运筹学-第四章 整数规划与分配问题
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运筹学——.整数规划与分配问题
2.4 匈牙利法实例(2)
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从各列中减去。
必定满足：bij = aij–ui–vj
0 11 2 0 0
8 0 3 11 0
7 5 0 11 10 4 2 5 0 9 5 0 5 0
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法
分配问题可以用单纯形法或运输表求解。 库恩(W.W.Kuhn)于1955年提出了指派问题的解 法，他引用了匈牙利数学家康尼格(D.Kö nig)一 个关于矩阵中零元素的定理：系数矩阵中独立0 元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直 线数。这个解法称为匈牙利法。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间 如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时 间最少? 人员
任务 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 甲 乙 丙 丁 7 8 11 9 2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。 问：应如何选址，可使年利润为最大？
第一步：找出每 行的最小元素， 每行对应减去这 个元素。
运筹学课件第4章_整数规划与分配问题
约束 : 少于10min到达各 消防站至少存在1个
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
管理运筹学课件
2013年3月5日星期二
4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
x1 1 x1 令 x2 1 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 min w x2 x3 3x1 5 x1 0 2 x2 x3 x1 0 4 x2 x3 x1 2 解得 x2 1 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 x1, x2 , x3 0或1
变量取整的 LP 整数规划
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
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在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
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4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
x1 1 x1 令 x2 1 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 min w x2 x3 3x1 5 x1 0 2 x2 x3 x1 0 4 x2 x3 x1 2 解得 x2 1 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 x1, x2 , x3 0或1
变量取整的 LP 整数规划
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
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运筹学——.整数规划与分配 问题
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
ห้องสมุดไป่ตู้35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
运筹学(第4章 整数规划与分配问题)(1)
运筹学基础及应用 ( Operations Research )
主讲：杨启明
第4章 整数规划与分配问题1Fra bibliotek2 3
整数规划的特点及应用
分配问题与匈牙利法
分枝定界法 割平面法 解0-1规划问题的隐枚举法
4
5
4.1.1 整数规划的模型分类 纯整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型 4.1.2 实例 投资决策问题 背包问题 4.1.3 解整数线性规划的困难性 4.1.4 逻辑变量在建模中的作用
令
x11 x23 x32 1其余的xij=0
问题： 如何产生并寻找这组位于不同行不同列的零元素？
匈牙利数学家克尼格(Konig)
基础： 两个基本定理 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势), 从每一列分 别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势), 得到一个 新的效率矩阵[bij], 若其中bij=aij-ui-vj , 则[bij]的最优解等价 于[aij]的最优解 作用：
用图解法求出最优解为： x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
xij 1(i 1,, m) 第i人完成
m
x1j
x2j
xi1 xi2 xij xi m-1 xim
主讲：杨启明
第4章 整数规划与分配问题1Fra bibliotek2 3
整数规划的特点及应用
分配问题与匈牙利法
分枝定界法 割平面法 解0-1规划问题的隐枚举法
4
5
4.1.1 整数规划的模型分类 纯整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型 4.1.2 实例 投资决策问题 背包问题 4.1.3 解整数线性规划的困难性 4.1.4 逻辑变量在建模中的作用
令
x11 x23 x32 1其余的xij=0
问题： 如何产生并寻找这组位于不同行不同列的零元素？
匈牙利数学家克尼格(Konig)
基础： 两个基本定理 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势), 从每一列分 别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势), 得到一个 新的效率矩阵[bij], 若其中bij=aij-ui-vj , 则[bij]的最优解等价 于[aij]的最优解 作用：
用图解法求出最优解为： x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
xij 1(i 1,, m) 第i人完成
m
x1j
x2j
xi1 xi2 xij xi m-1 xim
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
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L2的最优解为 （2.5,3），z=13.5
4
3 2 1
L2 （3.25,2.5）
L1 1 2 3 4 5 6 7
x1
• 第三步：剪枝 把那些子问题的最优值比较， 凡不优或不能更优的分枝全剪掉， 直到每个分枝都查清为止。
• 分支L2被减去，分枝L1继续分枝如下：
L11:Max z=3x1+2x2 s.t. 2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x2≤2 x1≤3 x1,x2≥0
s.t. 3x1+4x2 12
用图解法求出的替代问题的最优解（6/5， 21/10）Z=111/10为各分枝的上界。分枝： X1 1,x1 2
x2 4
3
2
P1
1 x1 0 1
P2 2
3
4
两个子问题：
（L1）Max
Z=4x1+3x2
4x1+2x2 9 x1 1 x1,x2 0
X2=2.1
Z=11.1
一般求解对应的松驰问题，可能会出 现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是整 数，则这个解也是原整数规划的最优 解，计算结束。 若原问题无可行解，则原整数规划 问题也无可行解，计算结束。
例4 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2 4x1+2x2 9 x1,x2 0 且为整数
再对（L1）分枝：X1 1
x2 4 3 2 P4
（L11） x2 2
（L12） x2 3
P1
1 P3 0 1
P2 2
x1
3 4
（L1）两个子问题：
（L11）Max
Z=4x1+3x2
4x1+2x2 9 x1 1 x2 2
s.t. 3x1+4x2 12
x1,x2 0且为整数
0
6
0
0 5
0
3 4
0
Ø
6
3 4
13
13 4
5
Ø
4
0
3
9
3 9
2
3
2
3
Z=9+4+11+4=28
例4: 4个工人分派做4项工作，规定每人只
能做1项工作，每项工作只能1个人做。现设每 个工人做每项工作所消耗的时间如表所示， 求总耗时最少的分派方案。
工作 工作时间/h 工人
1 15 19 26 19
甲 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 2 15 13 4
乙 10 4 14 15
丙 9 14 16 13
丁 7 8 11 9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经 变换，在各行各列中都出现0元素： 从系数矩阵的每行元素减去该行的 最小元素。 再从所得系数矩阵的每列元素减去 该列的最小元素。 若某行已经有0元素，就不必再减了。
反复进行上述两步，直到所有的0元素 都被圈出和划掉为止。
若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
Ø
9
1 10 2
3
Ø
3
6
2 4
6 4
Ø
9
0
2
3 0 2
6
3 0 5
10
0 4 0
1 10 2
√
√
0 10 1
3
Ø
3
6
√
2 3
6 3
Ø
10
Ø
0 10 1
4
2
5
2 3
6 3
Ø
10
Ø
√ √ √
0
0
4
10
Ø 10 1
0
12 1
1
0 0
1
0 3
0
6 0
4
2
5
√
√
Ø
1
Ø
4
1
10
Ø 12
0 1 X= 0 0 1 0 1 0 0 0 1
0 0 0
称为解矩阵其 各行各列元素 之和为1。
0 0
4.2.2 匈牙利法
匈牙利算法基本思想： 对同一工作i来说，所有人的效 率都提高或降低同一常数，不会影 响最优分配；同样，对同一人j来 说,做所有工作的效率都提高或降 低同一常数，也不会影响最优分配。
L12:Max z=3x1+2x2 s.t. 2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x2≤2 x1≥4 x2≥0
9
8 7 6 5
x2
L11的最优解为 （3,2），z=13
L12的最优解为 （4,1），z=14
4
3 2 1
L2
X1+0.5x2≤4.5
（3.25,2.5）
L11 1 2 3 4
分配问题性质：
分配问题的最优解有这样的性质， 若从系数矩阵C的一行（列）各元 素中分别减去该行（列）的最小元 素得到的新矩阵B，那么B为系数矩 阵求得的最优解和用原来的系数矩 阵C求得的最优解相同。
匈牙利算法：
若系数矩阵中的元素可分 为”0”与非“0”两部分，则覆 盖
“0”元素的最少直线数等于位 于不同行不同列的“0”元素的 最大个数。
用单纯形法可解得相应的（L11） 的最优解（1，2） Z=10
（L1）两个子问题：
（L12）Max
Z=4x1+3x2 4x1+2x2 9
s.t. 3x1+4x2 12 x1 1
x2 3
x1,x2 0 且为整数
用图解法可解得相应的（L12）的最优解 （0，3） Z=9
L0
X1=1.2
L12 5 6
2x1+3x2≤14
7
x1
故原问题的最优解为（4，1），z=14
L0
X1=3.25
X2=2.5
Z=14.75
X2≤2 L1 X2≥3 L2
X1=3.5
X2=2
X1=2.5
X2=3
Z=14.5
Z=13.5
x1≤3
L11
x1≥4
L12
X1=3
X2=2 Z=13
X1=4
X2=1 Z=14
分枝定界整个过程
4、整数规划与分配问题
4.1 整数规划的特点及作用
在线性规划问题中,它的解都假设为具有连 续型数值.但是在许多实际问题中,决策变量 仅仅在取整数值时才有意义,比如变量表示 的是工人的数量,机器的台数,货物的箱数等。 实际问题中经过“四舍五入”处理得到的 解可能不是原问题的可行解,有的虽是原问 题的可行解,但却不是整数最优解.因而有必 要研究整数规划问题的解法.
s.t. 3x1+4x2 12
用图解法可解得相应的（L1）的最优解 （1，9/4） Z=10(3/4)
（L2）Max
Z=4x1+3x2 4x1+2x2 9 x1 2 x1,x2 0
s.t. 3x1+4x2 12
用单纯形法可解得相应的（l2）的 最优解（2，1/2） Z=9(1/2)
重复上述两步，直到得不出新的打行列 为止。 对没有打行画横线，有打列画纵线， 就得到覆盖所有0元素的最少直线数。
8
2 5
5 4
Ø
√
11 2
Ø
3 11
4
5
√
√
第四步：在没有被直线覆盖的部分中 找出最小元素，然后在打行各元素都 减去这最小元素，而在打列中各元素 都加上这最小元素，以保证原来0元素 不变，这样得到新的系数矩阵（它的 最优解和原问题相同）。若得到n个独 立的0元素，则已经得到最优解。否则 回到第三步重复进行。
max z 20 x1 10 x2 5 x1 4 x2 24 2 x 5 x 13 1 2 s t x1 , x2 0 x1 , x2为整数
整数规划的一般模型
此模型与一般线性规划的模型很相似，区别在 于除变量的非负条件外，还加了整数解的要求。
例1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每 箱的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如 下： 体积( 米 )
3
重量(百斤) 利润(百元) 2 20
货物集装箱 甲 乙
托运限制
5
4
24
5
13
10
问两种货物各装运多少箱，可使获得利润最大？
设甲、乙两种货物装运箱数分别为x1 和x2。显然，都要求为整数,于是可建立 整数规划模型如下：
引入0-1变量xij=1分配第i人去完成第j 项任 务，xij=0不分配第i人去完成第j 项任务。
xij =1 (j=1,2……n)表示 第j 项任务只能由一人去完成。
x ij =1 (i=1,2……n) 第i人只能完成一项任务。
分配问题的数学模型： Min Z= cijxij xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n) xij = 0或1(i=1,2…..m; j=1,2……n) 满足约束条件的解称为可行解可写成 矩阵形式：
• 选取x2进行分枝，分成如下两个字问 题：
L1：Max z=3x1+2x2 L2：Max z=3x1+2x2
s.t.
2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x2≤2 x1,x2≥0
4
3 2 1
L2 （3.25,2.5）
L1 1 2 3 4 5 6 7
x1
• 第三步：剪枝 把那些子问题的最优值比较， 凡不优或不能更优的分枝全剪掉， 直到每个分枝都查清为止。
• 分支L2被减去，分枝L1继续分枝如下：
L11:Max z=3x1+2x2 s.t. 2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x2≤2 x1≤3 x1,x2≥0
s.t. 3x1+4x2 12
用图解法求出的替代问题的最优解（6/5， 21/10）Z=111/10为各分枝的上界。分枝： X1 1,x1 2
x2 4
3
2
P1
1 x1 0 1
P2 2
3
4
两个子问题：
（L1）Max
Z=4x1+3x2
4x1+2x2 9 x1 1 x1,x2 0
X2=2.1
Z=11.1
一般求解对应的松驰问题，可能会出 现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是整 数，则这个解也是原整数规划的最优 解，计算结束。 若原问题无可行解，则原整数规划 问题也无可行解，计算结束。
例4 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2 4x1+2x2 9 x1,x2 0 且为整数
再对（L1）分枝：X1 1
x2 4 3 2 P4
（L11） x2 2
（L12） x2 3
P1
1 P3 0 1
P2 2
x1
3 4
（L1）两个子问题：
（L11）Max
Z=4x1+3x2
4x1+2x2 9 x1 1 x2 2
s.t. 3x1+4x2 12
x1,x2 0且为整数
0
6
0
0 5
0
3 4
0
Ø
6
3 4
13
13 4
5
Ø
4
0
3
9
3 9
2
3
2
3
Z=9+4+11+4=28
例4: 4个工人分派做4项工作，规定每人只
能做1项工作，每项工作只能1个人做。现设每 个工人做每项工作所消耗的时间如表所示， 求总耗时最少的分派方案。
工作 工作时间/h 工人
1 15 19 26 19
甲 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 2 15 13 4
乙 10 4 14 15
丙 9 14 16 13
丁 7 8 11 9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经 变换，在各行各列中都出现0元素： 从系数矩阵的每行元素减去该行的 最小元素。 再从所得系数矩阵的每列元素减去 该列的最小元素。 若某行已经有0元素，就不必再减了。
反复进行上述两步，直到所有的0元素 都被圈出和划掉为止。
若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
Ø
9
1 10 2
3
Ø
3
6
2 4
6 4
Ø
9
0
2
3 0 2
6
3 0 5
10
0 4 0
1 10 2
√
√
0 10 1
3
Ø
3
6
√
2 3
6 3
Ø
10
Ø
0 10 1
4
2
5
2 3
6 3
Ø
10
Ø
√ √ √
0
0
4
10
Ø 10 1
0
12 1
1
0 0
1
0 3
0
6 0
4
2
5
√
√
Ø
1
Ø
4
1
10
Ø 12
0 1 X= 0 0 1 0 1 0 0 0 1
0 0 0
称为解矩阵其 各行各列元素 之和为1。
0 0
4.2.2 匈牙利法
匈牙利算法基本思想： 对同一工作i来说，所有人的效 率都提高或降低同一常数，不会影 响最优分配；同样，对同一人j来 说,做所有工作的效率都提高或降 低同一常数，也不会影响最优分配。
L12:Max z=3x1+2x2 s.t. 2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x2≤2 x1≥4 x2≥0
9
8 7 6 5
x2
L11的最优解为 （3,2），z=13
L12的最优解为 （4,1），z=14
4
3 2 1
L2
X1+0.5x2≤4.5
（3.25,2.5）
L11 1 2 3 4
分配问题性质：
分配问题的最优解有这样的性质， 若从系数矩阵C的一行（列）各元 素中分别减去该行（列）的最小元 素得到的新矩阵B，那么B为系数矩 阵求得的最优解和用原来的系数矩 阵C求得的最优解相同。
匈牙利算法：
若系数矩阵中的元素可分 为”0”与非“0”两部分，则覆 盖
“0”元素的最少直线数等于位 于不同行不同列的“0”元素的 最大个数。
用单纯形法可解得相应的（L11） 的最优解（1，2） Z=10
（L1）两个子问题：
（L12）Max
Z=4x1+3x2 4x1+2x2 9
s.t. 3x1+4x2 12 x1 1
x2 3
x1,x2 0 且为整数
用图解法可解得相应的（L12）的最优解 （0，3） Z=9
L0
X1=1.2
L12 5 6
2x1+3x2≤14
7
x1
故原问题的最优解为（4，1），z=14
L0
X1=3.25
X2=2.5
Z=14.75
X2≤2 L1 X2≥3 L2
X1=3.5
X2=2
X1=2.5
X2=3
Z=14.5
Z=13.5
x1≤3
L11
x1≥4
L12
X1=3
X2=2 Z=13
X1=4
X2=1 Z=14
分枝定界整个过程
4、整数规划与分配问题
4.1 整数规划的特点及作用
在线性规划问题中,它的解都假设为具有连 续型数值.但是在许多实际问题中,决策变量 仅仅在取整数值时才有意义,比如变量表示 的是工人的数量,机器的台数,货物的箱数等。 实际问题中经过“四舍五入”处理得到的 解可能不是原问题的可行解,有的虽是原问 题的可行解,但却不是整数最优解.因而有必 要研究整数规划问题的解法.
s.t. 3x1+4x2 12
用图解法可解得相应的（L1）的最优解 （1，9/4） Z=10(3/4)
（L2）Max
Z=4x1+3x2 4x1+2x2 9 x1 2 x1,x2 0
s.t. 3x1+4x2 12
用单纯形法可解得相应的（l2）的 最优解（2，1/2） Z=9(1/2)
重复上述两步，直到得不出新的打行列 为止。 对没有打行画横线，有打列画纵线， 就得到覆盖所有0元素的最少直线数。
8
2 5
5 4
Ø
√
11 2
Ø
3 11
4
5
√
√
第四步：在没有被直线覆盖的部分中 找出最小元素，然后在打行各元素都 减去这最小元素，而在打列中各元素 都加上这最小元素，以保证原来0元素 不变，这样得到新的系数矩阵（它的 最优解和原问题相同）。若得到n个独 立的0元素，则已经得到最优解。否则 回到第三步重复进行。
max z 20 x1 10 x2 5 x1 4 x2 24 2 x 5 x 13 1 2 s t x1 , x2 0 x1 , x2为整数
整数规划的一般模型
此模型与一般线性规划的模型很相似，区别在 于除变量的非负条件外，还加了整数解的要求。
例1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每 箱的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如 下： 体积( 米 )
3
重量(百斤) 利润(百元) 2 20
货物集装箱 甲 乙
托运限制
5
4
24
5
13
10
问两种货物各装运多少箱，可使获得利润最大？
设甲、乙两种货物装运箱数分别为x1 和x2。显然，都要求为整数,于是可建立 整数规划模型如下：
引入0-1变量xij=1分配第i人去完成第j 项任 务，xij=0不分配第i人去完成第j 项任务。
xij =1 (j=1,2……n)表示 第j 项任务只能由一人去完成。
x ij =1 (i=1,2……n) 第i人只能完成一项任务。
分配问题的数学模型： Min Z= cijxij xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n) xij = 0或1(i=1,2…..m; j=1,2……n) 满足约束条件的解称为可行解可写成 矩阵形式：
• 选取x2进行分枝，分成如下两个字问 题：
L1：Max z=3x1+2x2 L2：Max z=3x1+2x2
s.t.
2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x2≤2 x1,x2≥0