06运筹学教案(整数规划与指派问题)

18
4.4 0,1规划的割平面法 此法关键在于将即0,1约束限制的决策变量xj转化 为一般整数约束即： 增加约束：xj<=1 且xj>=0 且即整数。 剩余下的同整数规划问题，可用割平面方法求解， 若找到最优整数解，即为原0，1规划问题的最优解。 又见P54。关于0,1规划问题，还有各种隐枚举法。
基本原理：
1、首先求解整数问题的伴随问题（原问题A去掉整 数约束条件后得到的问题B）。
2、若为整数解，则为原问题的最优解。否则：
3、分枝：选择 xj=bj 不为整数，而原问题要求xj为 整数，则原问题最优解不可能在区域内： [bj]<xj<[bj]+1 故将前伴随问题分别加上约束条件 xj>=[bj]+1 Xj<=[bj] 从一分二技形成两个问题 B1与B2 8
3
2、整数规划的分类： 纯整数规划：全部决策变量均要求取整数。 混合整数规划：只要部分决策变量要求取整数。 0,1规划：一类变量只取0,1特殊的整数规划问题。 3、整数规划的性质： （1）可行解域为点集。 （2）整数最优解的目标值劣于同问题非整数最优 解的目标值。
4
4.1.2 整数规划问题的求解方法
收益为cj，所需资金为bj，若企业总资金为a，
问如何选择项目使总收益最大？一些特殊要求： （1）前8个项目最多投资7个，至少投资3个 （2）项目5的选择以项目2为前提 （3）第9，10，15项目不能同时投资 这些特殊约束怎样用0，1这是表述？
21
1 表示投资i项目 令 xi i 1 , 2 ,..., n 0 表示不投资i项目 n
14
割平面法的关键： 在于如何根据线性规划问题最优单纯表构造割 平面（即新增的约束条件） 满足：能割掉一部分可行解，又不丢掉任何整 数可行解。 4.3.2 割平面方程的构造方法 下面是最优解表中某基变量所在行相应约束方程
基变量 最优解表中非 基变量系数
15
将各系数分解为不超过此数是最大整数与小数部 分之和,即令:
优解，因为（4，1）的 函数值为14 比其13的函 数值还大。 用穷举法则要给出图中 所有红点（可行解）的 目标值，再比较大小， 对于变量较多时，效率 低。
1 2

3
h (3.25, 2.5)
4 5 6 7
o

x1
①
②
7
4.2 分枝定界法
2
利润(100 元/箱) 20 10
设x1，x2分别为甲、乙两种货物的托运箱数(当然 都是非负整数)模型如下：
max z 20x1 10x2 5 x1 4 x2 24 2 x 5 x 1300 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
此为一整数规划问题
13
4.3 割平面解法
4.3.1 原理： 解伴随规划问题，若得到非整数最优解，则增加 被称为割平面的一个线性约束，再求解。 增加的割平面能割掉一部分非可行域，但不会去 掉整数可行解。 不断增加割平面，使缩少后的可行域的出现整数 解的极点，并且为问题的最优解。 但割平面可能要经过多次构造才能出现此种情况。
1 若建工厂 yi (i 1(表示在A3地,2在A4地) 0 若不建工厂
24
模型为：
min z c ij x ij [1200y1 1500y 2 ]
i 1 j 1
4
4
x11 x 21 x 31 x 41 350 x12 x 22 x 32 x 42 400 x13 x 23 x 33 x 43 300 x14 x 24 x 34 x 44 150 x x x x 400 11 12 13 14 s .t x 21 x 22 x 23 x 24 600 x 31 x 32 x 33 x 34 200y1 x 41 x 42 x 43 x 44 200y 2 x 0 ( i , j 1,2,3,4) ij y i 0,1 ( i 1,2)
5
3、有效的方法： 一类：先去掉整数约束条件，求解对应的线性
规划问题（伴随问题），增加附加约束条件，保证 不去掉整数可行解，再求解，直到得到整数最优解。 此类算法有：分枝定界法、割平面法等。
另一类：隐枚举法。
即设计的一些方法，只检查变量取值组合的一 部分，就能求到问题的最优解，此类方法类也较多。
6
19
0，1 型整数规划
概念：模型中有限制取0,1值决策变量的规划问 题。 如：选址问题，投资方案选择问题，指派问题 等。大凡涉及两种状态的决策问题可归结到0，1 规划问题。 0，1决策变量的另外用途： （1）表述一些特殊约束 （2）描述互斥约束条件
20
（1）表述一些特殊约束
例：有n个项目要投资，选择第j个项目的投资
1、化整方法
包括：四舍五入、去掉小数部分化为整数。
化整后可能已不再是可行解，或即使可行但不是最优 解。此方法看似简单但行不通，后边以例子说明。 2、穷举法： 给出所有整数组合解，比较目标值大小，从而得最优 解，对于0，1规划问题也易想到此方法。但当变量数 目较大，如20个，计算量太大，计算机计算都要以年 万年时间计，故往往是无效的。在指派问题时说明。
25
（2）描述互斥约束条件 对于前述装箱运输问题，若考虑原问题为公路运 输的体积约束，另外再考虑一水运体积约束，两者 只能选择一个（公路与水运），可用0，1决策变量 实现两个互斥约束表述。 令 1 表示选择水运
y 0 表示公路运输
26
y=1,第一约束多余第2约束起作用，y=0则相反
max z 20x1 10x2 5 x1 4 x2 24 My 5 x1 4 x2 64 M (1 y ) 2 x1 5 x2 1300 x1 , x2 0，y 0,1 x1 , x2为整数 M为任意大正数
例:P48 最优解表中第一个约束条件:
约束为:x2+9/4x3-1/4x4=9/4可改写为： X2+(2+1/4)x3+(-1+3/4)x4=2+1/4
16
X2+(2+1/4)x3+(-1+3/4)x4=2+1/4 移项得： 1/4 –(1/4x3+3/4x4)=x2+2x3-x4 因xj>=0 且取整数，故有： 1/4 -（1/4x3+3/4x4)<=0 即1/4x3+3/4x4>1/4 即对任意整数变量，都满足上述不等式，亦即原 问题加上上述约束条件，不会割去原问题的可行整 数解，但会割掉包括其伴随规划问题最优解（非整 数）在内的部分非整数可行解，故可作为此问题的 一个割平面方程。一般地前述约束的割平面方程有 如下形式：
LINDO
P
分枝定界法注意：
1、分枝变量选择原则： （1）按目标函数系数：选系数绝对值最大者 变 量先分。 对目标值升降影响最大。 （2）选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。 （3）或以经验选择。对整数要求的变量排优先 次序。
12
2、分枝节点选择： （1） 深探法(后进先出法)： 最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。 但整数解质量可能不高。 （2） 广探法： 选目标函数当前最大值节点，可能找到较好 的整数解。
max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 4 x 2 x 18 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数 (1) ( 2) 例：左边为一整数规划 问题 最优解（3.25,2.5)，四舍 五入化整为(3,3)已不是 可行解，去小数化束得 (3,2)虽可行但不是最
x2
6
X1<=3
X1>=3+1
5

4


3



(3.25, 2.5)

2



1





o

1
2
3

4

5
6

7
x1
加上附加约束将问题分为两枝，即两个线性规划问 题，而且保证不丢失正数解。 9
B1：B
xj<=[bj] 分别求解问题B1与B2
B2：B
xj>=[bj]+1
4、定界：以当前目标值最大而又未分枝的子问题 的目标值为上界，当前最好的整数解目标值（若 还没有则选择为负无穷大）为下界。 5、逐步分枝，并求各分技问题，修改上下界，上 界将逐步减小，下畀将逐步增加，直到二者相等， 则得到原整数规划问题的解。 注意：分枝的优先顺序和剪技（不再继续分技） 的条件。以书上例子加以说明。
m ax z
n
c
j 1
j
xj
模型为
b
j 1 8
j
xj a 3 7
x
j 1 8
j
x
j 1
j
x2 x5 x9 x10 x15 1 x j 0,1 22j 1,2,...,n
例工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不 应求，故需要再建一家工厂。相应的建厂方案有A3 和A4两个。这种物资的需求地有B1,B2,B3,B4四个。 各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求 地的单位物资运费cij，见下表：
28
y y
i 1
i
i
求解方法： （1）穷举法：以各种组合情况代入约束，计算 约束成立的组合解的目标函数，并得到最优解， 但此法因计算量太大而无效。 （2）各种隐枚举法：增加过滤（约束）条件， 隐去大量不满足过滤条件的组合，减少枚举数量 的方法。