运筹学第四章 整数规划和分配问题(新)a
第4章 整数规划
第4章 整数规划判断:用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界；指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作用法求解；效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）任一常数，指派问题最优解不会受到影响； 匈牙利法只能用于平衡分配问题；对于极大化问题，匈牙利法不能直接求解。
整数规划问题解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数。
用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝。
分配问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题域运输问题的数学模型结构形式十分相似，故也可以用表上作业法求解。
隐枚举法也可以用来求解分配问题简答试述分枝定界法求解问题的主要思想。
试述隐枚举法的步骤。
试讲述割平面方法的基本原理. 试例举三种应该剪枝的情况。
计算题分枝定界法用分枝定界法求解下列整数规划问题12max Z x x =+1212129511414123,x x x x x x +≤-+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 32Z x x =+121212231429,x x x x x x +≤+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 2010Z x x =+1232312312324434323,,x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 79Z x x =+121212136735,x x x x x x x +≤+≤≥－0，且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题123max 33Z x x x =++123231231231324432323,,,x x x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0，且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题：1212121212232478188..3219,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题1212121212250..6221,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312121225231050..7228,0,MaxZ x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312341234345272222..0,1,2,3,4,5,j MaxZ x x x x x x x x x x x s t x j x x =-+-⎧-+-+=⎪⎪⎪-++=⎨⎪≥=⎪⎪⎩为整数用分枝定界法求解下列整数规划模型12max 23z x x =+121257354936x x x x +≤+≤12,0x x ≥且为整数有如下整数规划问题12max z x x =+12129511414123x x x x +≤-+≤12,0x x ≥且为整数试用分枝定界法求其最优解。
运筹学——.整数规划与分配问题45页PPT
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
运筹学——.整数规划与分配问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽则殆。——孔子
第四章 整数规划
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
管理运筹学 第4章 整数规划
2x1
3x2
4 x3
300(劳动力）
x1 2x2 3x3 10（ 0 机器设备）
xi
yi M
i
1, 2,3
yi为0-1变量
最优解：x1=100 x2=0 x3=0
管理运筹学–马越峰
三、分布系统设计
例3：某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力 为30千箱,为了扩大生产,打算在 A2、A3、A4，A5地中 再选择几个地方建厂。已知在 A2 、A3、A4，A5地建厂 的固定成本分别为175千元、300千元、375千元、500 千元，另外A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那 时销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运 费)如下表所示。 问：应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下， 使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小?
管理运筹学–马越峰
x2
8
4x1+3x2≤24
Z=5x1+6x2
5 E
B(2,4)
C(72/23,88/23)
3x1+8x2≤40
o
F 6
40/3
x1
管理运筹学–马越峰
整数规划解的特点
松弛问题：不考虑整数，由余下的目标函数和 约束条件构成的规划问题。
整数规划问题的可行解集合是它的松弛问题可行解集合的 一个子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束 条件，因而不一定仍为可行解。由于整数规划问题的可行 解一定也是它的松弛问题的可行解，所以前者最优解的目 标函数值不会优于后者最优解的目标函数值。
管理运筹学
第四章 整数规划
运筹学4整数规划
例4.4 对如下整数规划
max z x1 x2 x1 x2 1 s.t 3 x1 x2 4 x , x 0, x , x 为整数 1 2 1 2
17
步骤1：不考虑整数条件，引入松弛变量 x3 , x4，
化为标准形式，用单纯形法求解得到： 表4－2
xB
x1
b
3/4
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4
1/4
x2
7/4
0
0
1
0
3/4
-1/2
1/4
-1/2
最优解为： x1
3/ 4, x2 7 / 4
。
18
步骤2：
最优表中 x1 1/ 4x3 1/ 4x4 3/ 4 -1/4 -整数和非负真分数之和
x1 x3 3/ 4x3 1/ 4x4 3/ 4
5
解：设 x i (i 1, 2,,7) 表示是否在位置i 建立门市 部，有 ，当Ai点被选用 i 1, 2,, 7 1 xi 0，当Ai点没被选用
则可以建立如下的数学模型：
max z c i x i
i 1
7
目标函数表示寻求获利最大
x1 x 2 x 3 2 s.t x 4 x5 1 x6 x7 1 x i 0或1
问题（B1）和（B2）的可行域中包含了原整数 规划问题的所有整数可行解，而在 4 x1 5中不 可能存在整数可行解。
10
分别求解这两个线性规划问题，得到的解是：
x1 4, x2 2.1, z 349 和 x1 5, x2 1.57, z 341 变量 x2 仍不满足整数的条件，对问题（B1）， 必有 x2 3或x2 2，将（B1）增加约束条件，得到
运筹学PPT 第四章 线性整数规划
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
运动员 甲 乙
丙 丁
仰泳 75.5 65.8
67.6 74.0
蛙泳 86.8 66.2
84.3 69.4
蝶泳 66.6 57.0
77.8 60.8
自由泳 58.4 52.8
59.1 57.0
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
解：令 x i=
7
1， Ai被选中
i 1
0， Ai没被选中
bixi≤B ∑ i=1 x1+x2+x3≤2 s.t. x4+x5≥1 x6+x7≥1 x =0或 1，i=1, … ,7
i
7
课堂练习1:
某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻 井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且 井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 ;
解：令 x i=
运筹学 整数规划( Integer Programming )
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
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分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
第四章 整数规划
第四章整数规划第一节整数规划的数学模型及解的特点第二节解纯整数规划的割平面法第三节分支定界法第四节0-1型整数规划第五节指派问题整数规划的数学模型及解的特点一、整数规划数学模型的一般形式要求一部分或全部决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划( integer programming，简记IP )。
不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题(slack problem)。
若松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划问题为整数线性规划( integer liner programming )。
本章仅讨论整数线性规划。
∑==nj jj x c z 1min)max(或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=中部分或全部取整数j j n j i j ij x n j x m i b x a ),,1(0),,1(),(1 ∑==nj jj x c z 1min)max(或⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=),,1(0),,1(),(1n j x m i b x a j nj i j ij 松弛问题为1. 纯整数线性规划(pure integer liner programming )：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2. 混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3. 0-1型整数线性规划( zero-one integer liner programming)：指决策变量只能取值0 或1 的整数线性规划。
例：某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要服务员人数见表，按规定服务员连续工作8小时（即四个时段）为一班。
现在要求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少。
时段12345678服务员最少数目10891113853设在第j 时段开始上班的服务员人数为x j 。