运筹学基础-整数规划(3)

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整数规划
例3
东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号为1、2、3、4）， 两名研究生（代号为5、6）值班答疑，已经每人周一至周五每天最 多可安排时间及每人每小时的报酬如下表：
学生代号 1 报酬 10 每天最多可安排的值班时间 周一 6 周二 0 周三 6 周四 0 周五 7
2
3 4 5
10
9.9 9.8 10.8
整数规划
三、0-1规划的应用举例
1、m个约束条件只有k个起作用
m个约束条件可表示为：
n
a
j 1
ij
bi
i 1,, m
或 aij bi
j 1
n
i 1,, m
增加变量定义为：
1 yi 0 假定第i个约束条件不起作用 假定第i个约束条件起作用
又设M为任意大的数，则 n n aij x j bi Myi 或 aij bi - Myi s.t. j 1 j 1 y y y m k 2 m 1
【例如】某约束为 2x1+5x2-x3≤2或3 2x1+5x2-x3≤2y1+3y2 引入辅助变量y1,y2, 约束化为 y1+y2=1 y1，y2只取0或1
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整数规划
3、两组条件满足其中一组
若x1≤4,则 x2≥1；否则（即x1>4时）， x2≤3
引入变量定义为：
1 yi 0
第i组条件不起作用 第i组条件起作用
由于生产不同容积包装箱需进行专门准备、下料等，生产某一 容积包装箱的固定费用为1200元，又若某一容积包装箱数量不够时， 可用比它容积大的代替。试问化工厂应订做哪几种代号的包装箱各 多少个，使费用最节省。
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整数规划
包装箱代号 容积（m3） 需求量（个) 可变费用（元/个）
1 0.08 500 5
2 0.1 550 8
n j 1
0 x j Myi yi yi 0或1
可以看出当xj=0时，yi=0；而如果yi=1，则必有xj>0
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整数规划
【应用1】
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量 及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。有关信 息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量 资源价格（元／单位） 机器（时） 6 8 120 ５ 人工（时） 10 5 100 20 原材料(公斤) 11 8 130 1 产品售价（元） 600 400
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整数规划 0-1规划应用举例： maxZ= 12 x1 + 8 x2 5x1+2 x2≤ 150 2 x1+3 x2≤ 100 4x1+2 x2≤ 80或6x1+8x2≤ 120 x1, x2 ≥0 maxZ= 12 x1 + 8 x2 5x1+2 x2≤ 150 2 x1+3 x2≤ 100 4x1+2 x2≤ 80+My1 6x1+8x2≤ 120+My2 y1+y2 ≤1 x1, x2 ≥0
1 yi 0 假定第i个约束条件不起作用 假定第i个约束条件起作用 i 1,2,3
maxZ= 3x1 +5 x2 maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8+My1 x1 ≤8+My1 2x2 ≤12+My2 2x2 ≤12+My2 3x1 +4 x2 ≥ 36－My3 3x1 +4 x2 ≥ 36－My3 y1+y2+y3=1 y1+y2+y3≤1 x1 ≥0, x2 ≥0，yi只取0或1 x1 ≥0, x2 ≥0，yi只取0或1
K j c j x j C j xi 0
x 0 x 0
j j
Kj为与生产量无关的生产准备费用，生产才发生，不生产不发生。 解决方法：设置一个逻辑变量yj，当 xj=0时，yi=0，当xj>0时，yj=1 为此引进一个特殊的约束条件，则模型设为
min z c j x j K j y j
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整数规划 如果生产产品A，工厂要花费1000元的固定成本，如果生 产产品B，工厂要花费800元的固定成本。 假设其它情况不变， 请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
再令y1,y2分别表示生产A、B和可能性（即1为生产，0为不生产）
max z 600x1 400x2 6 x1 8 x2 5 10x1 5 x2 20 11x1 8 x2 1 1000y1 800y2 6 x1 8 x2 120 10x 5 x 100 2 1 11x1 8 x2 130 x1 My1 x2 My2 x1 , x2 , y1 , y2 0
x 1 y 1 =SUMPRODUCT(B9:C9,B10:C10) 1
12
x1 12 5 2 4 6 x 1 y
x2 8 2 3 2 8 1 0 0 0 0 0 0 150 100 80 120 1
0 0
x1 12 5 2 4 6
x2 8 2 3 2 8
=SUMPRODUCT(B3:C3,$B$8:$C$8) =SUMPRODUCT(B4:C4,$B$8:$C$8) 150 =SUMPRODUCT(B5:C5,$B$8:$C$8) 100 =SUMPRODUCT(B6:C6,$B$8:$C$8) =80+F6 =10000*B10 =SUMPRODUCT(B7:C7,$B$8:$C$8) =120+F7 =10000*C10
3 0.12 700 10
4 0.15 900 12.1
5 0.2 450 16.3
6 0.25 400 18.2
设： xj为代号j包装箱的订做数量。
订做第j种包装箱 1 yj 否则 0 6 min z 5 x1 8 x2 10x3 12.1x4 16.3 x5 18.2 x6 1200 y j
y1 , y2为0或1
注：其中M代表任意大的数，可用 一很大数代替
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整数规划
例2
红星日用化工厂为发运产品，下一年度需6种不同容积的包装， 每种包装的需求量及生产一个的可变费用如下表：
包装箱代号 容积（m3） 需求量（个) 可变费用（元/个） 1 0.08 500 5 2 0.1 550 8 3 0.12 700 10 4 0.15 900 12.1 5 0.2 450 16.3 6 0.25 400 18.2
i 1
x1 x2 x3 x4 x5 3500 x 400 6 x5 x6 850 x4 x5 x6 1750 x x x x 2450 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 3000 x j My j j 1, ,6 x 0; y 0或 1 j 1, ,6 j j
0
4 5 3
6
8 5 0
0
3 6 4
6
0 0 8
0
5 4 0
6
11.3
0
6
0
6
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实验室开放时间为早8：00至晚10：00，值班时须有且仅须有 一名学生值班，规定大学生每周值班不少于8小时，研究生每周值 班不少于7小时，每名学生值班不超过3次，每次不少于2小时，每 天安排值班不超过3人，且一名为研究生。试安排一张，使总报酬 10 最低。
5 x 8i 1, ,4 大学生不少于8h ij j 1 5 研究生不少于7 h xij 7i 5,6 j 1 6 每天开放14h xij 14 j 1, ,5 i 1 6 yij 3 j 1, ,5 每天不超过3人 i 1 5 yij 3i 1, ,6 每人不超过3次 j 1 每天至少一个研究生 y5 j y 6 j 1 x 0; y 0或 1i 1, ,6; j 1, ,5 ij ij

i 1,, m
表明：m个约束条件中有m-k个的右端项为bi+Myi，不起约束作用
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整数规划
【实例】
maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 （1）三个约束中只有两个起作用 2x2 ≤12 （2）三个约束中至少有两个起作用 3x1 +4 x2 ≥ 36 x1 ≥0, x2 ≥0 引入辅助变量 模型化为：
设 x1,x2分别为产品A、B的生产量。 max z 600x1 400x2 6 x1 8 x2 5 10x1 5 x2 20 11x1 8 x2 1
6 x1 8 x2 120 10x 5 x 100 1 2 11x1 8 x2 130 x1 , x2 0
i 1， 2
又M为任意大的数，则问题可表达为
x1 4 y1M x 1 y M 1 2 x1 4 y2 M x2 3 y 2 M y1 y2 1 y1 , y2只取0或1
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整数规划
4、用以表示含固定费用的函数
用xj代表产品j的生产量，其生产费用函数通常可表示为：
整数规划
来自百度文库
【解】
设： xij为学生i在周j值班时间，aij代表学生i在周j 最多值班时间， ci代表学生i的报酬。 安排学生i在周j值排 1 6 5 yij min z ci xij 否则 i 1 j 1 0 2 yij xij aij yij i 1, ,6; j 1, ,5 不超过安排
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整数规划 2、约束条件的右端可能是b1或b2…br
即：
n
a x
j 1 ij
j
b1或b2 或br
1 0 假定约束右端为 i b 否则
引入变量定义为： yi
则原约束可表示为
r n aij x1 bi yi i 1 j 1 y y y 1 2 r 1