运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章
第2节 改进单纯形法
由此得到新的基
B2 P 1 ,P 4 ,P 2 1 P 4 1 0
主元素
1 B2 E2 B11
0 1 1 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 / 2 1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 0 1 0 1 / 2 2 1/ 4
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19
第2节 改进单纯形法
而后以第2列的
(1) a22
为主元素，进行变换
(1) 12 (1) 22
a / a (1) 1 / a22 (1) P2 2 (2) (1) (1) am 2 / a22
20
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第2节 改进单纯形法
二 线性规划与目标规划
第 1 章
第2章
第3章 第4章
线性规划与单纯形法 对偶理论与灵敏度分析 运输问题 目标规划
1
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第3章 对偶理论和灵敏度分析
第1节
单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
12
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第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵
XN B 1N1
1
Xs B 1
1
RHS B 1b CB B b
13
检验数
B B 1 0
1
C N1 C B B N 1 C B B
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章 线性规划与单纯形法——第3章 运输问题)【圣才出品】
②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2xx11
x3 8 6x3
3x2 3 2x2
4
x4 7 x4
令非基变量
x2
x4
0 ，解得
x1
45 13 , x3
14 13
，故
X (2)
45 13
,
0,
14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、x2 3 2x2
x3 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 5 , x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 5
, 0, 0,
7
T
5
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
x1
x2
2x1
3x3 3x2
x4 x3
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
令非基变量
x1
x3
0 ，解得
X
(5)
0,
68 , 0, 29
15《运筹学》(第四版)连续动态规划介绍
水电与数字化工程学院
莫 莉
前节回顾
基本概念
• 状态(每阶段初始的出发点)
• 最短路问题中，各个节点就是状态 • 生产库存问题中，库存量是状态 • 物资分配问题中，剩余的物资量是状态
• 控制变量(决策变量)
• 最短路问题中，走哪条路 • 生产库存问题中，各阶段的产品生产量 • 物资分配问题中，分配给每个地区的物资量
u3U 3 ( x3 )
v3 ( x3 , u3 )
u3
f 4 ( x4 )
因有 U 3 ( x3 ) 2,3,4，又 4 x3 8，故可得到下表的计算结果。
U k ( xk ) {uk 2 uk 4}, (k 1,2,3,4) 状态转移方程：xk＋1＝ xk－uk
若用 vk ( xk , uk ) 表示 k 阶段派出的巡逻队数为u k 时，该阶段的部位的预 期损失值，
水电与数字化工程学院 莫 莉
2.1 引例
设用 f k ( xk ) 表示 k阶段状态为 x k，以此出发采用最优子策略到过
莫 莉
P44-1.1(1),1.3,1.4 P45-1.6(1)(2)
P74-2.3(1)(2),2.7 P75-2.8 P187-7.3,7.4,7.5 P187-7.7,7.13 P188-7.13(3),7.17 P189-7.21,7.23 P211-8.2,8.3
第3次作业 第4次作业
水电与数字化工程学院
的警卫巡逻。对每个部位可分别派出2～4支巡逻队，并且派出
巡逻队数的不同，各部位预期在一段时期内可能造成的损失有
差别，具体数字见下表。问该警卫部门应往各部位分别派多少
巡逻队，使总的预期损失为最小。
部位 预期损失 巡逻队数 2 3 4 A 18 14 10 B 38 35 31 C 24 22 21 D 34 31 25
管理运筹学(第四版)第三章习题答案
3.1（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω3.4解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321 =≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω3.5解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。
由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1-='，5,,1,,1 ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。
设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21b b b ，5,,1,21 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-0211121031610212322211312111a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB3.6解：（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
等所示。
23
2.2 最优解的判别
从每一空格出发一定存在和可以找到唯一的闭回路。因(m+n-1)个数字 格(基变量)对应的系数向量是一个基。任一空格(非基变量)对应的系数 向量是这个基的线性组合。如Pij, i,j∈N可表示为 Pij ei em j ei emk emk el el ems ems eu eu em j (ei emk ) (el emk ) (el ems ) (eu ems ) (eu em j ) Pik Plk Pls Pus Puj
mn
mபைடு நூலகம்n z
cij xij
i1 j1
m
xij bj j 1, 2,, n
i=1 n
s.t. xij ai i 1, 2,, m
j1
xij
0
(3 1) (3 2)
4
第1节 运输问题的数学模型
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n) 个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
在给出调运方案的计算表上，如表3-
销 地 B1 B2 B3 B4 产
13，从每一空格出发找一条闭回路。 加工厂
量
它是以某空格为起点。用水平或垂直
A1
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)
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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
5 / 36
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然 气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]
第3章 运输问题
例.当m=4,n=5时， x25,x22 x32,x34 x14,x15 为 一闭回路，见下图：
Bj
Ai
B1 B2 B3 B4 B5
A1 A2 A3 A4
․
․ ․
․ ․
․
8
２、表上作业算法的理论依据
定理：（1）运输问题中的m+n个约束方程中只有 m+n-1个是相互独立的，而且其中任意m+n-1个方程都 是相互独立的；
1 2 n
销地 运费 产地 1 2 m
c 11 c 12 c 21 c 22 cm1 cm2
c 1n c 2n cmn
10
3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法 – 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配
– xij 的分配公式
( ai i 行已分配的总量 ) i 行尚余物资量 xij min (b j j 列已分配的总量 ) j 列待分物资量
• 从 zij cij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入 变量。
20
运费表{c ij }
分配表{x ij }
20 5 18
11 9 7
3 10 4
6 2 1
5 3
3
3
3
4 3 12
12 12
5 10 15
检验数按ij=cij+vj计算，这里的cij为基格处的 位势按cij = ui -(ui+vj)计算，在下表中用括号标出。 这里的cij为非基格(空格)处的单位运费 单位运费，即表中的红色数字。可先取u1 =0。
(2)运输问题中个m+n-1变量能构成一组基变量的充 要条件是：不存在一条全以此组内变量为顶点的闭回路； (3)设Δ是运输问题的一组基变量，变量xij不在Δ 内，则必存在一条唯一的全以Δ∪{xij}中变量为顶点的闭 回路；
管理运筹学(第四版)第三章习题答案参考word
目标函数值为2×30＋5×10＋1×10＋5×10＋3×25＋7×5＋6×20＋10×40＝800目标函数值为2×30＋5×10＋1×10＋5×10＋3×25＋7×5＋6×20＋10×40＝800（2）最小元素法：先从311=c 开始分配先从325=c 开始分配，需迭代4次，具体见QM 的迭代 逼近法（结果同最小元素法——先从313=c 开始分配）vj2 2 0 u i1 2 3 产量 0 1 2 10 7 2 8 × 7 × 2 1 2 3 2 1 0 × 2 2 4 1 3 11 3 8 8 × 3 7 × 3 2 4 4 9 2 1 5 × 5 6 -2 5 0 0 0 4 0 × 2 × 4销量757目标函数值为33。
4.5第一种解法（求最大）A B C 产量 甲 18 16 21 180 乙 16 18 22 250 丙 19 14 19 320 销量 250300200用QM 解得玩 具利 润工人第二种解法（求最小）A B C产量甲526449180乙546248250丙516651320销量250300200用QM解得即甲工人做C玩具180个，乙工人做B玩具250个，丙工人做A玩具250个，做B玩具50个，做C玩具20个。
最大利润为：70×250＋80×300＋70×200－41390＝14110元甲乙丙产量A151822400B212516450最低需求290250270最高需求320250350甲1甲2乙丙1丙2产量A1515182222400B2121251616450C M0M M070需求2903025027080用QM解得玩具费用工人地区运费厂家地区运费厂家即A厂供给甲地区化肥150万吨，供给乙地区化肥250万吨；B厂供给甲地区化肥140万吨，供给丙地区化肥310万吨，总运费为14650万元。
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第1节 单纯形法的矩阵描述
（2）θ 规则表示为： RHS值 表示选用>0的分量
1 ( B 1b )i ( B b )i 1 m in 1 ( B Pj )i 0 1 ( B Pj )i ( B Pj )i
换入变量的系数向量
11
换入变量
29
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第2节 改进单纯形法
确定换出变量
B11b i 1 min 1 B 1 P 1 i 0 B1 P 1 i 2 16 min , , 2 对应x3 1 4
30
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16
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第2节 改进单纯形法
以a11为主元素, 进行变换
a11 a12 P 1 a 1m
主元素
1 / a11 a / a 1 21 11 ( 1 ) am1 / a11
25
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第2节 改进单纯形法
（4）基变换计算 将新的基 P3 , P4 , P2 单位矩阵。计算：
1 / 2 2 1 / 2 1 P2 0 1 0 ；构造E1 1 0 4 1/ 4 1 / 4 主元素
1 / 2 1 1 / 2 1 1 1 1 B1 E1B0 1 0 1 1 0 1 / 4 1 1 / 4
26
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第2节 改进单纯形法
（5）计算非基变量的系数矩阵
相应地可将目标函数系数 C分为两部分： CB和CN，分别 对应于基变量XB和非基变量XN，并且记作 C=（CB, CN）
5
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第1节 单纯形法的矩阵描述
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量 X B1 可包含原基变量和松弛 XB 变量 XS 1 X N1 ; 非基变量： XN XS 2
相应有
N1 B 系数矩阵A ; 其中 N N S ; 2 X S1 基变量 松弛变量：X S X S 非基变量 2
6
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第1节 单纯形法的矩阵描述
线性规划问题可表示为：
目标函数 max z CB X B CN X N C B X B C N 1 X N1 C S 2 X S 2 b 非负条件 X B , X N 0 ( 2 1) (22) (3 2) 约束条件 BX B NX N BX B N1 X N1 S2 X S2
27
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第2节 改进单纯形法
第1步计算结束后的结果
基 B1 P3 , P4 , P2 ; 基变量 X B1 x3 , x4 , x2 ;
T
非基变量 X N1 x1 , x5 ;
T
价值系数 C C B1 ,C N1 ( 0 ,0 ,3 ),( 2 ,0 )
17
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第2节 改进单纯形法
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
0 0 1 / a11 a21 / a11 1 E1 a / a 1 m1 11
18
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第2节 改进单纯形法
可得到
a21 a21 a11 a11
28
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第2节 改进单纯形法
计算非基变量的检验数，确定换入变量
N CN CB B11N1 ( 注意：N1 P 1 ,P 5 )
1 1 1
1 0 1 / 2 1 0 2 , 0 ( 0,0,3 ) 0 1 0 4 0 0 0 1 / 4 0 1 2 , 3 / 4 对应 x1 , x5
二 线性规划与目标规划
第 1 章
第2章
第3章 第4章
线性规划与单纯形法 对偶理论与灵敏度分析 运输问题 目标规划
1
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第3章 对偶理论和灵敏度分析
第1节
单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
换入变量
24
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第2节 改进单纯形法
(3) 确定换出变量
表示选择>0的元素
B01b i 1 min 1 B0 P2 i 0 B0 P2 i 8 12 min , , 3 对应x5 4 2
21
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第2节 改进单纯形法
重复以上的步骤，直到获得
1 1 1 Em E2 E1 A A 1
可见En…E2E1=A-1。用这方法可以求得单纯形法的基矩阵B的 逆矩阵B-1
22
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第2节 改进单纯形法
以例1为例进行计算。
第2节 改进单纯形法
由此得到新的基
B2 P 1 ,P 4 ,P 2 1 P 4 1 0
主元素
1 B2 E2 B11
0 1 1 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 / 2 1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 0 1 0 1 / 2 2 1/ 4
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第1节 单纯形法的矩阵描述
将（2-2）式移项及整理后得到：
BX B b N1 X N1 S2 X S2 ; X B B 1b B 1 N1 X N1 B 1S2 X s2 ; 目标函数： z CB B 1b ( CN1 CB B 1 N1 ) X N1 ( CS2 CB B 1 I ) X S
Hale Waihona Puke 2清华大学出版社第1节 单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题可以用如下矩阵形式表示：
目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b 非负条件 X≥0
3
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第1节 单纯形法的矩阵描述
将该线性规划问题的约束条件加入松弛变量后，得到标 准型： max z=CX+0Xs AX+IXs=b X，X s≥0
14
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第2节 改进单纯形法
求解线性规划问题的关键是计算B-1 ，以下介绍一 种比较简便的计算B-1的方法。
15
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第2节 改进单纯形法
设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。
a11 a12 a1m a21 a22 a2 m A a m1 am 2 amm
（2）计算非基变量的检验数，确定换入变量。
N CN CB B01 N 0 ( 注意：N 0 P1 , P2 )
0 0 0
1 0 0 1 2 2 , 3 ( 0,0,0 ) 0 1 0 4 0 0 0 1 0 4 2 , 3 对应 x1 , x2
1 / 2 1 1 1 N1 4 B11 N1 1 0 4 1 1/ 4 1 1 1 / 2 4 0 1/ 4
（6）计算RHS
1 / 2 8 2 1 1 B1 b 1 0 16 16 1/ 4 12 3
8
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第1节 单纯形法的矩阵描述
令非基变量=0，由上式得到：
1 B b (1) 基可行解 X 0 ; 目标函数的值 z C B B 1b
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第1节 单纯形法的矩阵描述
（1）非基变量的系数表示为：
( CN1 CB B 1 N1 ) 对应已用的检验数符号 c j z j ( j 1,2 , ,n ) 检验数也可表示为： C - CB B 1 A与 - CB B 1
然后构造含有（2）列，而其他列都是单位列的矩阵
(1) (1) 1 a12 / a22 0 (1) 1 / a22 0 0 E2 0 a( 1 ) / a( 1 ) 1 m2 22
可得到
(2) (2) 1 0 a13 a1 m (2) (2) 0 1 a23 a2 m E2 E1 A 0 0 a( 2 ) a( 2 ) m3 mm
(1) 12 (1) 22
a21 a22 a12 a11
(1) 1m (1) 2m
1 a a 1 a 0 a 0 E1P1 ; E1 A 0 0 a( 1 ) a( 1 ) m2 mm
m ax z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 x1 2 x2 x3 4 x1 4 x2 x4 8 16 x5 12
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第2节 改进单纯形法
第1步：确定初始基，初始基变量;确定换入，换出变量 （1）确定初始基和初始基变量：
1 x3 B0 P3 , P4 , P5 1 ; X B0 x4 x 1 5
12
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第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵
XN B 1N1
1