运筹学课件 第四节 0—1型整数规划
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第四讲 0 1整数线性规划要点
? ??
x25 、? 项x1目3和4只能选中一项 x3i 、? 项0,1目5被i ?选1中,2,的? 前,5提是项目 1被选中;如何
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
整数规划建模举例
练习1 ：组合投资问题。
某财团有 B 万元的资金，经过其考察选中 n个投资
项目，其中第 j个项目需投资金额为 a j 万元，预
计获利 c j（ j ? 1,2..., n）万元，由于种种原因，
有两个附加条件：第一，项目 2和项目3至少选择一
个；第二项目 5，6，7恰好选择两个。问应如何选
例1：一个旅行者要到某地作两周的带包旅行 ,装背包时,他 发现除了已装的必需物件外,他还能再装5公斤重的东西.他 打算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公斤又 能使使用价值最大.这4种东西的重量和使用价值( 这里用打 分数的办法表示价值) 如下表所示,问旅行者应该选取哪些 物件为好？
解：建立模型为 max Z=6x 1 ? 7 x 2 ? 3 x3 ? 9 x4
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
投资额 （万元） 210 300 100 130
投资收益 （万元） 150 210 60 80
Z表示投资效益
5
260
180
max=150*x1+210*x2 +60*x3+80*x4+180* x5; 210*x1+300*x2+100 *x3+130*x4+260*x5 <=600; x1+x2+x3>=1; x3+x4=1; x5<=x1; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5);
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
一、 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
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解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
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x1
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§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
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例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
运筹学第四章 整数规划
ΣXij=1 j=1,…,n
Xij=0或1
任务 甲 乙 丙 丁
E
J G
R
2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13 7 8 11 9
指派问题解法—匈牙利法
第一步 造0—— min各行各列减其最小元素
2 15 13 4 2 0 13 11 2 0 13 7 0 10 4 14 15 4 6 0 10 11 6 0 6 9 B C 9 14 16 13 9 0 5 7 4 0 5 3 2 7 8 11 9 7 0 1 4 2 0 1 0 0 4 2 min 第二步 圈0——寻找不同行不同列的 0元素，圈
1、不考虑整数约束，解相应LP问题 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解， 完毕。否则，转下步 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的 约束条件：xi ≤[bi] ,xi ≥ [bi]+1,分别加入到上 一个LP问题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解 的Z值>所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否 则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3
5 5 20 15
2 18
6 14
12 8
2 4
4 10
背包问题的数学模型
解：设01变量表示携带物品i，表示不携 带物品i，则问题可写为
maxZ 20 x1 15 x2 18 x3 14 x4 8 x5 4 x6 10 x7 5 x1 5 x2 2 x3 6 x4 12 x5 2 x6 4 x7 ≤ 25 s.t. xi 取 0 或 1，i 1, 2, ,7
松弛问题 Z0=5.545 x1=1.477 x2=4.068 x1≤1 子问题 B1 Z0=5.533 x1=1 x2=4.333 x2≤4 子问题 B3 Z0=5 x1=1 x2=4 x1≥2 子问题 B2 Z0=4.5 x1=2 x2=2.5
运筹学：c15整数规划之01规划
4 重复进行，直到所有0元素都被做了标志
3 重复1、2步后，可能出现两种情况： m=n,得
到最优解
a. 每行都有一个 圈，显然已找到最优解，令对应圈位置的 xij=1； b. 所有零都已标记，但标有圈的零个数少于n；转第三步
第三步：划线过程：
m<n,增加零元素
1 对没有标记圈的行打
2 对打 行上所有含斜杠的零元素对应的列打 3 再对打 列上有圈标记的零元素对应的行打
2. 确定独立0元素的个数 m。如果m=n，则得到最 优解；否则进入第3步；
3. 作能覆盖所有0元素的最少直线； 4. 增加0元素； 5. 回到步骤2。
详细步骤：
第一步：变换效率矩阵，使每行每列至少有一个 零。
行变换：找出每行最小元素，从该行各元素中减去之；
列变换：找出每列最小元素，从该列各元素中减去之。
指派问题的一般形式
模型的一般形式 解的形式：
min z
cij xij
ij
0 1 0 0
0
0
1
0
xij 1, j 1,..., n
(
xij
)
1
0
0
0
i
xij 1,i 1,..., n
0 0 0 1
j
xij 0 or 1
怎样求解？
本节内容提要
0－1整数规划
➢ 引入0－1变量的实际问题
nn
MinZ
cij xij
n
i1 j 1
xij 1 j 1, 2, , n
i 1
n
xij 1
j 1
i 1, 2, , n
xij 0或1
nn
MinZ
bij xij
运筹学匈牙利法PPT课件
（1）人数与工作数不等的处理 当人数>工作数时：假想工作数，使得
与人数能够匹配, 对应的效率设定为0值。
当工作数>人数时：假想人数，使得与 工作数能够匹配, 对应的效率设定为0值。
人数和工作数不等的指派问题
4 8 7 15
12 9 2 14
6 9 12 8
11 7 17 6
6 9 12 10
运筹学匈牙利法
一、0－1 整数规划——枚举法
x1 . x2. x3
( 0. 0. 0 ) ( 0. 0. 1 ) ( 0. 1. 0 ) ( 1. 0. 0 ) ( 0. 1. 1 ) ( 1. 0. 1 ) ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1. 1 )
满足约束条件（是∨ 否×） Z 值
(1) (2) (3) (4)
思考：如果将目标 函数变为下式会改 进吗？
max Z 2x2 3x1 5x3
三、指派问题的匈牙利法
指派问题（The Assignment Problem）
1、指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及一系列完成 任务的被指派者（assignees），所需要解决的问题就是 要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务
译日文：
44
min f
cij xij译德文：
i 1 j 1
译俄文：
工作 人 甲 乙 丙 丁 甲：
乙：
译英文 2 10 9
7 丙：
译日文 15 4 译德文 13 14
14 8 丁：
16 11
x21+ x22 + x23 + x24 =1 x31+ x32 + x33 + x34 =1 x41+ x42 + x43 + x44 =1 x11+ x21 + x31 + x41 =1 x12+ x22 + x32 + x42 =1 x13+ x23 + x33 + x43 =1 x14+ x24 + x34 + x44 =1
01型整数规划模型
§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。
在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。
0—1型整数规划的的数学模型为：目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++=ΛΛ2211)( 约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ这里，0 | 1表示0或1。
2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量nx x x , , ,21ΛΛ的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。
这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也几乎是不可能的。
隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。
此时，就只能用穷举法了。
3. 应用实例例1 工程上马的决策问题1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
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2
分析：
如果生产第j种产品，xj>0. 约束条件xj<=Mjyj,yj=1; 如果不生产第j种产品， xj=0.约束条件 xj<=Mjyj,yj=1或0。当 yj=1不利于目标函数的最大 化，因此在最优解必然是 yj=0。
件， M 1 100 ,
50 , M
3
34
运 设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
产品3
a32
机床2
a33
机床3
运筹学教程
解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有
产品1:x11+a11≤x12 ; x13+a13≤x14
运筹学教程
4 求解： 7 C 6 6 6 0 0 0 0 0
当y1=1,y2=0;采用 新工艺,(2)式成立;
1 2
运筹学教程
p 个约束条件
a
j 1
p
ij
x j b i ( i 1, 2 ,..., p ) p 个 0 1变量
选择 q 个约束条件，引入
0 , 选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p ) yi 1, 不选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p )
约束条件组
n a ij x j b i My i j 1 st . ( i 1, 2 ,..., p ) p yi p q i 1
在约束条件中保证了在P个0-1 变量中有p-q个1,q个0;凡取值 =0的yi对应的约束条件为原约束 条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
运算36次
min Z 7 x 2 3 x1 x 4 x 3 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 1 x1 2 x 2 6 x 3 4 x 4 8 st . 5 x1 3 x 2 x 4 5 x , x , x , x 1or 0 1 2 3 4
运算30次
运筹学教程
练习：使用一等价的整数规划表述下面的问题
max z 3 x 7 y 2 x y 25 st . x 2y 6 y 0 , x 只能等于 0， 4， 1， 6
运筹学教程
max z 3 x 7 y 2 x y 25 st . x 2y 6 x 0 y1 1 y 2 4 y 3 6 y 4 y1 y 2 y 3 y 4 1 y 0 , y , y , y , y 1or 0 1 2 3 4
i 1
n
n
c ij x
j
j 1
n x ij 1 i 1 n st . x ij 1 ( i , j 1, 2 ,..., n ) j 1 x ij 1or 0
运筹学教程
例1：某商业公司计划开5家新商店，商业公司决定由5家建筑 公司分别承建。已知建筑公司Ai(i=1,2…5)对新商店Bj(j=1…5) 的建筑费用报价Cij.问题：商业公司对5家建筑公司如何分配任 务，才能使总的建筑费用最少？ Cij Ai Bj
有限要素 E 1, E 2 ,... E n , 每项 E j 有两种选择 1, E j 选择 A j xj 0 , E j 选择 A j
T (1,1,..., 1) T , 选择（ A1,... A n） T ( x1 ,... x n ) : T (1,1,..., 0 ) T , 选择（ A1,... A ） n
运筹学教程
例：固定费用问题 有三种产品被用于生产三种产品，资源量、产品单件费用、 资源消耗量以及生产产品的固定费用。要求制定一个生产计 划，总收益最大。
消耗 资源 产品
一、0—1规划数学模型
产品1
产品2
产品3
资源量
A
B C
2
2 1
4
3 2 5 150 10
8
4 3 6 200 12
500
300 100
运筹学教程
例 工件排序问题
使用4台机床加工3件产品.各个产品的机床加工顺序以及产品i在机床j 上的加工时间 aij见表.由于某种原因,产品2的加工总是件不得超过d.现 在要求各件产品在机床上的加工方案,使在最段时间内加工完全部产品.
产品1 a11 机床1 产品2 a21 机床1 a23 机床2 a13 机床3 a14 机床4 a24 机床4
运筹学教程
第四节
0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用 某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为0或1， 1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案 1, 当决策选取方案 x 0 , 当决策不选取方案 问题含有较多的要素， 每项要素有 2 种选择，用 Aj, A j 0 1变量描述。
运筹学教程
二、0-1型整数规划的解法
求解思路： 检测可行解的目标函数值，根据其目标函数值可以产生一个 过滤条件，对于目标函数数值比它差的变量组合删除，这样 有效减少运算次数，使最优解快速找到。
例：求解 0 1整数规划 max Z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 x1 2 x 2 x 3 x 4 x2 x3 1 st . x1 2 x 2 4 x2 x3 x1 , x 2 , 2 2 2 2 x 3 1or 0 (a ) (b ) (c ) (d )
（2）再从所得矩阵的每列中减去该列最小元素。
步骤2：在变换后的系数矩阵中确定独立零元素。以最少数目的 水平线和垂直线划去所有的零元素。如果所用的直线等于行或 列数，则结束指派。否则继续。 步骤3：找到没有被划去的最小的元素，所有没有被划中的元素 减去这一最小值。在被直线覆盖的元素中出现负元素，为消除 负元素，则要加上这一最小值。再返回到第二步。最后根据零 元素的位置，确定最优分配方案。
产品2:x21+a21≤x22 ; x23+a23≤x24 产品3:x32+a32≤x33 ; 2.每一台机床对不同产品的加工顺序约束 一台机床在工作中,如果已经开始加工还没有结束,则不能开始加工另一件产 品.对于机床1,先加工1不能加工2.
为了容纳两种相互排斥的约束条件,对于每台机床,分别引入0-1变量:
B1
B2
B3
B4
B5
A1
A2 A3 A4 A5
4
7 6 6 6
8
9 9 7 9
7
17 12 14 12
15
14 8 6 10
12
10 7 10 6
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解：标准指派问题。设
0 1变量
1, A i 承建 B j x ij ( i , j 1, 2 ,... 5 ) 0 , A i 不承建 B j min Z 4 x 11 8 x 12 7 x 13 ...... 6 x 55 n x ij 1 i 1 n st . x ij 1 ( i , j 1 ... 5 ) j 1 x ij 1or 0
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0 , 先加工某种产品 yj 1，先加工另外产品
（ j 1, 2 , 3 , 4）
机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1. 3.产品2的加工总时间约束
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解：求解过程可以列表表示：
(x1,x2,x3)
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值
0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件 a b c d
过滤条件
z ≥0 z ≥5
z ≥8
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在求解0-1整数规划问题，为了进一步减少运算量，常按照目标函数中 各个变量系数的大小顺序重新排列各个变量，以便于最优解有可能较早 出现。
对于最大化问题，可以按照从小到大的顺序排列；
对于最小化问题，可以按照从大到小的顺序排列；
min Z 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 1 x1 2 x 2 6 x 3 4 x 4 8 st . 5 x1 3 x 2 x 4 5 x , x , x , x 1or 0 1 2 3 4
产品2的开始加工时间x21,结束家工时间为x24+a24,所以
x24+a24-x21≤d 4.目标函数的建立 由于三件产品的加工时间分别为x14+a14,x24+a24,x33+a33,全部产品的实际 加工时间为:w=max(x14+a14,x24+a24,x33+a33) Minz=W st. W≥x14+a14, W≥ x24+a24, W≥ x33+a33
分析：
如果生产第j种产品，xj>0. 约束条件xj<=Mjyj,yj=1; 如果不生产第j种产品， xj=0.约束条件 xj<=Mjyj,yj=1或0。当 yj=1不利于目标函数的最大 化，因此在最优解必然是 yj=0。
件， M 1 100 ,
50 , M
3
34
运 设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
产品3
a32
机床2
a33
机床3
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解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有
产品1:x11+a11≤x12 ; x13+a13≤x14
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4 求解： 7 C 6 6 6 0 0 0 0 0
当y1=1,y2=0;采用 新工艺,(2)式成立;
1 2
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p 个约束条件
a
j 1
p
ij
x j b i ( i 1, 2 ,..., p ) p 个 0 1变量
选择 q 个约束条件，引入
0 , 选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p ) yi 1, 不选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p )
约束条件组
n a ij x j b i My i j 1 st . ( i 1, 2 ,..., p ) p yi p q i 1
在约束条件中保证了在P个0-1 变量中有p-q个1,q个0;凡取值 =0的yi对应的约束条件为原约束 条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
运算36次
min Z 7 x 2 3 x1 x 4 x 3 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 1 x1 2 x 2 6 x 3 4 x 4 8 st . 5 x1 3 x 2 x 4 5 x , x , x , x 1or 0 1 2 3 4
运算30次
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练习：使用一等价的整数规划表述下面的问题
max z 3 x 7 y 2 x y 25 st . x 2y 6 y 0 , x 只能等于 0， 4， 1， 6
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max z 3 x 7 y 2 x y 25 st . x 2y 6 x 0 y1 1 y 2 4 y 3 6 y 4 y1 y 2 y 3 y 4 1 y 0 , y , y , y , y 1or 0 1 2 3 4
i 1
n
n
c ij x
j
j 1
n x ij 1 i 1 n st . x ij 1 ( i , j 1, 2 ,..., n ) j 1 x ij 1or 0
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例1：某商业公司计划开5家新商店，商业公司决定由5家建筑 公司分别承建。已知建筑公司Ai(i=1,2…5)对新商店Bj(j=1…5) 的建筑费用报价Cij.问题：商业公司对5家建筑公司如何分配任 务，才能使总的建筑费用最少？ Cij Ai Bj
有限要素 E 1, E 2 ,... E n , 每项 E j 有两种选择 1, E j 选择 A j xj 0 , E j 选择 A j
T (1,1,..., 1) T , 选择（ A1,... A n） T ( x1 ,... x n ) : T (1,1,..., 0 ) T , 选择（ A1,... A ） n
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例：固定费用问题 有三种产品被用于生产三种产品，资源量、产品单件费用、 资源消耗量以及生产产品的固定费用。要求制定一个生产计 划，总收益最大。
消耗 资源 产品
一、0—1规划数学模型
产品1
产品2
产品3
资源量
A
B C
2
2 1
4
3 2 5 150 10
8
4 3 6 200 12
500
300 100
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例 工件排序问题
使用4台机床加工3件产品.各个产品的机床加工顺序以及产品i在机床j 上的加工时间 aij见表.由于某种原因,产品2的加工总是件不得超过d.现 在要求各件产品在机床上的加工方案,使在最段时间内加工完全部产品.
产品1 a11 机床1 产品2 a21 机床1 a23 机床2 a13 机床3 a14 机床4 a24 机床4
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第四节
0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用 某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为0或1， 1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案 1, 当决策选取方案 x 0 , 当决策不选取方案 问题含有较多的要素， 每项要素有 2 种选择，用 Aj, A j 0 1变量描述。
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二、0-1型整数规划的解法
求解思路： 检测可行解的目标函数值，根据其目标函数值可以产生一个 过滤条件，对于目标函数数值比它差的变量组合删除，这样 有效减少运算次数，使最优解快速找到。
例：求解 0 1整数规划 max Z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 x1 2 x 2 x 3 x 4 x2 x3 1 st . x1 2 x 2 4 x2 x3 x1 , x 2 , 2 2 2 2 x 3 1or 0 (a ) (b ) (c ) (d )
（2）再从所得矩阵的每列中减去该列最小元素。
步骤2：在变换后的系数矩阵中确定独立零元素。以最少数目的 水平线和垂直线划去所有的零元素。如果所用的直线等于行或 列数，则结束指派。否则继续。 步骤3：找到没有被划去的最小的元素，所有没有被划中的元素 减去这一最小值。在被直线覆盖的元素中出现负元素，为消除 负元素，则要加上这一最小值。再返回到第二步。最后根据零 元素的位置，确定最优分配方案。
产品2:x21+a21≤x22 ; x23+a23≤x24 产品3:x32+a32≤x33 ; 2.每一台机床对不同产品的加工顺序约束 一台机床在工作中,如果已经开始加工还没有结束,则不能开始加工另一件产 品.对于机床1,先加工1不能加工2.
为了容纳两种相互排斥的约束条件,对于每台机床,分别引入0-1变量:
B1
B2
B3
B4
B5
A1
A2 A3 A4 A5
4
7 6 6 6
8
9 9 7 9
7
17 12 14 12
15
14 8 6 10
12
10 7 10 6
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解：标准指派问题。设
0 1变量
1, A i 承建 B j x ij ( i , j 1, 2 ,... 5 ) 0 , A i 不承建 B j min Z 4 x 11 8 x 12 7 x 13 ...... 6 x 55 n x ij 1 i 1 n st . x ij 1 ( i , j 1 ... 5 ) j 1 x ij 1or 0
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0 , 先加工某种产品 yj 1，先加工另外产品
（ j 1, 2 , 3 , 4）
机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1. 3.产品2的加工总时间约束
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解：求解过程可以列表表示：
(x1,x2,x3)
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值
0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件 a b c d
过滤条件
z ≥0 z ≥5
z ≥8
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在求解0-1整数规划问题，为了进一步减少运算量，常按照目标函数中 各个变量系数的大小顺序重新排列各个变量，以便于最优解有可能较早 出现。
对于最大化问题，可以按照从小到大的顺序排列；
对于最小化问题，可以按照从大到小的顺序排列；
min Z 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 3 x1 7 x 2 x 3 x 4 1 x1 2 x 2 6 x 3 4 x 4 8 st . 5 x1 3 x 2 x 4 5 x , x , x , x 1or 0 1 2 3 4
产品2的开始加工时间x21,结束家工时间为x24+a24,所以
x24+a24-x21≤d 4.目标函数的建立 由于三件产品的加工时间分别为x14+a14,x24+a24,x33+a33,全部产品的实际 加工时间为:w=max(x14+a14,x24+a24,x33+a33) Minz=W st. W≥x14+a14, W≥ x24+a24, W≥ x33+a33