整数规划典型问题实例
目标规划整数规划第三、四、五章
销地 产地 A1 A2 4
B1
B2
B3 2
B4
B5
产量
3
11 3 6 4 3
12 7 5
5
3 2 5 1 4
6
4 2 9 2 5
4
0 8 0 5 0 9
A3
销量
当产大于销时，即
a b
i 1 i j 1 m
m
n
j
加入假想销地（假想仓库），销量为
a b
i 1 i j 1
n
(二)对偶变量法（位势法） 1.基本原理
检验数的计算： 一般问题：σj = C j- CBB-1 Pj = Cj - Y Pj 运输问题： σij = C ij- CBB-1 Pij = Cij - Y Pij = Cij - (u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn) Pij = Cij - ( ui+ vj ) 当xij 为基变量时， σij = Cij - ( ui+ vj )=0 由此，任选一个对偶变量为0，可求出其余所有 的ui， vj 。 再根据σij = Cij - ( ui+ vj )求出所有非基变量的检验 数。
A 1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
16 10 2 3 9 10 8 2 8 14 5 11 8 6 22 8 14 12 14 48
10
4
6
11
z 0 8 2 14 5 10 4 2 3 6 11 8 6 246 优点：就近供应，即优先供应运价小的业务。
4. 计划利润不少于48元。
- , P d + , P d -} Min{ P1 d16 maxZ= x1 +8 2 2x2 3 3 5x1 + 10x2 60 • 原材料使用不得超过限额 x1 - 2x2 +d1- -d1+ =0 • 产品II产量要求必须考虑 - -d + =36 4x + 4 x +d 1 2 2 2 • 设备工时问题其次考虑
整数规划实例课件
x1 x2 x3 x4 s1 0 0 1/ 41/ 4 0 3 / 2
1 0 1/6 1/6 0 1 0 1 1/4 1 4 0 3/ 2
1 0 01 1
x2 0x3 0x4 s1 1
x1 x2 x3 x4 s1 0 0 1/ 41/ 4 0 3 / 2
1 0 1/6 1/6 0 1 0 1 1/4 1 4 0 3/ 2 0 0 1/ 4 1/ 4 1 1/ 2
n
xij 1; i 1,2,..., n j0
s.t. n xij 1; j 1,2,..., n i0 ui u j nxij n 1;1 i j n xij 1,0, i 1,2,..., n, j 1,2,..., n
背包问题
背景 案例 模型
整数规划
I
B1N B 1b 0
xr arj x j br jN
xr arj x j br jN
arj arj f rj arj arj
br br f r br br
xr arj x j br jN
整数可行解
最优基可行解
xr arj x j br jN
arn 0
1 amm1 amn 0
arm1 arn 1
cB B 1b b1
br
bm
br
x1 x2 xr 0 0 0
1 1 1
0
xm xm1 xn sr 0 m1 0 n 0 0
a1m1 a1n 0
a rm 1
arn 0
1 amm1 amn 0
1 arm1
a
a
rm1
rn
项目投资：财团或银行把资金投入到若干 项目中以获得中长期的收益最大。
整数规划
数学建模 -整数规划
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
整数规划例题
〈运筹学〉补充例题例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。
生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。
这两种产品在市场上是畅销产品。
该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100产品售价（元） 800 300MAX 800X1 +300X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。
产品A和B的价格调整为600元和400元。
假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。
X 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。
因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100原材料(公斤) 11 8 130产品售价（元） 600 400MAX 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 10011X1 +8X2 <= 130X1, X2 >=0例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时） 6 8 120 ５人工（时） 10 5 100 20原材料(公斤) 11 8 130 1产品售价（元） 600 400设： J为所用机器资源数量（小时）；R为所用人力资源数量（小时）；L为所用原材料数量（公斤）MAX 600X1 +400X2 -CST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L = 0J <= 120R <= 100L <= 1305J +20R +1L - C = 0x1, x2, J,R,L>=0例题 1.5 学习了管理课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。
典型的整数线性规划问题
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0－1 模型
(IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x1(x1 80) 0
x2=0 或 80
x2 (x2 80) 0
x3=0 或 80
x3 (x3 80) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP）
NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
运筹学整数规划例题
练习 4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元, 拟在今后五年考虑用于下列项目的投资: 项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4 万元, 第二. 三. 四年不限.项目B:第三年初需要投资, 到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为 5 万元.项目C:第二年初需要投资, 到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为 4 万元, 或为 6 万元, 或为8 万元.项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还, 并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额, 使到第五年末拥有最大的资金收益.(1)x 为项目各年月初投入向量。
(2)x ij 为i 种项目j 年的月初的投入(3)向量c中的元素cij为i 年末j种项目收回本例的百分比(4)矩阵A中元素aij为约束条件中每个变量xij的系数。
(5)Z为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为max Z 1.15 x4 A 1.28 x3B 1.40x2C 1.06 x5 D束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金第 1 年年初该投资者拥有10 万元资金, 故有x1A x1D 100000 .第 2 年年初该投资者手中拥有资金只有 1 6% x1D , 故有x2A x2C x2D 1.06 x1D .第3 年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 1.06x2D , 及从项目 A 中第1 年投资收回的本金: 1.15x1A , 故有max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;x 3A x 3B x 3D 1.15 x 1A 1.06 x 2 D同理第 4年、第 5 年有约束为 x 4A x 4D 1.15 x 2 A 1.06 x 3 D ,x5D1.15 x 3 A 1.06x 4DVariable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000X3B 50000.00 0.000000X2C 40000.00 0.000000X5D 0.000000 0.000000X1A 62264.15 0.000000X1D 37735.85 0.000000X2A 0.000000 0.000000X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000X3D 21603.77 0.000000X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000X1B 0.000000 0.000000X2B 0.000000 0.000000X4B 0.000000 0.000000X5B 0.000000 0.000000X1C 0.000000 0.000000X3C 0.000000 0.000000X4C 0.000000 0.000000X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10 某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11 给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4 ，表示消防站1，2，⋯11 表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习 4.10某城市的消防站总部将全市划分为11 个防火区，现有四的。
6.1整数规划问题
二、整数规划解的理论
对整数规划问题： max z = CX AX = b s （IP）.t X ≥ 0 x 为整数 j
max z = CX AX = b s.t X ≥0
（IP）问题的松弛问题
对（ IP ）问题： max z = CX AX = b s .t X ≥ 0 x j 为整数
（ ）若松弛问题的最优解 X * 为整数解 4 则 X * 也是 IP 的最优解
其松弛问题为： max z = CX AX = b s .t X ≥ 0
（） IP 的可行解域 1
（2 IP 的最优值 ）
≤
松弛问题的可行解域
松弛问题的最优值
若松弛问题无可行解，则IP 无可行解
松弛问题的最优值是原整数规划 的目标函数值的上界
(3)若松弛问题可以找到一 个整数解 X，
则X 的目标函数值是 IP 最优值的下界
1 解： 设 x i = 0
带第 i 件物品 不带第 i 件物品
m
数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m Z = ∑ci xi ax
m b x ≤b s.t ∑ i i i= 1 xi = 0,1 ， i = 1 2,Lm ,
i =1
m
Z =
∑c
带第 i 件
i
=∑c xi =来自 i m i =1x1 , x 2 L , x n ≥ 0 x1 , x2 L, xn = 0,1
例
max z = 30 x 1 + 20 x 2 2 x 1 + 3 x 2 ≤ 14 × 2x + x ≤ 9 1 2 s .t x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 x 1 , x 2 为整数
整数规划典型问题实例
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z 1 3 x 1 x 2 3 x 3 3 x 4 x 5 x 6 3 x 7
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
m in f 0 .1 x1 0 .3 x 2 0 .9 x 3 0 x 4 1 .1 x 5 0 .2 x 6 0 .8 x 7 0 .4 x 8
x8
2 x1 x 2 x 3 x 4 1 0 0 2 x 2 3 x3 3 x5 2 x6 x7 1 0 0 s .t . x1 x 3 3 x 4 2 x 6 3 x 7 4 x 8 1 0 0 x 0, i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, x 取 整 i i
8米1根
8米1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
建立模型：
m ax
f
cx
i i 1
7
i
7 bi x i b i 1 x1 x 2 x 3 2 s .t . x 4 x 5 1 x x 1 7 6 x i 0 或 1, i 1, 2， . . . , 7
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例1 原料下料问题 生产中通过切割、剪裁、冲压等 手段，将原材料加工成所需大小
按照工艺要求，确定下料方案， 使所用材料最省，或利润最大
(钢管下料) 做100套钢架，用长为2.9m,2.1m,1.5m的元钢各一根，已知原料长 为7.4m，问如何下料，所用最省？
问题分析：每一种下料方式用了多少根钢材，合理的下料方式是剩余料头的
原料钢管总根数上界：13+10+8=31
2 6x1x2x331模式排列顺序可任定
x1 x2 x3
LINGO求解整数非线性规划模型
Local optimal solution found at
iteration: 12211
Objective value:
28.00000
Variable Value Reduced Cost
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。
对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式 决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
钢管下料问题2
目标函数（总根数） Mix1 nx2x3
约束 条件 满足需求
模式合理：每根 余料不超过3米
r1x11r1x22r1x33501 6 4 r 1 15 r2 16 r3 18 r4 119
r2x 11r2x 22r2x 33101 6 4 r1 25 r2 26 r3 28 r4 219
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
14
0
03
约束 满足需求
4 x1 3 x22 x3x4x550
23 32
1 0
0 1
1 3
x x2 3 2 x5 x4 2x x5 7 3 1x6520
41 51
2 1
0 1
3 1
整数约束： xi 为整数
60
3
0 1 最优解：x2=12, x5=15,
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 标准
1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
目标1（总余量） M Z 1 3 x i 1 n x 2 3 x 3 3 x 4 x 5 x 6 3 x 7
X1 10.00000
0.000000
X2 10.00000
2.000000
X3 8.000000
1.000000
R11 3.000000
0.000000
R12 2.000000
0.000000
R13 0.000000
xi 0,i1,2,3,4,5,6,7,8,xi取整
x1
说明：(1)目标函数有两种，一是剩余的料最少，二是所用原料的根数最少。 (2)决策变量限制取整数。 (3)这种全方式设变量的模型只适合小型下料问题，大型下料问题或者对下料方 式有限制的问题将不再合适。
程序编写：
钢管下料
客户需求
原料钢管:每根19米
x3x52x715
xi 为整数
其余为0； 最优值：25。
按模式2切割15根， 与目标1的结果“共切割
按模式5切割5根， 27根，余料27米” 相比
按模式7切割5根，
共25根，余料35米 虽余料增加8米，但减少了2根
当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标
钢管下料问题2 增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
70
需 50 求
0 20
23 15
其余为0； 最优值：27。
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
钢管下料问题1
目标2（总根数） M Z 2 i x 1 n x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
约束条 4 x1 3 x22 x3x4x550最优解：x2=15, 件不变 x22x4x53x620 x5=5, x7=5,
长度不能超过最短原料需求(1.5m)，可首先利用lingo搜索出全部的下料方式，
然后从中筛选出符合条件的方式：
模型建立：设xi为按第i种方式下料的根数，i=1,…,8，
x8
建立如下模型：
min f 0.1x10.3x20.9x30x41.1x50.2x60.8x70.4x8
2x1x2x3x4 100 s.t.2x1x2x33x33x43x52x62x63x7x7 4x1800100
4米50根
6米20根
8米15根
问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？
问题2. 客户增加需求：
5米10根
由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本， 规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
4米1根 6米1根
8米1根
余料1米
4米1根 6米1根
6米1根
余料3米
8米1根
8米1根
余料3米
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
合理切割模式
模式 1 2 3 4 5 6 7
4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
需求：4米50根，5米10 每根原料钢管长19米
根，6米20根，8米15根 原料钢管总根数下界：
45 0511 0692 081526
特殊生产计划：对每根原料钢管
模式1：切割成4根4米钢管，需13根；
模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；
模式3：切割成2根8米钢管，需8根。
r3x 11r3x 22r3x 33201 6 4 r 1 35 r2 36 r3 38 r4 31
r4x 11r4x 22r4x 3315
整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数
整数非线性规划模型
钢管下料问题2 增加约束，缩小可行域，便于求解