运筹学基础-整数规划(3)精品PPT课件
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《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
运筹学-第3章整数规划
2018/8/17
9
生产计划问题
某机器制造厂可生产四种产品，对于三种主要资源（钢， 人力，能源）的单位消耗及单位利润见表。问如何安排 生产，可使总利润最大？
消耗 产品1
1
产品2 产品3
10 6 0 7 3 4 2 8
产品4
0 1 5 4
资源量
5000 3000 3000
资源A（钢）
资源B（人力） 2 资源C（能源） 2 单位利润 1
这里取M=5000
2018/8/17
15
（2）批量生产
在前例中的基础上, 增加假设：产品4要求批量生 产，批量为不少于500件。 试建立最佳生产计划模型。
定义0-1变量y4
1 , x 4 500 y 4= 0 , x 4=0
500y4 x4 My4 y4 {0,1}
增加约束
2018/8/17 4
附加条件
项目1和项目3至少采纳一个; y1+y2 ≥1 项目2和项目5不能同时采纳; y2+y5 ≤1 项目1仅在项目2采纳后才可考虑是否采纳; y1≤ y2 项目1仅在项目2和3同时采纳后才可考虑是否采纳; 项目1，2，3不能同时采纳; y1+y2+y3 ≤2 或者选择项目1和2，或者选择项目3; y1= y2, y1+y3 =1; 或者 0.5(y1+y2) +y3 =1.
i 1 j 1 5 4
1, 采用Ai建厂 yi , i 3,4,5 0 ，不采用
s.t. x11 x12 x13 x14 400 x x x x 600 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 200y3 x41 x42 x43 x44 200y4 x x x x 200y 5 51 52 53 54 y3 y 4 y5 1 x11 x21 x31 x41 x51 300 x12 x22 x32 x42 x52 350 x13 x23 x33 x43 x53 400 x x x x x 150 24 34 44 54 14 xij 0, i 1,2,3,4,5, j 1,2,3,4 y3 , y4 , y5 {0,1}
运筹学课件第五章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数
max c x Ax b s .t . x 0
1、整数规划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)
运筹学课件 第六章-整数规划3
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
设变量xij为第i个物品是否放在第j个包裹中
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 保证需求约束
x11 + x21 + x31 = 450 x12 + x22 + x32 = 275 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 350
} 项目1 } 项目2 } 项目3 } 项目4
最大供应量 525 450 550
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150。 厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1。总产量=450 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单。
1 中锋 1.93 2 中锋 1.91 3 前锋 1.87 4 前锋 1.86 5 后卫 1.80 6 后卫 1.85
配送计划模型
• 某建筑公司为完成4个工程项目，需要从3个厂家购买水泥，有关成
本如下
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
水泥的吨运费
项目2 $115 $150 $95 275
xi
0, 不携带第i件物品 1, 携带第i件物品 (i
1,2,, m)
m
max z ci xi i 1
m
ai xi
a
st.
i 1 m
bi
运筹学第五章 整数规划ppt课件
，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合A的整数条件，记其目标函数值为z1。
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
7
7
第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
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第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
运筹学基础-整数规划(3)
【例如】某约束为 2x1+5x2-x3≤2或3 2x1+5x2-x3≤2y1+3y2 引入辅助变量y1,y2, 约束化为 y1+y2=1 y1，y2只取0或1
3
整数规划
3、两组条件满足其中一组
若x1≤4,则 x2≥1；否则（即x1>4时）， x2≤3
引入变量定义为：
1 yi 0
第i组条件不起作用 第i组条件起作用
整数规划
【解】
设： xij为学生i在周j值班时间，aij代表学生i在周j 最多值班时间， ci代表学生i的报酬。 安排学生i在周j值排 1 6 5 yij min z ci xij 否则 i 1 j 1 0 2 yij xij aij yij i 1, ,6; j 1, ,5 不超过安排
i 1， 2
又M为任意大的数，则问题可表达为
x1 4 y1M x 1 y M 1 2 x1 4 y2 M x2 3 y 2 M y1 y2 1 y1 , y2只取0或1
4
整数规划
4、用以表示含固定费用的函数
用xj代表产品j的生产量，其生产费用函数通常可表示为：
n j 1
0 x j Myi yi yi 0或1
可以看出当xj=0时，yi=0；而如果yi=1，则必有xj>0
5
整数规划
【应用1】
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量 及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。有关信 息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量 资源价格（元／单位） 机器（时） 6 8 120 ５ 人工（时） 10 5 100 20 原材料(公斤) 11 8 130 1 产品售价（元） 600 400
第八章 运筹学课件整数规划
n
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
运筹学课件：第5章 整数线性规划-第3节
第3节 割平面解法
• 整数线性规划问题的可行域是整数点集，割 平面解法的思路是：首先不考虑变量是整数 这一条件，仍然是用解线性规划的方法去解 整数线性规划问题，若得到非整数的最优解 ，然后增加能割去非整数解的线性约束条件( 或称为割平面)使得由原可行域中切割掉一部 分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉 任何整数可行解。
• 直观地表示在图5-7中。但从解题过程来看， 这一步是不必要的。
图5-7
现把求一个切割方程的步骤归纳为：
(1) 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的 一个基变量，由单纯形表的最终表得到
xi aik xk bi
k
(5 4)
其中i∈Q(Q指构成基变量号码的集合) k∈K(K指构成非基变量号码的集合)
⑥
• 3x1+x2 +x4=4
⑦
不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
初始计算表 最终计算表
表5-2
cj
CB
XB
0
x3
0
x4
cj-zj
1
x1
1
x2
cj-zj
11 0
0
b
x1 x2
x3
x4
1 -1 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0
4
31
0
1
0
11
0
0
3/4 1 0 -1/4 1/4
7/4 0 1 3/4 1/4
-5/2 0 0 -1/2 -1/2
从表5-2的最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2
不能满足整数最优解的要求。为此考虑将带 有分数的最优解的可行域中分数部分割去， 再求最优解。就可以得到整数的最优解。
• 整数线性规划问题的可行域是整数点集，割 平面解法的思路是：首先不考虑变量是整数 这一条件，仍然是用解线性规划的方法去解 整数线性规划问题，若得到非整数的最优解 ，然后增加能割去非整数解的线性约束条件( 或称为割平面)使得由原可行域中切割掉一部 分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉 任何整数可行解。
• 直观地表示在图5-7中。但从解题过程来看， 这一步是不必要的。
图5-7
现把求一个切割方程的步骤归纳为：
(1) 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的 一个基变量，由单纯形表的最终表得到
xi aik xk bi
k
(5 4)
其中i∈Q(Q指构成基变量号码的集合) k∈K(K指构成非基变量号码的集合)
⑥
• 3x1+x2 +x4=4
⑦
不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
初始计算表 最终计算表
表5-2
cj
CB
XB
0
x3
0
x4
cj-zj
1
x1
1
x2
cj-zj
11 0
0
b
x1 x2
x3
x4
1 -1 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0
4
31
0
1
0
11
0
0
3/4 1 0 -1/4 1/4
7/4 0 1 3/4 1/4
-5/2 0 0 -1/2 -1/2
从表5-2的最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2
不能满足整数最优解的要求。为此考虑将带 有分数的最优解的可行域中分数部分割去， 再求最优解。就可以得到整数的最优解。
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9
整数规划
例3
东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号为1、2、3、4）， 两名研究生（代号为5、6）值班答疑，已经每人周一至周五每天最 多可安排时间及每人每小时的报酬如下表：
学生代号 报酬
每天最多可安排的值班时间 周一 周二 周三 周四 周五
1
10
6
0
6
0
7
2
10
0
6
0
6
0
3
9.9
4
8
3
0
5
4
9.8
包装箱代号
1
2
容积（m3）
0.08 0.1
需求量（个)
500
550
可变费用（元/个） 5
8
3 0.12 700
10
4 0.15 900 12.1
5 0.2 450 16.3
6 0.25 400 18.2
由于生产不同容积包装箱需进行专门准备、下料等，生产某一 容积包装箱的固定费用为1200元，又若某一容积包装箱数量不够时， 可用比它容积大的代替。试问化工厂应订做哪几种代号的包装箱各 多少个，使费用最节省。
C
j
xi
K 0
j
c
j
x
j
xj 0 xj 0
Kj为与生产量无关的生产准备费用，生产才发生，不生产不发生。
解决方法：设置一个逻辑变量yj，当 xj=0时，yi=0，当xj>0时，yj=1
为此引进一个特殊的约束条件，则模型设为
n
min z c j x j K j y j
j 1
yi
0 x j Myi
6x1 8x2 120 10x1 5x2 100
1x11 x1
8x2 My1
130
x2
My2
x1, x2 , y1, y2 0
y1, y2为0或1
注：其中M代表任意大的数，可用一很大数代替
7
整数规划
例2
红星日用化工厂为发运产品，下一年度需6种不同容积的包装， 每种包装的需求量及生产一个的可变费用如下表：
yi
0或1
可以看出当xj=0时，yi=0；而如果yi=1，则必有xj>0
5
整数规划
【应用1】
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量
及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。有关信 息在下表中给出。
产品A 产品B
机器（时）
6
8
人工（时）
10
5
原材料(公斤) 11 8
产品售价（元） 600 400
整数规划
三、0-1规划的应用举例
1、m个约束条件只有k个起作用
m个约束条件可表示为：
n
aij bi i 1,, m
j 1
增加变量定义为：
n
或 aij bi i 1,, m j 1
1 假定第i个约束条件不起作用 yi 0 假定第i个约束条件起作用
又设M为任意大的数，则
s.t.
n j 1
aij x j
bi
Myi
n
或 aij bi - Myi
j 1
y1 y2 ym m k
i 1,, m
表明：m个约束条件中有m-k个的右端项为bi+Myi，不起约束作用 1
整数规划
【实例】
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≥ 36
x1 ≥0, x2 ≥0
i 1
x1 x2 x3 x4 x5 3500
x6
400
x5
x6
850
x4 x5 x6 1750
x3
x4
x5
x6
2450
x2 xj
x3 My j
x4
j
x5 x6
1,,6
3000
x
j
0;
yj
0或 1
j
1,,6
5 0.2 450 16.3
6 0.25 400 18.2
x1, x2 0
6
整数规划
如果生产产品A，工厂要花费1000元的固定成本，如果生 产产品B，工厂要花费800元的固定成本。 假设其它情况不变， 请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
再令y1,y2分别表示生产A、B和可能性（即1为生产，0为不生产）
max z 600x1 400x2 6x1 8x2 5 10x1 5x2 20 11x1 8x2 11000 y1 800 y2
资源总量 120 100 130
资源价格（元／单位） ５ 20 1
设 x1,x2分别为产Байду номын сангаасA、B的生产量。
max z 600x1 400x2 6x1 8x2 5 10x1 5x2 20 11x1 8x2 1
6x1 8x2 120
1110xx11
5x2 8x2
100 130
3x1 +4 x2 ≥ 36－My3
3x1 +4 x2 ≥ 36－My3
y1+y2+y3=1
x1 ≥0, x2 ≥0，yi只取0或1
y1+y2+y3≤1 x1 ≥0, x2 ≥0，yi只取0或1 2
整数规划 2、约束条件的右端可能是b1或b2…br
即：
引入变量定义为： 则原约束可表示为
1 yi 0
假定约束右端为bi 否则
n
aij x1
r
bi yi
j1
i 1
y1 y2 yr 1
【例如】某约束为 2x1+5x2-x3≤2或3
引入辅助变量y1,y2, 约束化为
2x1+5x2-x3≤2y1+3y2 y1+y2=1
y1，y2只取0或1
3
整数规划
3、两组条件满足其中一组
若x1≤4,则 x2≥1；否则（即x1>4时）， x2≤3
5
5
6
0
4
5
10.8
3
0
4
8
0
6
11.3
0
6
0
6
3
实验室开放时间为早8：00至晚10：00，值班时须有且仅须有
引入变量定义为： 1 第i组条件不起作用
yi 0 第i组条件起作用
又M为任意大的数，则问题可表达为
i 1，2
x1 4 y1M
x2
1
y1M
x1 4 y2M
x2
3
y2M
y1 y2 1 y1, y2只取0或1
4
整数规划
4、用以表示含固定费用的函数
用xj代表产品j的生产量，其生产费用函数通常可表示为：
（1）三个约束中只有两个起作用 （2）三个约束中至少有两个起作用
引入辅助变量 1 假定第i个约束条件不起作用
模型化为：
yi
0
假定第i个约束条件起作用
i 1,2,3
maxZ= 3x1 +5 x2
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8+My1
x1
≤8+My1
2x2 ≤12+My2
2x2 ≤12+My2
8
整数规划
包装箱代号 容积（m3）
1
2
0.08 0.1
需求量（个)
500
550
可变费用（元/个） 5
8
设： xj为代号j包装箱的订做数量。
3 0.12 700 10
4 0.15 900 12.1
1 订做第j种包装箱
yj
0
否则
6
min z 5x1 8x2 10x3 12.1x4 16.3x5 18.2x6 1200 y j