运筹学基础-整数规划(2)
运筹学课件第五章整数规划
第五章整数规划、学习目的与要求1、熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用;2、掌握求解0―― 1规划问题的隐枚举法；3、掌握求解指派问题的匈牙利法。
二、课时9学时第一节整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming):在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题(slack problem):不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式nmax(或min) z 八c j x jj a"nZ a ij X j <(或=,或X)b i (i =1,2,…,m)j =1s.t.」X j X0( j =1,2，…,n)X-X2,…,x n中部分或全部取整数I整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming):指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero—one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
二、整数规划的例子例1某服务部门各时段(每2h为一时段)需要服务员的人数见下表。
按规定，服务员连续工作8h (即四个时段为一班)。
现在求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少？解：设在第时段开始上班的服务员的人数为。
问题的数学模式略。
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
《运筹学》第6章 整数规划
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
第八章 运筹学课件整数规划
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
运筹学基础习题二答案
运筹学基础习题二答案运筹学基础习题二答案运筹学是一门研究如何做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学和计算机科学等领域的知识。
在运筹学的学习过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高分析和解决问题的能力。
下面是一些运筹学基础习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题是一种常见的运筹学问题，它的目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。
解决线性规划问题的方法有很多，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算，逐步接近最优解。
具体步骤如下：- 建立线性规划模型，并将其转化为标准形式。
- 初始化基变量和非基变量，并计算初始基可行解。
- 计算当前基可行解对应的目标函数值，并判断是否为最优解。
- 如果当前基可行解不是最优解，则选择一个非基变量作为入基变量，选择一个基变量作为出基变量，并进行迭代计算，直到找到最优解。
2. 整数规划问题是线性规划问题的扩展，它的变量值必须为整数。
解决整数规划问题的方法有很多，其中最常用的是分支定界法。
分支定界法的基本思想是通过将整数规划问题划分为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。
具体步骤如下：- 建立整数规划模型，并将其转化为线性规划模型。
- 初始化问题的上界和下界。
- 选择一个变量进行分支，并根据其取值范围划分为两个子问题。
- 对每个子问题进行求解，更新上界和下界。
- 如果上界等于下界，则找到最优解；否则，选择一个子问题进行分支，继续迭代计算，直到找到最优解。
3. 排队论是运筹学的一个重要分支，它研究的是排队系统中的客户到达、等待和服务的过程。
解决排队论问题的方法有很多，其中最常用的是马尔可夫链方法。
马尔可夫链方法的基本思想是通过构建状态转移矩阵，计算系统的稳态分布，从而得到系统的性能指标。
具体步骤如下：- 确定排队系统的基本参数，包括到达率、服务率和系统容量等。
- 根据排队系统的特点，建立马尔可夫链模型。
运筹学中的线性规划与整数规划
运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。
它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。
一、线性规划线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划模型一般可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。
图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到交点来确定最优解。
而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。
整数规划模型可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
运筹学的基础
运筹学的基础一、概述运筹学是一门应用数学学科，旨在解决实际问题中的优化、决策和规划等问题。
它涉及多个学科领域，如数学、统计学、计算机科学和工程等。
本文将从以下几个方面介绍运筹学的基础知识。
二、线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的方法之一。
它的主要思想是在给定约束条件下，寻找使目标函数最大或最小的变量值。
线性规划问题可以用下列标准形式表示：max c^Txs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c和x分别表示目标函数系数和变量向量，A和b分别表示约束条件系数矩阵和常向量。
三、整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求变量取整数值。
这种限制使得整数规划问题更难求解。
通常采用分支定界法或割平面法等算法来求解整数规划问题。
四、网络流问题网络流问题也是运筹学中重要的问题之一。
它涉及到图论中的最大流和最小割等概念，在实际应用中有着广泛的应用。
网络流问题可以用下列标准形式表示：max fs.t. 0 ≤ f ≤ c∑f(i,j) - ∑f(j,i) = 0 (i ≠ s,t)其中，f表示流量，c表示容量，s和t分别表示源点和汇点。
五、排队论排队论是运筹学中另一个重要的问题。
它研究的是在一定条件下，如何通过优化系统结构、调整服务策略等方式来提高服务效率和降低成本。
排队论采用概率模型来描述系统行为，并通过数学方法来优化系统性能。
六、决策分析决策分析是运筹学中最终的目标之一。
它涉及到多种方法和工具，如决策树、贝叶斯网络、模拟等。
决策分析旨在帮助决策者做出最优决策，并同时考虑风险和不确定性因素。
七、结语运筹学的基础知识包括线性规划、整数规划、网络流问题、排队论和决策分析等内容。
这些方法和工具在实际应用中有着广泛的应用，并且不断发展和完善。
掌握这些基础知识对于从事运筹学研究和应用的人员来说是非常重要的。
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【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
建立线性规划模型为： 建立线性规划模型为：
min z =
∑∑ C
j
x ij = 1, j = 1,2, L , n i 1，分配第i个人去完成第j项任务 令x ij = x ij = 1, i = 1,2, L , n 0，不分配第i个人去完成第j项任务 j x ij = 1或0
§4.2 0－1规划 － 规划
一、0-1规划的计算方法 规划的计算方法
此时决策变量只取 0 或 1 值。只取 0 或 1 值的变量称为 0-1变量，决策变量为 0-1 变量的线性规划称为 0-1 规划 规划。 0-1 规划的求解方法： 规划的求解方法： 1、穷举法 2、隐枚举法 3、利用EXCEL的“规划求解”功能
(1,0,0)
(1,1,0)
上述 P4和P5 在不考虑约束条件时的目标函数值（分别为 3 和 4） 劣于的目标函数值 2，因而 P4和P5 不需要再分支。 P8 即为最优解。 即最优解为：X＝（0，0，1）MinZ*=2
求解过程可用图表示如下：
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
4 15 13 9
本题要求，在效率表中找出位于不同行不同列的4个数字， 得到一分配方案，使得该方案的时间总和为最小。 一个比较有效的方法是“匈牙利法” “匈牙利法” 先介绍几个定理
基本原理：
定理1：如果从效率矩阵{aij}m×m中每行元素分别减去一 个常数 ui，从每列元素分别减去一个常数 vj ，所得新 的效率矩阵{bij}m×m的任务分配问题的最优解等价于原问 题的最优解。 证明：略 定理2：若方阵中一部分元素为零，一部分元素非零，则 覆盖方阵内所有零元素的最少直线数等于位于不同行、 不同列的零元素的最多个数。 证明：略
*
（0,0,0） （0,0,1） （0,1,0） （0,1,1） （1,0,0） （1,0,1） （1,1,0） （1,1,1） 0 5 -2 3 3 8 1 6
(1) (2) (3) (4) 0 -1 1 1 0 2 0 1 5 1 2 6
1 1
0 1
3 8
2、隐枚举法
对一个有n个决策变量的 0-1 规划模型，其所要考虑的情 况最多有2n 种。如果变量不多，可以用隐枚举法 隐枚举法来求解。 隐枚举法 基本思想： 基本思想： 隐枚举法的本质是穷举法，但是应用隐枚举法可以更快地 得到最优解。其实质是分枝定界法。 但一般用是分枝定界法求解整数规划时，替代问题是放宽 放宽 变量的整数约束。 变量的整数约束 但用隐枚举法时，替代问题是在保持变量 保持变量0-1的约束条件 保持变量 先不考虑问题的主要约束。 下先不考虑问题的主要约束 先不考虑问题的主要约束
1、用计算机模拟穷举法
maxZ= 3x1 －2x2 +5x3 0－1规划模型为： 规划模型为： x1 +2x2－x3 ≤2 x1 +4x2＋x3 ≤4 x1 + x2 ≤3 4x2+x3 ≤6 x1 , x2 , x3 =0或 1 （ （x1 , x2 , x3 ）=（0，0，0） 列表进行枚举： （ （x1 , x2 , x3 ）=（1，0，0） （ （x1 , x2 , x3 ）=（0，1，0） （x1 , x2 , x3 ）=（0，0，1） （ （ （x1 , x2 , x3 ）=（1，1，0） （x1 , x2 , x3 ）=（1，0，1） （ （ （x1 , x2 , x3 ）=（0，1，1） （x1 , x2 , x3 ）=（1，1，1） （
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
分配表
E 0 0 1 0 1 1 J 0 1 0 0 1 G 0 0 0 1 1 R 1 0 0 0
合计
1 1 1 1
即 x14=1,x22=1,x31=1,x43=1, 其余xij=0
此时得问题的最优解为： 此时得问题的最优解为：
minZ＝4+4+9+11＝28（小时）
x j 只取 0或1, j = 1,2, L , n
（3）先看所有变量都取 0 时是否满足所有约束条件，如果满 足，则已经得到最优解。 如不满足，把问题分支成两个子问题。分支的方法是： 固定变量，其余变量称为自由变量 自由变量。 指定一个变量，称为固定变量 固定变量 自由变量 在两个子问题中，一个子问题中的固定变量取 1，另一个子问 题中的固定变量取 0 。每个自由变量都取 0。检验由此得到的 这组变量值是否满足所有约束条件： 如满足，则得到一个可行解，并得到 0-1 规划最优值的一 个上界 上界。 上界 如果某些约束条件未满足，则按照与分支定界法类似的方 法再判断是否要继续分支及如何分支。如果需要继续分支，则 固定变量，向下把子问题分成自由变量更少 再指定一个变量为固定变量 固定变量 自由变量更少 的子问题；直到不需分支时，即求得了最优解。
P0不满足条件(2)、(3)
(0,0,0)
(1,0,0)
P2不满足条件 (3) 。进一步指定x2为固定变量，将P1分支为P3和P4, 将 P2分支为 P5和 P6,
(0,0,0)
(0,1,0)
(1,0,0)
(1,1,0)
P6为可行解，停止分支。 P3和P5 相当于P1和P2 ，不能满足所有的约束条件。 P4也不能满足 所有的约束条件。都需要再进行分支。 先将 P3 分支为P7和P8 。
我们用图来说明解题的过程：
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x － 5x2+3x3 ≤4 (1) 求解过程：下面各图中 求解过程：下面各图中 下面各图中红字为固定变量。 － 4x －1 x － 3x ≤－3 (2) 。 1 2 3 (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
隐枚举法的步骤是：
（1）化问题为0-1规划隐枚举法的标准形式：
MinZ = ∑ c j x j
i =1 n
s.t.∑ aij x j ≤ bi i = 1,2, L , m
j =1
n
这里要注意： 标准形式的目标函数中各系数cj必须是非负数(不是非负数， 令变量x’j=1-xj)； 所求的问题必须是求最小值的形式； 所有不等式约束都是≤形式。 （2）在标准形式下，各 0-1 变量必优先考虑取 0
列举法列表
maxZ= 3x1 －2x2 +5x3 x1 +2x2－x3 ≤2 （1） ） x1 +4x2＋x3 ≤4 （2） ） x1 + x2 ≤3 （3） ） 4x2+x3 ≤6 （4） ） x1 , x2 , x3 =0或 1
点
条件
满足条件 是（＋） z值 否（－） 0 0 0 1 ＋ ＋ － － ＋ ＋ － － 0 5
变换过程中的三种可能情况： 变换过程中的三种可能情况：
①恰好的零：重复效率矩阵的每行都有一个打（ ）的零元素， 恰好的零： 恰好的零 即打上（ ）号=m，且位于不同行不同列，只要令对应打（ ） 零元素的xij＝1，就找到了问题的最优解。（如前例） ②较多的零：打（ ）的零元素个数小于m，但未被划去的零元 较多的零： 较多的零 素之间存在闭合回路，此时沿着闭合回路的走向，对每个间隔的 零元素打上一（ ），使得打上（ ）号=m，然后对所有打 （ ）零元素所在列画一条直线。 ③较注的零：矩阵中所有零元素元素或被划去，或打上（ ） 较注的零： 较注的零 号，但打（ ）的零元素个数≤m；
【引例】背包问题 背包问题
一个旅行者的背包最多只能装 16 千克的物品。待装的有 5 件 物品，其重量和价值见下表：
物品编号 重量（千克） 重量（千克） 价值（ 价值（元） 1 3 12 2 4 12 3 3 9 4 4 16 5 6 30 合计 20
他应在背包中携带哪几样物品可使携带的价值最大？试将该 问题归结为数学问题。 解：以x1, x2 , x3, x4, x5表示旅行者携带的第 1、2、…、5 件物品的件数。 各xi只能取1或者0：xi =1表示携带该件物品，xi =0 表示不携带该件物品。 问题归结为: maxZ= 12x1+12x2 +9x3 +16x4 +30x5 3x1 +4x2+3x3 +4x4 +6x5 ≤16 x1 , x2 , x3 ,x4 ,x5 =0或 1