运筹学整数规划补例样本

运筹学难点辅导材料 整数规划补例

1、 对( IP) 整数规划问题12

12121212max 14951631..0,0,z x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪

-+≤⎪⎨

≥≥⎪⎪⎩为整数, 问用先解相应的线性规划然后凑

整的办法能否求到最优整数解? 再用分支定界法求解。

解 先不考虑整数约束, 得到线性规划问题( 一般称为松弛问题LP)

12

12121

2max 14951..6310,0

z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪

-+≤⎨⎪≥≥⎩用图解法求出最优解12310

,23x x ==且296z =。

如用”舍入取整法”凑整可得到四个点, 即( 1, 3) 、

( 2, 3) 、 ( 1, 4) 、 ( 2, 4) 。代入约束条件发现她们都不是可行解。可将可行域内的所有整数点一一列举( 完全枚举法) , 本例中( 2, 2) 、 ( 3, 1) 点为最大值4z =。 令()

0310,23T

X

⎛⎫= ⎪⎝⎭

及最优值()0

296z =。可行域记为D, 显然()0X 不是整数解。 定界: 取()0296z z ==

, 再用视察法找一个整数可行解()0,0T

X '=及0z '=, 取0z z '==, 即*2906

z ≤≤ 分支: ( 关键点, 在B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量j x , 其值为

j b , 构造两个约束条件1,j j j j x b x b ⎡⎤⎡⎤≥+≤⎣⎦⎣⎦, 这里用了取整函数呵! ) 任取最

优解中一个不为整数的变量值, 例如132x =

, 根据312⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

, 构造两个约束条件,

形成下面两个子问题( IP1) 12121211212max 14951631..10,0,z x x x x x x s t x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎪≤⎨⎪≥≥⎪⎪⎩为整数和( IP2) 12

121221212max 14951631..20,0,z x x x x x x s t x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎪≥⎨⎪≥≥⎪⎪⎩为整数 解( IP1) 和( IP2) , 得最优解分别为()

()11

7101,,33T

X z ⎛⎫==

⎪⎝⎭

和()

()22

23412,,99T

X

z ⎛⎫== ⎪⎝⎭

, 这两个都不是符合整数条件的可行解。

修改上下界: 根据个分支的最优解, 可取新的上界()(){}

1241

min ,9

z z z =

=, *4109

z ≤≤

再分支: 由于()()12z z <, 故先对( IP2) 进行分支, 取2239x =

, 根据2329⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

, 构造两个约束条件, 形成下面两个子问题( IP3) 12

121

2121212max 14951631

2

..2

0,0,z x x x x x x x s t x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎪≥⎪⎨

≤⎪⎪≥≥⎪⎪⎩为整数和( IP4) 12

121

2121212max 14951

631

2..3

0,0,z x x x x x x x s t x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎪≥⎪⎨

≥⎪⎪≥≥⎪⎪⎩为整数

。 解相应的松弛问题( IP3) 和( IP4) , 得( IP4) 无可行解, ( IP3) 的最优解为

(

)

()33

3361,2,1414T

X z ⎛⎫== ⎪⎝⎭

。

在考虑( IP1) , 由( IP1) 的最优解, 取273x =

, 根据723⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

, 构造两个约束条件, 形成下面两个子问题( IP5) 12

121

2121212max 14951

631

1..2

0,0,z x x x x x x x s t x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎪≤⎪⎨

≤⎪⎪≥≥⎪⎪⎩为整数和( IP6) 12

121

2121212max 14951

631

1..3

0,0,z x x x x x x x s t x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎪≤⎪⎨

≥⎪⎪≥≥⎪⎪⎩为整数, 得( IP6) 无可行解, ( IP5) 的最优解为()()()551,2,3T

X z ==。

在修改上下界: 根据上述两个最优解的情况, 有*61

314

z ≤≤ 再分支: 由( IP3) 的最优解()

333,214T

X

⎛⎫

= ⎪⎝⎭

, 取13314x =, 根据33214⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 构造

两个约束条件, 形成下面两个子问题( IP7) 12

1212121

1212max 149516312

..220,0,z x x x x x x x s t x x x x x x =++≤⎧⎪

-+≤⎪⎪≥⎪

≤⎨⎪≤⎪⎪≥≥⎪

⎩为整数

和( IP8)