整数规划典型问题实例

4米50根
6米20根
8米15根
问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？
问题2. 客户增加需求：
5米10根
由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本， 规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
4米1根 6米1根
8米1根
余料1米
xi 0,i1,2,3,4,5,6,7,8,xi取整
x1
说明：(1)目标函数有两种，一是剩余的料最少，二是所用原料的根数最少。 (2)决策变量限制取整数。 (3)这种全方式设变量的模型只适合小型下料问题，大型下料问题或者对下料方 式有限制的问题将不再合适。
程序编写：
钢管下料
客户需求
原料钢管:每根19米
钢管下料问题2
目标函数（总根数） Mix1 nx2x3
约束 条件 满足需求
模式合理：每根 余料不超过3米
r1x11r1x22r1x33501 6 4 r 1 15 r2 16 r3 18 r4 119
r2x 11r2x 22r2x 33101 6 4 r1 25 r2 26 r3 28 r4 219
4米1根 6米1根
6米1根
余料3米
8米1根
8米1根
余料3米
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
合理切割模式
模式 1 2 3 4 5 6 7
4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
X1 10.00000
0.000000
X2 10.00000
2.000000
X3 8.000000
1.000000
R11 3.000000
0.000000
R12 2.000000
0.000000
R13 0.000000
0.000000
R21 0.000000
需求：4米50根，5米10 每根原料钢管长19米
根，6米20根，8米15根 原料钢管总根数下界：
45 0511 0692 081526
特殊生产计划：对每根原料钢管
模式1：切割成4根4米钢管，需13根；
模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；
ห้องสมุดไป่ตู้
模式3：切割成2根8米钢管，需8根。
整数线性规划及0-1规划
例1 原料下料问题 生产中通过切割、剪裁、冲压等 手段，将原材料加工成所需大小
按照工艺要求，确定下料方案， 使所用材料最省，或利润最大
(钢管下料) 做100套钢架，用长为2.9m,2.1m,1.5m的元钢各一根，已知原料长 为7.4m，问如何下料，所用最省？
问题分析：每一种下料方式用了多少根钢材，合理的下料方式是剩余料头的
r3x 11r3x 22r3x 33201 6 4 r 1 35 r2 36 r3 38 r4 31
r4x 11r4x 22r4x 3315
整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数
整数非线性规划模型
钢管下料问题2 增加约束，缩小可行域，便于求解
70
需 50 求
0 20
23 15
其余为0； 最优值：27。
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
钢管下料问题1
目标2（总根数） M Z 2 i x 1 n x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
约束条 4 x1 3 x22 x3x4x550最优解：x2=15, 件不变 x22x4x53x620 x5=5, x7=5,
x3x52x715
xi 为整数
其余为0； 最优值：25。
按模式2切割15根， 与目标1的结果“共切割
按模式5切割5根， 27根，余料27米” 相比
按模式7切割5根，
共25根，余料35米 虽余料增加8米，但减少了2根
当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标
钢管下料问题2 增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。
对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式 决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 标准
1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
目标1（总余量） M Z 1 3 x i 1 n x 2 3 x 3 3 x 4 x 5 x 6 3 x 7
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
14
0
03
约束 满足需求
4 x1 3 x22 x3x4x550
23 32
1 0
0 1
1 3
x x2 3 2 x5 x4 2x x5 7 3 1x6520
41 51
2 1
0 1
3 1
整数约束： xi 为整数
60
3
0 1 最优解：x2=12, x5=15,
长度不能超过最短原料需求(1.5m)，可首先利用lingo搜索出全部的下料方式，
然后从中筛选出符合条件的方式：
模型建立：设xi为按第i种方式下料的根数，i=1,…,8，
x8
建立如下模型：
min f 0.1x10.3x20.9x30x41.1x50.2x60.8x70.4x8
2x1x2x3x4 100 s.t.2x1x2x33x33x43x52x62x63x7x7 4x1800100
原料钢管总根数上界：13+10+8=31
2 6x1x2x331模式排列顺序可任定
x1 x2 x3
LINGO求解整数非线性规划模型
Local optimal solution found at
iteration: 12211
Objective value:
28.00000
Variable Value Reduced Cost