运筹学基础-整数规划(3)精品PPT课件

（1）三个约束中只有两个起作用 （2）三个约束中至少有两个起作用
引入辅助变量 1 假定第i个约束条件不起作用
模型化为：
yi
0
假定第i个约束条件起作用
i 1,2,3
maxZ= 3x1 +5 x2
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8+My1
x1
≤8+My1
2x2 ≤12+My2
2x2 ≤12+My2
aij x j
bi
Myi
n
或 aij bi - Myi
j 1
y1 y2 ym m k
i 1,, m
表明：m个约束条件中有m-k个的右端项为bi+Myi，不起约束作用 1
整数规划
【实例】
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≥ 36
x1 ≥0, x2 ≥0
i 1
x1 x2 x3 x4 x5 3500
x6
400
x5
x6
850
x4 x5 x6 1750
x3
x4
x5
x6
2450
x2 xj
x3 My j
x4
j
x5 x6
1,,6
3000
x
j
0;
yj
0或 1
j
1,,6
5 0.2 450 16.3
6 0.25 400 18.2
整数规划
三、0-1规划的应用举例
1、m个约束条件只有k个起作用
m个约束条件可表示为：
n
aij bi i 1,, m
j 1
增加变量定义为：
n
或 aij bi i 1,, m j 1
1 假定第i个约束条件不起作用 yi 0 假定第i个约束条件起作用
又设M为任意大的数，则
s.t.
n j 1
C
j
xi
K 0
j
c
j
x
j
xj 0 xj 0
Kj为与生产量无关的生产准备费用，生产才发生，不生产不发生。
解决方法：设置一个逻辑变量yj，当 xj=0时，yi=0，当xj>0时，yj=1
为此引进一个特殊的约束条件，则模型设为
n
min z c j x j K j y j
j 1
yi
0 x j Myi
9
整数规划
例3
东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号为1、2、3、4）， 两名研究生（代号为5、6）值班答疑，已经每人周一至周五每天最 多可安排时间及每人每小时的报酬如下表：
学生代号 报酬
每天最多可安排的值班时间 周一 周二 周三 周四 周五
1
10
6
0
6
0
7
2
10
0
6
0
6
0
3
9.9
4
8
3
0
5
4
9.8
3x1 +4 x2 ≥ 36－My3
3x1 +4 x2 ≥ 36－My3
y1+y2+y3=1
x1 ≥0, x2 ≥0，yi只取0或1
y1+y2+y3≤1 x1 ≥0, x2 ≥0，yi只取0或1 2
整数规划 2、约束条件的右端可能是b1或b2…br
即：
引入变量定义为： 则原约束可表示为
1 yi 0
5
5
6
0
4
5
10.8
3
0
4
8
0
6
11.3
0
6
0
6
3
实验室开放时间为早8：00至晚10：00，值班时须有且仅须有
6x1 8x2 120 10x1 5x2 100
1x11 x1
8x2 My1
130
x2
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
x1, x2 , y1, y2 0
y1, y2为0或1
注：其中M代表任意大的数，可用一很大数代替
7
整数规划
例2
红星日用化工厂为发运产品，下一年度需6种不同容积的包装， 每种包装的需求量及生产一个的可变费用如下表：
yi
0或1
可以看出当xj=0时，yi=0；而如果yi=1，则必有xj>0
5
整数规划
【应用1】
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量
及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。有关信 息在下表中给出。
产品A 产品B
机器（时）
6
8
人工（时）
10
5
原材料(公斤) 11 8
产品售价（元） 600 400
引入变量定义为： 1 第i组条件不起作用
yi 0 第i组条件起作用
又M为任意大的数，则问题可表达为
i 1，2
x1 4 y1M
x2
1
y1M
x1 4 y2M
x2
3
y2M
y1 y2 1 y1, y2只取0或1
4
整数规划
4、用以表示含固定费用的函数
用xj代表产品j的生产量，其生产费用函数通常可表示为：
资源总量 120 100 130
资源价格（元／单位） ５ 20 1
设 x1,x2分别为产品A、B的生产量。
max z 600x1 400x2 6x1 8x2 5 10x1 5x2 20 11x1 8x2 1
6x1 8x2 120
1110xx11
5x2 8x2
100 130
假定约束右端为bi 否则
n
aij x1
r
bi yi
j1
i 1
y1 y2 yr 1
【例如】某约束为 2x1+5x2-x3≤2或3
引入辅助变量y1,y2, 约束化为
2x1+5x2-x3≤2y1+3y2 y1+y2=1
y1，y2只取0或1
3
整数规划
3、两组条件满足其中一组
若x1≤4,则 x2≥1；否则（即x1>4时）， x2≤3
包装箱代号
1
2
容积（m3）
0.08 0.1
需求量（个)
500
550
可变费用（元/个） 5
8
3 0.12 700
10
4 0.15 900 12.1
5 0.2 450 16.3
6 0.25 400 18.2
由于生产不同容积包装箱需进行专门准备、下料等，生产某一 容积包装箱的固定费用为1200元，又若某一容积包装箱数量不够时， 可用比它容积大的代替。试问化工厂应订做哪几种代号的包装箱各 多少个，使费用最节省。
x1, x2 0
6
整数规划
如果生产产品A，工厂要花费1000元的固定成本，如果生 产产品B，工厂要花费800元的固定成本。 假设其它情况不变， 请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
再令y1,y2分别表示生产A、B和可能性（即1为生产，0为不生产）
max z 600x1 400x2 6x1 8x2 5 10x1 5x2 20 11x1 8x2 11000 y1 800 y2
8
整数规划
包装箱代号 容积（m3）
1
2
0.08 0.1
需求量（个)
500
550
可变费用（元/个） 5
8
设： xj为代号j包装箱的订做数量。
3 0.12 700 10
4 0.15 900 12.1
1 订做第j种包装箱
yj
0
否则
6
min z 5x1 8x2 10x3 12.1x4 16.3x5 18.2x6 1200 y j