第七讲整数规划(一)(运筹学清华大学,林谦)
《运筹学》之整数规划
…
Bn
…
X1n
…
X2n
……
…
Xnn
指派问题：分配要求
分配 B1 B2 … Bn 工作数
A1
X11
X12
… X1n
∑X1j
A2
X21
X22
… X2n
∑X2j
…
…
…
……
…
An 人数 要求
Xn1 ∑Xi1 1
Xn2 ∑Xi2 1
… Xnn … ∑Xin …1
∑Xnj
要求 1 1
… 1
指派问题：模型
n n
X1 1
P1:(1,9/10 X2 2 X2 3 P12: (0,3) Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10。
指派问题
设有n 个人A1, A2, …An,要分派去做n件事B1, B2… Bn,要求每一件事都 必须有一个人去做,而 且不同的事由不同的人去做.已知每个人Ai做每 件事Bj的效率(如劳动工时或成本,或创造的价值 等)为Cij,问应如何进行指派(哪个人做哪件事),才 能使 工作效益最好(如工时最少,或成本最低,或 创造的价值最大)?
乙
19 23 22 18
丙
26 17 16 19
丁
19 21 23 17
指派问题：思考问题
1、人数比工作数多怎么处理？ 2、人数比工作数少，模型会怎
样变化? 3、计算机求解方法？
特殊约束的处理
➢互斥约束 ➢矛盾约束 在建立数学模型时，有时会遇到相 互矛盾的约束，模型只要求其中的 一个约束起作用。
12 8
x5
6 相机
2 4
x6
7 设备
4 10
x7
《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
第七讲 整数规划
湖州师范学院商学院
(5 8)
2012年12月22日
22
第七讲
2、相互排斥的约束条件
整数规划
四、0-1型整数规划
整数规划
先不考虑整数约束条件，求得相应的线性规划的最 优解为： x1=3/4，x2=7/4，max z=5/2
2012年12月22日
湖州师范学院商学院
15
第七讲
三、割平面法
例题
cj→ CB XB B－1b
1 2
整数规划
3 2
2
5
4
3
x
1
x
x
x
4
1 1
x x
3/4 7/4
1 0
0 1
-1/4 3/4
例如在指派问题中，将n项任务指派n个人去完成，不同 的指派方案共有n!种，当n=10时，可能的指派方案数超过300 万；当n=20，超过2×1018。显然，穷举法是不可取的。
2012年12月22日
湖州师范学院商学院
9
第七讲
二、分枝定界解法
整数规划
分枝定界法核心思想
考虑最大化整数线性规划问题A，与它相应的线性 规划记为问题B。我们从解问题B开始，若其最优解不 符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优 目标函数值z*的上界，记作 z ；而A的任意可行解的目 标函数值将是z*的一个下界 z 。分支定界法就是将B的 可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小 z 和增 大 z ，最终求到z*。
2012年12月22日
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《整数线性规划》PPT课件_OK
br br fr br br
整数可行解
xr arj x j br jN
最优基可行解
xr arj x j br jN
xr arj x j br 56 jN
minc x Ax b
s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr
xij 1,0;i 1,2...1, 7, j 1,2,3 21
• 约束
包裹容量限制
必带物品限制 选带物品限制
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...1, 7
j 1
22
• 目标函数—未带物品购买费用最小
3
1 xij ;i 8,2...1, 7 j 1
v1, v2 ,...,vn cij
vi vj
12
模型
• 变量—是否从i第个城市到第j个城市
x 1,0; • 约束 每个城市只能到达一次、离开一ij次
n
xij 1;i 1,2,...n
j0
n
xij 1; j 1,2,...n
13
i0
• 避免出现断裂 每个点给个位势 除了初始点外要求前点比后点大
支其中无最优解
41
初始分支为可行解 集，初始界为无穷大
判 定是否 分支集
空
是停止 当前最好解 为最优解
选一分支写出并求解 放松问题，同时从分 支集中删除该分支
否
判
是
定是否
为整数
42
解
判定最
优值是否
小于
否
当前界
是
运筹学整数规划
a13 机床3
a14 机床4
a24 机床4
a33 机床3
解：设xij表示产品i在机床j上开始加工的时间(i=1,2,3; j=1,2,3,4) 下面将逐步列出问题的整数规划模型 1、同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 对于同一件产品，在下一台机床上加工的开始时间不得早于在上一 台机床上加工的约束时间，故应有：
气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性 系数和重量如下：假定登山队员可携带最大重量为25公斤。
序号 物品 重量 重要 系数
1 食品 5 20
2 氧气 5 15
3 冰镐 2 18Fra bibliotek4 绳索 6 14
5 帐篷 12 8
6 相机 2 4
7 设备 4 10
解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i， xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表 示成0-1规划: Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4 +8x5 +4x6 +10x7
2
（二）、整数规划的数学模型
一般形式
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1
n
n aij x j bi (i 1.2 m) j 1 x 0 (j 1.2 n) 且部分或全部为整数 j
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这 时引进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外， 系数aij和常数bi也要求取整数（这时引进的松弛变量和 剩余变量也必须是 整数）。 混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非 负整数，另一部分可以取非负实数。
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
清华大学_运筹学_教案
一、课程概述课程名称：运筹学授课对象：清华大学经管学院管理科学与工程专业研究生授课时长：共16周，每周2学时教学目标：1. 理解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 掌握线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学的基本模型和求解方法。
3. 培养学生运用运筹学解决实际问题的能力。
4. 提高学生的逻辑思维、分析问题和创新能力。
二、教学内容与安排第1-2周：运筹学的基本概念与数学基础1. 运筹学的基本概念、发展历程及应用领域。
2. 数学基础：线性代数、概率论与数理统计。
第3-4周：线性规划1. 线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 线性规划的求解方法：单纯形法、对偶理论。
3. 线性规划的应用实例。
第5-6周：整数规划1. 整数规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 整数规划的求解方法：分支定界法、割平面法。
3. 整数规划的应用实例。
第7-8周：非线性规划1. 非线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 非线性规划的求解方法：梯度法、牛顿法、共轭梯度法。
3. 非线性规划的应用实例。
第9-10周：网络优化1. 网络优化的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 网络优化的求解方法：最短路径法、最小生成树法、最大流问题。
3. 网络优化的应用实例。
第11-12周：动态规划1. 动态规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 动态规划的求解方法：动态规划表、状态转移方程。
3. 动态规划的应用实例。
第13-14周：排队论1. 排队论的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 排队论的求解方法：泊松过程、排队系统分析。
3. 排队论的应用实例。
第15-16周：案例分析1. 结合实际案例，分析运筹学在各个领域的应用。
2. 学生分组讨论，撰写案例分析报告。
三、教学方法与手段1. 讲授法：系统讲解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过实际案例，让学生理解运筹学的应用。
3. 讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力。
管理运筹学讲义：整数规划
福建师范大学经济学院
第一节
• 步骤：
整数规划问题
二、 整数规划的图解法
在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值， 求出这些变量所有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的 解就是整数规划的最优解。 x2
• 实用性：
只有两个决策变量， 可行的整数解较少。
x2
5
4
3 2 1
•
• • •
1
• • •
2
x2=3
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35 2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
10
福建师范大学经济学院
第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
11
福建师范大学经济学院
第二节
问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
分枝定界法
问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
第6章
整数规划
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多
实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人 数等，分数或小数解显然是不合理的。
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Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（4）
2 ．整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获 得。 [例2-3] 物品装载问题：有若干类物品需一次性装运，每 件物品的价值及重量分别，为vj和wj (j=1, …,n)，车辆最 大载重量为 ，试求，每件物品应装多少件才能使总价 值最大。 [解] 令xj表示第j类物品的装载件数，则可列写整数规划 如下： w x w x
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Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（7）
四、求解方法分类： 1． 割平面法——主要求解纯整数线性规划 2． 分枝定界法——可求纯或混合整数线性规划
①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性 规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。
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Prof. Wangnagement
Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（3）
[例2-1] 原线性规划为： 2x1+4x2=5，X≥0，CTX=x1+x2=min 其最优实数解为：x1=0，x2=5/4，min CTX =5/4。
Operations Research
第十四、十五讲
第七讲 整数规划 （一）
§1 概述 §2 割平面法 §3 分枝定界法
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Operations Research
第十四、十五讲
目标函数 min z =x1+4x2 x1+2x2≥6 x1，x2≥0且为整数
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约束条件 2x1+x2≤8
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3． 隐枚举法——求解“01”整数规划：
① 过滤隐枚举法； ② 分枝隐枚举法 4 ． 匈牙利法 —— 解决指派问题（“ 01” 规划特殊情 形）。 5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划。
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Operations Research
第十四、十五讲
§3 分枝定界法 （1）
分枝定界法目前已成功地应用于求解整数规划问题、生 产进度表问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包 问题及分配问题等。因此，分枝定界算法是求解整数规 划的最有用的算法之一。现结合例题说是该算法的思路。 [例2-5]求解下述整数规划
v1 x1 vn xn max
xj≥0且取整
1 1
n n
(2)
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Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（5）
若不限制为整数，其最优解的基础分量xm为：
xm / wm，其中，vm / wm max v j / w j
当j≠m，则xj=0
当限制为整数时，就需仔细计算（其方法将在后面阐 述）。
例如，将例[2-3]具体化为：
51x1+50x2+50x3≤100
150x1+100x2+99x3=max
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Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（2）
三、整数规划特点 整数规划标准形式（实际为整数线性规划） AX=b，X≥0，CTX=min，xj为整数（j=1，…，n） (1) 1．原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后， 其整数 规划解出现下述情况；
Operations Research
第十四、十五讲
§2 割平面法
该法适于求解纯整数规划问题。其基本思路是首先去掉 整数约束去求解普通线性规划问题，若获得的最优解全 为整数，结束；否则，以此最优非整数变量为基准，在 原约束条件下，增加割约束，再继续求解，这样反复下 去，直到结束为止。
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§1 概述（1）
一、定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规 划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数 线性规划。 二、整数规划分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规 划模型大致可分为两类： Ÿ变量全限制为整数的，称纯（完全）整数规划。 Ÿ变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
x j≥ 0
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Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（6）
若不限制整数，得出m=1，比率为150/51→max，故最优 实数解为：x1=100/51，x2=x3=0，总价值15000/51=294.12。 然而，物品不能切开，故限制为整数时，其最优解为： x1=0，x2=2，x3=0；总价值为200。 从该例得出结论，整数规划最优解不能简单的从最优 实实数解中4舍5入取整所得。因此，对于整数规划的求 解必须开拓新技术。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 [例2-2] 原线性规划为： 2x1+4x2=6，X≥0，CTX=x1+x2=min 其最优实数解为：x1=0，x2=3/2，min CTX =3/2。 若限制整数则得：x1=1，x2=1，min CTX =2。
page 4 18 November 2018