运筹学 五章(整数规划)
目标规划整数规划第三、四、五章
销地 产地 A1 A2 4
B1
B2
B3 2
B4
B5
产量
3
11 3 6 4 3
12 7 5
5
3 2 5 1 4
6
4 2 9 2 5
4
0 8 0 5 0 9
A3
销量
当产大于销时，即
a b
i 1 i j 1 m
m
n
j
加入假想销地（假想仓库），销量为
a b
i 1 i j 1
n
(二)对偶变量法（位势法） 1.基本原理
检验数的计算： 一般问题：σj = C j- CBB-1 Pj = Cj - Y Pj 运输问题： σij = C ij- CBB-1 Pij = Cij - Y Pij = Cij - (u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn) Pij = Cij - ( ui+ vj ) 当xij 为基变量时， σij = Cij - ( ui+ vj )=0 由此，任选一个对偶变量为0，可求出其余所有 的ui， vj 。 再根据σij = Cij - ( ui+ vj )求出所有非基变量的检验 数。
A 1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
16 10 2 3 9 10 8 2 8 14 5 11 8 6 22 8 14 12 14 48
10
4
6
11
z 0 8 2 14 5 10 4 2 3 6 11 8 6 246 优点：就近供应，即优先供应运价小的业务。
4. 计划利润不少于48元。
- , P d + , P d -} Min{ P1 d16 maxZ= x1 +8 2 2x2 3 3 5x1 + 10x2 60 • 原材料使用不得超过限额 x1 - 2x2 +d1- -d1+ =0 • 产品II产量要求必须考虑 - -d + =36 4x + 4 x +d 1 2 2 2 • 设备工时问题其次考虑
运筹学 第05章 整数规划与分配问题
1
整数规划问题的提出
0 xj 1 表示项目j不被选中 表示项目j被选中 ( j 1,2,3,4,5)
解：决策变量：设
目标函数：期望收益最大
max z 10 x1 8 x 2 7 x3 6 x 4 9 x5
约束条件：投资额限制条件 6x1+4x2+2x3+4x4+5x515 项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1 项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1 项目C的实施要以项目D的实施为前提条件： x3 x4 归纳起来，其数学模型为：
n
(i 1,2, , m) ( j 1,2, , n)
2
整数规划问题的分类
根据变量取整数的情况，将整数规划分为：
（1）纯整数规划，所有变量都取整数.
（2）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变量取实数 （3）0-1整数规划 ,所有变量均取0或1
2
整数规划问题的求解思考
1
整数规划问题与其松弛问题
2
匈牙利法
例：用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：
任务 A 2 10 9 7 B 15 4 14 8 C 13 14 16 11 D 4 15 13 9
人员
甲 乙 丙 丁
2
匈牙利法
2 10 9 7
15 4 14 8
13 14 16 11
4 15 13 9
例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和
分支定界法，对于0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
3
分派问题与匈牙利法
1
运筹学：整数规划习题与答案
一、单选题1、下列说法正确的是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值正确答案：A2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数B.没有要求C.决策变量至少有一个是整数D.决策变量必须都是整数正确答案：D3、下列（）可以求解指派问题。
A.梯度法B.牛顿法C.单纯形法D.匈牙利法4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。
A.隐枚举法B.0-1规划法C.分支定界法D.割平面法正确答案：D5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
A.都不对B. m*mC. mD.2m正确答案：B二、判断题1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
（）正确答案：×2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）正确答案：√3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
（）正确答案：×5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）正确答案：√。
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
运筹学 第五章整数规划
n xij ai s.t j 1
i 1,2, m
xij 0 yi 0,1
混合型整数规划
总结
整数规划的可行域包含在其对应的一般线性规划可
行域之内； 整数规划的最优解可能不是其对应的一般线性规划 的顶点； 整数规划的最优解不会优于其对应的线性规划的最
(0)
（4）修改上、下界：按照以下两点规则进行。 ①在各分枝问题中，找出目标函数值最小者作为新的下界； ②从已符合整数条件的分枝中，找出目标函数值最小者作为 新的上界。 （5）比较与剪枝 ： 各分枝的目标函数值中，若有大于 者，则剪掉此枝，表 明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续分枝。 如此反复进行，直到得到 即得最优解 X* 。 为止，
f
n
rj
x j fr
a rj
的小数部分
br 的小数部分
（3）将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单 纯形表中（同时增加一个单位列向量），用单纯形法求出新的 最优解，返回1。
m ax Z x 2
例：用割平面法求解整数规划问题
3 x1 2 x 2 6 3 x1 2 x 2 0 x , x 0且为整数 1 2
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
割平面法 割平面法的基本思想：
若整数规划IP的松弛规划L0的最优解不是整数解，对L0增 加一个约束条件，得线性规划 L1 ，此过程缩小了松弛规划的 可行解域，在切去松弛规划的最优解的同时，保留松弛规划 的任一整数解，因此整数规划IP的解均在L1中，若L1的最优解
运筹学第5章：整数规划
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)
第５章整数规划（割平面法）求解整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4 0，所以必有：1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x5，得：-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i≥0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
整数规划
若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。
使总的钻探费用为最小。
若10个井位的代号为S 1,S 2．…，S 10相应的钻探费用为C 1 ,C 2 ,… C 10，并且井位选择要满足下列限制条件： (1)在s 1，s 2，S 4中至多只能选择两个；（2）在S 5，s 6中至少选择一个；（3）在s 3，s 6，S 7，S 8中至少选择两个。
试建立这个问题的整数规划模型解：设x j （j=1,…,10）为钻井队在第i 个井位探油 minZ=j j j x c ∑=101背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。
每种物品的重量合重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。
序号 1 2 3 4 5 6 7物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备 重量/Kg 5 5 2 6 12 2 4 重要性系数 201518148410解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I⎩⎨⎧==≤++++++++++++=7,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或集合覆盖和布点问题某市消防队布点问题。
该市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min 内赶到现场。
据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表，请制定一个布点最少的计划。
解：引入0—1变量x i , x i =1表示在该区设消防站，,x i =0表示不设⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++≥++≥++≥+≥++≥++++++=01111111min 6526545434362121654321或i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z解得： X*=(0,1,0,1,0,0)’ Z*=2某公司现有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益如下表所示：该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下条件的约束：（1）在项目1、2和3中必须有一项被选中，（2）项目3和项目4只能选中一项，（3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。
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(2,2)
(11/4,9/4) (3,3/2) (19/6,1)
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5.3 0-1整数规划
背包问题
厂址选择问题
多决策问题
固定费用问题
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1.背包问题
一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种 物品数量无限。每种物品每件的重量、价格如下表： 物品1 物品2 重量（公斤/件） 10 41 物品3 20
B(5, 3)
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012345678
6
4 3 2 1
A(2.6, 3.8)
B(5, 3)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
线性规划的最优解A(x1, x2)=(2.6, 3.8)不是整数解，目标 函数值为z=17.8。整数规划的最优解B(x1, x2)=(5,3)目标函数值 为z=17。线性规划最优解A(2.6, 3.8)四舍五入得到的解为(3,4)， 不是可行解；舍去尾数取整的解为(2,3)，目标函数值z=14。 因此整数规划的最优解一般不能由线性规划的最优解通过 简单的取整得到。
设五种产品产量之间有以下逻辑关系：
五种产品中，安排生产的产品不能超过3种 每一种产品如果安排生产，最小批量为50件
如果产品1安排生产，产品2就不能生产
如果产品4生产，产品5必须生产，而且至少生产50件 设5个0－1变量y1，y2，y3，y4，y5
0 产品i不生产 yi （i 1,2,3,4,5） 1 产品 i 生产
例（接上）：
cj 1 1 0 0 0
4 4 4 x5 ( x 3 x4 2 x5 ) 5 5 5
XB
X1
b
5/3
x1
1
x2
0
x3
x4
x5
0
5/6 -1/6
1
0
X2 δj
θ
8/3
0
0
1
0
-2/3 1/3
0
1
cj CB XB 1 1 0 0 1 1 0 0 X1 b 1
1 x1 1 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0
则该约束方程等价于：
f ik xk
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f bi
11
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1.割平面法
例：
CB 0 0 1 0 1 1
Cj
XB x3 x4 δj x1 x4 δj x1 x2 δj 5/3 8/3 3 8 b 6 20
1
1
0
x3 1 0 0
0
x4 0 1 0 0 1 0 Θ 3 5
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3.多决策问题
一个工厂用3种设备生产5种产品，三种设备的能力（小 时），生产每种产品需要占有的各种设备的能力（小时 /件）以及5种产品的利润（元/件）如下：
产品
设备A 设备B
1
5.0 －
2
1.0 3.0
3
3.0 4.0
4
2.0 1.0
5
4.0 5.0
X2 16/5 0 x3 4/5 δj X1 X2 X3 x5 x6 -4/5 0
-4/5 0 -6/5 0 -1/5 0 0 0 5/4 -1
1 1 0
X1 x3 δj
0 -4/5 1
X2 16/5
0 -3/2 1 -5/4
由上面结果构造割平面束
x 3 x4
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6 4 x5 5 5
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3.整数线性规划（ILP）解的特点
ILP是其中LP的一个子问题，所有解也是
LP的可行解，所以如果LP的最优解满足ILP的
整数条件，则已得最优解。
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8
5.2 割平面法和分支定界法
割平面法（Gomory法）
δj
0
0
0
0
0 -1/4
X * (0,4,2,0,1,0)T Z* 4
13
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2. 分支定界法
原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
价值（元/件）
17
72
35
求背包中装入每种物品各多少件，使背包中物品总价值 最高。
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物品1 物品2 重量（公斤/件）
价值（元/件）
物品3 20
35
10
17
41
72
设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。 max z=17x1+72x2+35x3
在5个备选地点中选择3处建设生产同一产品的工厂，每 个地点建厂所需投资，占用农田，建成以后的生产能力 如下。总投资不超过800万元，占有农田不超过60亩。 如何选择厂址，使总生产能力最大。
1 2 3 4 建厂备选地点 所需投资（万元） 320 280 240 210 20 18 15 11 占有农田（亩） 55 42 28 生产能力（万吨） 70
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1.割平面法
割平面束构造：
设具有最大真分数部分的非整分量所在行为：
x i a ik x k bi
将该约束方程所在系数和常数分解为整数N和正
真分数f之和，即：
x i ( N ik f ik ) x k N bi f bi
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5
2.整数线性规划（ILP）实例
线性规划模型 max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196 -x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0
4 3 2 1
A(2.6, 3.8)
整数规划模型 max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196 -x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0 x1,x2 为整数
设5个0－1变量x1，x2，x3，x4，x5，
5 180 8 11
0 在i地不建厂 xi （i 1,2,3,4,5 ） 1 在i地建厂
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max z=70x1+55x2+42x3+28x4+11x5 s.t. 320x1+280x2+240x3+210x4+180x5≤800 20x1+ 18x2+ 15x3+ 11x4+ 8x5≤ 60 x1+ x 2+ x3 + x4+ x5 = 3 x1，x2，x3，x4，x5 为 0－1变量 这个0－1规划问题的最优解为： x1=1，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，max z=140 即在地点1、3和4建3个厂，总生产能力最大，可以达到 140万吨。
x1入 x3出
MaxZ x1 x 2 2 x1 x2 x 3 6 4 x1 5 x2 x4 20 x 0, j 1,,4, 且为整数 j
x1 x2 [2 ] 1 4 [1] 1 0 0 1 0 0 1 5
由右边结果构造割平面束
x1 5 1 5 x 3 x4 6 6 3
1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 x4 -1 1 1 0 -1 1 1 0
0 x5 1
0 x6 0
x5 -2/3
-5/6 -5/6
-1/6 -1/6
1/5 0 0 1 0 1/5 -1 1 1 0
x2 x3
0
1 4/5 1 0 0 0
0
0 1 0 0
0
1 -4/5 -6/5 -1/5
运筹学
——管理科学与工程系 经济与管理学院
第五章 整数规划
5.1 整数规划数学模型和解的特点 5.2 割平面法和分支定界法 5.3 0-1整数规划
5.4 隐枚举法
5.5 匈牙利法
浙江科技学院经济管理学院管工系
2016/11/11
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本章学习要求
熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用 掌握求解0-1规划问题的隐枚举法
2. Z用观察法找问题ILP的一个整数可行解，求得其目标函 数值，并记作 ，以Z*表示ILP的最优目标函数值，则
Z
Z Z * Z xj为非整数值bj，则可以构造两个 分支，如松弛问题有一个最优解 分支。 xj≤[bj] xj≥[bj]+1 定界，以每个后继问题为一分支表明求解的结果。
设备能 力 1800
2500
设备C
3.0
2.0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.0
3.0