)期望值模型：
取随机变量对应的函数的数学期望, 把随机规划转化为一个确 定数学规划问题.
min z E(c(w))T x
E( A(w))x E(b(w))
s.t. x 0
(1)
称这种在期望值约束下, 使目标函数的期望值达到最优的确定数 学规划为期望值模型.
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随机规划模型及研究模式
设有标准线性规划问题 min z cT x
s.t.
Ax b x 0
假设模型中系数A,b,c或它们的一部分分量可能是随机向量,不妨
设是定义在概率空间(, F, P) 上的随机向量.
有随机线性规划模型 min z(w) (c(w))T x
A(w)x b(w)
s.t.
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期望值模型
如果决策者希望在给定的期望收益水平下实现风险的极小化, 则有
如下风险最小模型
minVar(c(w)T x)
E((c(w)T x)) r s.t. E(A(w))x E(b(w))
x 0
如果决策者希望同时考虑期望收益和风险，则有如下两目标规划模型
max E(c(w)T x)
minVar(c(w)T x)
E(A(w))x E(b(w)) s.t. x 0
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