运筹学整数规划PPT课件
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运筹学课件第五章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数
max c x Ax b s .t . x 0
1、整数规划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)
运筹学课件 第六章-整数规划3
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
设变量xij为第i个物品是否放在第j个包裹中
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 保证需求约束
x11 + x21 + x31 = 450 x12 + x22 + x32 = 275 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 350
} 项目1 } 项目2 } 项目3 } 项目4
最大供应量 525 450 550
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150。 厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1。总产量=450 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单。
1 中锋 1.93 2 中锋 1.91 3 前锋 1.87 4 前锋 1.86 5 后卫 1.80 6 后卫 1.85
配送计划模型
• 某建筑公司为完成4个工程项目，需要从3个厂家购买水泥，有关成
本如下
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
水泥的吨运费
项目2 $115 $150 $95 275
xi
0, 不携带第i件物品 1, 携带第i件物品 (i
1,2,, m)
m
max z ci xi i 1
m
ai xi
a
st.
i 1 m
bi
运筹学课件第4章_整数规划与分配问题
约束 : 少于10min到达各 消防站至少存在1个
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
管理运筹学课件
2013年3月5日星期二
4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
x1 1 x1 令 x2 1 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 min w x2 x3 3x1 5 x1 0 2 x2 x3 x1 0 4 x2 x3 x1 2 解得 x2 1 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 x1, x2 , x3 0或1
变量取整的 LP 整数规划
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
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2013年3月5日星期二
4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
x1 1 x1 令 x2 1 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 min w x2 x3 3x1 5 x1 0 2 x2 x3 x1 0 4 x2 x3 x1 2 解得 x2 1 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 x1, x2 , x3 0或1
变量取整的 LP 整数规划
运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
一、 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
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解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
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§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
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13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
管理运筹学第四章整数规划与指派问题 ppt课件
资源
小号容器
金属板（张）
2
劳动力（个）
2
机时（小时）
1
中号容器 大号容器 资源拥有量
4
8
500
3
4
300
2
3
100
利润
4
5
6
11
解：设x1 , x2 , x3分别表示小、中、大号容器的生产数量， M为很大的正数，z表示总利润
引入逻 辑变量
yj 10,,
xj 0 xj 0
j1,2,3
m ax z 4 x1 5 x2 6 x3 100 y1 150 y2 200 y3
32
分枝的方法
max z CX
AX b
s.t.
X
0,
X为整数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0,
X为
整
数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0, X 为 整 数
33
定界的方法
当前得到的最好整数解的目标函数值 分枝后计算放松的线性规划的最优解
.t
.
X
0
如果最优解x
i中某个分量
x
0 i
非整
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ]
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ] 1
26
分枝定界法的两个要点：分枝和定界 ☺如何定界？ • 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； • 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原
运筹与决策PPT：整数规划
案例2： California制造公司问题－ Excel求解
多个决策变量
0-1变量
相依决策
互斥方案
案例2： California制造公司问题－ 灵敏度分析
Capital Spent 100 <=
Capital Available
100
Total Profit ($millions)
10
取整约束
G 12 SUMPRODUCT(UnitProduced,UnitProfit)
6.2 整数规划问题的分类
▪ 纯整数规划问题：
– 所有决策变量均为整数
▪ 混合整数规划问题（MIP）：
B
C
3 NPV ($millions)
LA
4
Warehouse
6
5
6
Factory
8
7
8 Capital Required
9
($millions)
LA
10
Warehouse
5
11
12
Factory
6
13
14
15
Build?
LA
16
Warehouse
0
17
<=
18
Factory
1
19
20
Total NPV ($millions)
原因分析
▪线性规划的可分性假设
–线性规划的决策变量必须允许在满足一定函数 约束与非负约束下取任意实数。
TBA公司的问题由于决策变量只能取整 数，故不满足可分性假设。
整数规划的Excel求解模型－ 案例1
B
3
4
Unit Profit ($millions)
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
-
25
-
26
-
27
-
28
-
29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
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2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
作图法求解例1
Z=90
+
Z=96
+++ +
(4.8,0)
整 数 规 划 解 的 特 点
定义：去掉整数条件得到的问题为整数规划问题的松弛问题。
整数规划的松弛问题是一个线性规划问题，其 可行域是一个凸集，任何两个可行解的凸组合 都是可行解；
第
四
• 整数规划
章
• 整数规划的分支定界法
整
• 0-1整数规划 隐枚举法
数
匈牙利算法
规
划
引例：
问 题 引 出
且为整数
当不要求解为整数时，对应的线性规划问题最优解为： X1=6.5, x2=2.4 整数解如何获得? 能否用将线性规划问题解中不满足整数的解取整的办法获得整 数解呢？
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积重 量可获得的利润及托运所受的限制如表1所示。问每次 两种货物各托运多少箱，可使得获得的利润最大？
其整数规划解出现下述情况；
①原线性规划最优解全是整数，则整数规
划
划最优解与线性规划最优解一致。
解
②原最优解变为非可行解。 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整
的
而获得。
特
点
整 数 规 划 求 解 方 法
1．割平面法——主要求解纯整数线性规划(不要求掌 握)
2．分支定界法——可求纯或混合整数线性规划 3．隐枚举法——求解0-1整数规划
两个分支中较优的目标函数值可以作为新的上界，整数 解可作为新的下界。
步骤3.分支后计算子问题的线性规划的最优解——剪支 分情况讨论： (1) 得到整数解且目标值优于原有定界(下界),则替代原有定界(下界);
比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值大于原有的下界。
(2) 得到整数解且目标值劣于原有定界(下界),则删除该分支—剪支(其中无最 优解); 比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值小于原有的下界。
整数规划可行解的集合是其松弛问题可行域的 一个子集。任何两个可行解的凸组合不一定满 足整数条件，因而不一定为可行解；
整数规划的可行解一定是其松弛问题的可行解 ，反之，不成立。
所以整数规划的最优解不优于松弛问题的最优 解( 引申含义是什么？ )。
整
数
原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，
规
问题(A)如下：
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
对(B)分别加入这两个约束，可得到两个子问题: (B1)(分支xr ≤ [xr] )和(B2)(分支xr ≥ [xr]+1 )，
由于在区域 [xr] < xr< [xr]+1 中不可能有整数规划的可行解，所以 整数规划的所有可行解分别含在两个子问题 (分支)中，即只要求 出各分支中符合整数要求的最优解进行比较，就可以得到整数规 划的最优解；
(3) 得到非整数解且目标值优于原有定界(下界),则继续分支，并回到步骤2;
(4) 得到非整数解且目标值劣于等于原有定界(下界),则剪支(其中无最优解).
为什么？
当所有子问题都剪支了，即没有需要处理的子问题时，达到当前下界z 的可行解即原问题的最优解， 算法结束。
用分支定界法求解整数规划
max z 40 x1 90 x2
问 题 引 出
线性规划模型：
假 设 x 1 ,x 2 分 别 为 两 种 货 物 托 运 的 箱 数
m ax z 20 x1 10 x2
5 x1 4 x2 24
s
.t
.
2
x1
5 x2
13
x1
,
x2
0且
为
整
数
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则
整 称为整数线性规划。 数
规 整数规划分类
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 为整数
分支定界法的计算过程(以最大化问题为例)：
步骤1. 求解对应的松弛问题
(A)去掉整数条件得到的问题为松弛问题(B)，对(B)进行求解，在 应用分支定界法过程中，对应的解应满足以下情况之一：
① (B)无可行解，则(A)亦无可行解，停止对此问题 的计算； ② (B)有最优解，并满足整数约束，即同时为(A)的最优解，那 么z*同时是当前问题(A)最优目标值的上界和下界。停止对这个问 题的计算； ③ (B)有最优解 x, 但不符合整数条件。
定界：根据前面分析，对每一个松弛问题(B)，以及(A) 的可行解，得到当前问题的上、下界z和 z 。
对于问题(B1)(分支xr ≤ [xr])相应的松弛问题，如果其最优 解为x(r), 最优值为z(r), 那么在这个分支中原整数规划所有 可行解的目标函数值都不会优于z(r)。 对于问题(B2)分支xr ≥ [xr]+1 可以做同样的分析。
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
作图法求解例1
Z=90
+
Z=96
+++ +
(4.8,0)
整 数 规 划 解 的 特 点
定义：去掉整数条件得到的问题为整数规划问题的松弛问题。
整数规划的松弛问题是一个线性规划问题，其 可行域是一个凸集，任何两个可行解的凸组合 都是可行解；
第
四
• 整数规划
章
• 整数规划的分支定界法
整
• 0-1整数规划 隐枚举法
数
匈牙利算法
规
划
引例：
问 题 引 出
且为整数
当不要求解为整数时，对应的线性规划问题最优解为： X1=6.5, x2=2.4 整数解如何获得? 能否用将线性规划问题解中不满足整数的解取整的办法获得整 数解呢？
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积重 量可获得的利润及托运所受的限制如表1所示。问每次 两种货物各托运多少箱，可使得获得的利润最大？
其整数规划解出现下述情况；
①原线性规划最优解全是整数，则整数规
划
划最优解与线性规划最优解一致。
解
②原最优解变为非可行解。 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整
的
而获得。
特
点
整 数 规 划 求 解 方 法
1．割平面法——主要求解纯整数线性规划(不要求掌 握)
2．分支定界法——可求纯或混合整数线性规划 3．隐枚举法——求解0-1整数规划
两个分支中较优的目标函数值可以作为新的上界，整数 解可作为新的下界。
步骤3.分支后计算子问题的线性规划的最优解——剪支 分情况讨论： (1) 得到整数解且目标值优于原有定界(下界),则替代原有定界(下界);
比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值大于原有的下界。
(2) 得到整数解且目标值劣于原有定界(下界),则删除该分支—剪支(其中无最 优解); 比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值小于原有的下界。
整数规划可行解的集合是其松弛问题可行域的 一个子集。任何两个可行解的凸组合不一定满 足整数条件，因而不一定为可行解；
整数规划的可行解一定是其松弛问题的可行解 ，反之，不成立。
所以整数规划的最优解不优于松弛问题的最优 解( 引申含义是什么？ )。
整
数
原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，
规
问题(A)如下：
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
对(B)分别加入这两个约束，可得到两个子问题: (B1)(分支xr ≤ [xr] )和(B2)(分支xr ≥ [xr]+1 )，
由于在区域 [xr] < xr< [xr]+1 中不可能有整数规划的可行解，所以 整数规划的所有可行解分别含在两个子问题 (分支)中，即只要求 出各分支中符合整数要求的最优解进行比较，就可以得到整数规 划的最优解；
(3) 得到非整数解且目标值优于原有定界(下界),则继续分支，并回到步骤2;
(4) 得到非整数解且目标值劣于等于原有定界(下界),则剪支(其中无最优解).
为什么？
当所有子问题都剪支了，即没有需要处理的子问题时，达到当前下界z 的可行解即原问题的最优解， 算法结束。
用分支定界法求解整数规划
max z 40 x1 90 x2
问 题 引 出
线性规划模型：
假 设 x 1 ,x 2 分 别 为 两 种 货 物 托 运 的 箱 数
m ax z 20 x1 10 x2
5 x1 4 x2 24
s
.t
.
2
x1
5 x2
13
x1
,
x2
0且
为
整
数
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则
整 称为整数线性规划。 数
规 整数规划分类
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 为整数
分支定界法的计算过程(以最大化问题为例)：
步骤1. 求解对应的松弛问题
(A)去掉整数条件得到的问题为松弛问题(B)，对(B)进行求解，在 应用分支定界法过程中，对应的解应满足以下情况之一：
① (B)无可行解，则(A)亦无可行解，停止对此问题 的计算； ② (B)有最优解，并满足整数约束，即同时为(A)的最优解，那 么z*同时是当前问题(A)最优目标值的上界和下界。停止对这个问 题的计算； ③ (B)有最优解 x, 但不符合整数条件。
定界：根据前面分析，对每一个松弛问题(B)，以及(A) 的可行解，得到当前问题的上、下界z和 z 。
对于问题(B1)(分支xr ≤ [xr])相应的松弛问题，如果其最优 解为x(r), 最优值为z(r), 那么在这个分支中原整数规划所有 可行解的目标函数值都不会优于z(r)。 对于问题(B2)分支xr ≥ [xr]+1 可以做同样的分析。