2020版高考数学(文科)大一轮精准复习精练：§3.1导数的概念及运算含解析

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(浙江版)2020年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题3.1 导数概念及其几何意义(练)

专题3.1 导数概念及其几何意义A 基础巩固训练1.若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是10x y -+=，则（）A ．1a =，1b =B ．1a =-，1b =C ．1a =，1b =-D ．1a =-，1b =- 【答案】A 【解析】2.【四川成都摸底】曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（） A ．2y x ππ=-+ B ．2y x ππ=+ C ．2y x ππ=-- D ．2y x ππ=- 【答案】A 【解析】()sin y f x x π==，()'sin cos f x x x π=+，()'f ππ=-，曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是()2y x x ππππ=--=-+，故选A.3.已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即)(')(12x f x f =，)(')(23x f x f =，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2017f x = ( )A ．sin cos x x --B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x + 【答案】D【解析】因为()1sin cos f x x x =+，所以21()'()cos sin f x f x x x==-，324354()'()sin cos ,()'()cos sin ,()'()sin cos f x f x x x f x f x x x f x f x x x ==--==-+==+可知()n f x 的解析式周期为4，因为201745041=⨯+，所以()20171()sin cos f x f x x x ==+,故选D.4.函数ln y x x =的导数是【答案】ln 1x +,【解析】根据乘法的导数法则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+及常见函数的导数公式1(ln ),1x x x''==可得1(ln )ln ln 1y x x x x x x ''==+⨯=+.5.【福建4月质检】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x -++=，且当1x >时， ()2x xf x e-=，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是__________．【答案】y x =-B 能力提升训练1．曲线xy e =在点(0,1)A 处的切线为（）A.1y x =+B. 1y =C. 1y ex =+D. 11ln y x e=+ 【答案】A【解析】函数()y f x =在点00(,)P x y 处的切线方程：00()()y y f x x x '-=-.在本题中，()x f x y e ''==，所以0(0)1f e '==，所以切线为：1y x =+.本题属于容易题，但还是会出现以下错误：（1）0(0)0f e '==，从而选B ；将(0,1)A 的纵坐标代入()x f x y e ''==求得斜率为1(1)f e e '==，从而选C.2．已知函数2()4f x x =+，则1212,,x x R x x ∀∈≠，1212|()()|||f x f x x x --的取值范围是（） A ．[0,)+∞ B ．[0,1] C ．(0,1) D ．[0,1) 【答案】D 【解析3．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）,【答案】D 【解析】A 中曲线是原函数，直线是导函数；B 中递增的为原函数，递减的为导函数；C 中上面的为导函数，下面的为原函数；D 中无论原函数是哪一个，导函数值都要有正有负.4．已知函数()1xf x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1y x e=-平行的切线，则实数m 的取值范围为．【答案】1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】()x f x e m '=-，因为曲线C 不存在与直线1y x e=-平行的切线，所以方程1x e m e -=-无解，即1x m e e =+无解，设()1x g x e e=+，则()0xg x e '=>，所以()g x 单调递增，所以()f x '()f x ()y f x =()y f x '=()1g x e>，所以实数m 的取值范围为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.5．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，求a 的值. 【答案】2564a =-或1a =-．C 思维拓展训练 1.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线30ax y ++=有相同的方向向量,则a 等于（） A ．-12 B ．12C. -2 D ．2 【答案】B 【解析】因为()12111x y f x x x +===+--，()()22'1f x x =--，在点()3,2处的切线与直线30ax y ++=有相同的方向向量，所以()()2221'34231f a =-=-=-=--，12a =，故选B.2．曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（） 5 B.5 C.35 D.0【答案】A【解析】设直线l 与曲线ln(21)y x =-相切与点00(,)P x y 且与直线230x y -+=平行，由02221k x ==-得01x =，所以(1,0)P ，因此直线:220l x y --=，直线:220l x y --=到230x y -+=的距离为55d ==.所以曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是5.3.曲线()()20f x axa =>与()ln g x x =有两条公切线，则a 的取值范围为（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,+e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭ D ．1,+2e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】4．设点P 、Q 分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为【答案】322【解析】'(1)x x x y e xe x e ---=-=-，令(1)1x x e --=，即1x e x =-，10x e x +-=，令()1x h x e x =+-，显然()h x 是增函数，且(0)0h =，即方程10x e x +-=只有一解0x =，曲线xy xe -=在0x =处的切线方程为y x =，两平行线0x y -=和30x y -+=间的距离(x y xe e-=3y x =+为33222d ==. 5．已知函数3431)(3+=x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程；（Ⅱ）求过点)4,2(P 的函数)(x f 的切线方程.【答案】（Ⅰ）044=--y x （Ⅱ）02=+-y x 或044=--y x 【解析】试题解析：（Ⅰ）∵2')(x x f =,∴在点)4,2(P 处的切线的斜率4)2('==f k∴函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程为),2(44-=-x y 即044=--y x（Ⅱ）设函数)(x f 与过点)4,2(P 的切线相切于)3431,(300+x x A 则切线的斜率200')(x x f k ==∴切线方程为)()3431(02030x x x x y -=+-，即34323020+-⋅=x x x y ∵点)4,2(P 在切线上∴,3432243020+-=x x 即0432030=+-x x ∴0)2)(1(200=-+x x ，解得10-=x 或20=x∴所求的切线方程为02=+-y x 或044=--y x .。

2023年高考数学一轮复习讲义(新高考)第3章§3.1导数的概念及其意义、导数的运算

§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算考试要求　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝limΔx →0 Δy Δx＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.[1f (x )]′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(　×　)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(　×　)(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．(　×　)教材改编题1．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为________．答案　y ＝(e －1)x ＋2解析　f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________.答案　－1e解析　f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ，∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x ，则f ′(x )＝________.答案　1x －1－e 1－x题型一　导数的运算例1　(1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( )A.(1ln x )′＝－1x ln 2xB ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC.[cos (2x －π3)]′＝－sin (2x －π3)D.(x －1x)′＝1＋1x 2答案　AD 解析　(1ln x)′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x，故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；[cos (2x －π3)]′＝－2sin (2x －π3)，故C 错误；(x －1x )′＝1＋1x2，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′(π3)sin x ，则f(π6)＝________.答案　π236＋2π3解析　f′(x)＝2x＋f′(π3)cos x，∴f′(π3)＝2π3＋12f′(π3)，∴f′(π3)＝4π3，∴f(π6)＝π236＋2π3.教师备选1．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于( )A．22cos(2x－π4)B．cos 2x＋sin xC．cos 2x－sin 2xD．22cos(2x＋π4)答案　A解析　y′＝2cos 2x＋2sin 2x＝22cos(2x－π4).2．(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，则f(2 021)－f(0)等于( ) A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021C.e2D．e答案　B解析　因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f(x)＝e x sin x＋k(k为常数)，所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.思维升华　(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1　(1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于( )A．1 B．2 C．3 D．4答案　C解析　当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0，∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ，当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2，得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝________.答案　e 2解析　f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二　导数的几何意义命题点1　求切线方程例2　(1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案　5x －y ＋2＝0解析　y ′＝(2x －1x ＋2)′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________．答案　x －y －1＝0解析　∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由Error!解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案　A解析　∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，将P (1,2)代入y ＝kx ＋1，可得k ＋1＝2，解得k ＝1，∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝ax ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ，∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上，∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________．答案　(1，＋∞)解析　由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上，∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x (2－x )，∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ，又x →－∞时，φ(x )→0；x →＋∞时，φ(x )→－∞，∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1,3) B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)答案　C解析　设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3.∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，4]答案　C解析　因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tan π4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x ＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立，所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华　(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”．跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n 相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案　B解析　设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n 切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝e x －2n ，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，即12m ＋n ＝12.(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______．答案　[2，＋∞)解析　直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)．题型三　两曲线的公切线例4　(1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( )A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3答案　D解析　由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组Error!有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋(a －1)x＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝e x存在公共切线，则a的取值范围为________．答案　[e24，＋∞)解析　由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax，由y＝e x，得y′＝e x，曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1，ax21)，与曲线C2切于点(x2，2e x)，则2ax1＝222121ee,xxaxx x-=-可得2x2＝x1＋2，∴a＝1121e2xx+，记f(x)＝12e2xx+，则f′(x)＝122e(2)4xxx+-，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴当x＝2时，f(x)min＝e2 4 .∴a的取值范围是[e24，＋∞).延伸探究　在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为________．答案　(e24，＋∞)解析　由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解．∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e 24，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1答案　D解析　设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x ＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切，故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3.2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案　B解析　已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,xxxy x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩得x 2＝11ex ，1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lne x ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华　公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3　(1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( )A ．2B ．5C ．1D ．0答案　C解析　根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a－1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________．答案　y ＝e x 或y ＝x ＋1解析　设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x －1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( )A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln 10)′＝110D ．(e 2x )′＝2ex解析　(x －2)′＝－2x －3，∴A 错；(x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对；(ln 10)′＝0，∴C 错；(e 2x )′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( )A ．x －y ＋π－2＝0B ．x －y －π＋2＝0C ．x ＋y ＋π－2＝0D ．x ＋y －π＋2＝0答案　D解析　y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案　B解析　由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( )A.2B ．2C.433 D.163解析　当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝2.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos πx 2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b ＋c －a 的值为( )A ．0B ．πC ．－2D ．3答案　D解析　∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－π2sin πx 2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点，∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1，∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.[0，3π4) B.[0，π2)∪(3π4，π)C.(π2，3π4) D.[0，π2)∪[3π4，π)答案　B解析　∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)，∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1，∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)，∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，∴tan α>－1.∵α∈[0，π)，∴α∈[0，π2)∪(3π4，π).7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)答案　BCD解析　f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0，故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))，则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，3π4)上是凸函数的是( )A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4B ．f (x )＝ln x ＋2xC ．f (x )＝sin x ＋cos xD ．f (x )＝x e x答案　ABC解析　对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4，f ′(x )＝－3x 2＋3，f ″(x )＝－6x ，当x ∈(0，3π4)时，f ″(x )<0，故A 为凸函数；对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x＋2，f ″(x )＝－1x 2，当x ∈(0，3π4)时，f ″(x )<0，故B 为凸函数；对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin (x ＋π4)，当x ∈(0，3π4)时，f ″(x )<0，故C 为凸函数；对D ，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈(0，3π4)时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数．9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________.答案　－1解析　因为f (x )＝x cos x ，所以f ′(x )＝cos x －x sin x ，f ′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1.10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案　2解析　f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ＝－a(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x ，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案　22e x x y ＝1解析　∵f (x )＝2e x ，故f ′(x )＝(x 2)′2e x ＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋(23a ＋1)x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________．答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析　因为f (x )＝x 3－ax 2＋(23a ＋1)x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12(23a ＋1)>0，即a 2－2a －3>0，解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　A解析　函数f (x )＝x e x －1，则f ′(x )＝(x ＋1)e x －1，由题意可知，存在点c ∈[0,1]，使得f ′(c )＝f (1)－f (0)1－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c 的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1.14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案　D解析　方法一　设切点(x 0，y 0)，y 0>0，则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由Error!得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二　(用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a .15．若曲线y ＝14sin 2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( )A.π3 B.π2 C.2π3D ．π答案　B解析　∵y ＝14sin 2x ＋32cos 2x ＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＝12sin (2x ＋π3)＋34，∴y ′＝cos (2x ＋π3)，∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝e x ＋m ，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________．答案　(－∞，2ln 2－2)解析　由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则Error!可得Error!故k 1(k 12－ln k 1＋m )＝k 214－k 1，整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时，有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k 4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k 4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k 4k，故当f ′(k )>0时，0<k <4，当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，故f (k )max ＝f (4)＝ln 4－44－1＝2ln 2－2，所以只需满足m <2ln 2－2即可．。

2020版高考数学(江苏专用)一轮教师用书(PDF)：第三章§3.1 导数的概念及导数的运算

已知曲线Ｓ：ｙ＝２ｘ－ｘ３．
（１）求曲线Ｓ在点Ａ（１，１）处的切线方程；
（２）求过点Ｂ（２，０）并与曲线Ｓ相切的直线方程．
解析（１） ∵ ｙ＝２ｘ－ｘ３，∴ ｙ′ ＝－３ｘ２＋２，当ｘ＝１时，ｙ′ ＝－１．
∴ 点Ａ（１，１）处的切线方程为ｙ－１＝－１×（ｘ－１），即ｘ＋ｙ－２＝０．
当ｍ＝１＋３时，ｋ＝２－３ｍ２＝－１０－６３，直线方程为ｙ＝（－１０－
６３）（ｘ－２）；
当ｍ＝１－３时，ｋ＝２－３ｍ２＝－１０＋６３，直线方程为ｙ＝（－１０＋
６３）（ｘ－２）．
１－１（２０１８常州期末，１１）已知函数ｆ（ｘ）＝ｂｘ＋ｌｎｘ，其中ｂ
０５核心素养对学科核心素养的考查以数学运算和逻辑推理为主．
０６关联考点常与方程、不等式、函数零点结合．
０７命题特点综合性强，解法灵活多变，部分试题承担压轴题使命，考查方式越来越灵活．
��
（２）［ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）］ ′ ＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）＋ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）；
[ ] （３）
ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）
′
＝
ｕ′（
ｘ）
ｖ（
ｘ）－ｕ（ｖ２（ｘ）
ｘ）
ｖ′（
ｘ）
（
ｖ（
ｘ）
≠０）
．
对应学生用书起始页码Ｐ４０
利用导数求曲线的切线方程（斜率）

2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第15讲导数的概念及运算含答案 (2)

(sin x) ′＝ cos x； (cos x)′＝－ sin x； (ex)′＝ ex； (ax)′＝ axln a(a>0 ，且 a≠ 1)；
(ln
x)′＝
1x； (log ax)
′＝
1 xlog ae(a>0，且
a≠1)．
法则 1： [ u(x) ±v(x)] ′＝ u′ (x) ±v′ (x)；
5分 12 分
12 分
12 分
5分 12 分
导数及其应用是高考考查的重点和热点内容，在 2014 年至 2018 年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本
部分内容的试题共 19 道，其中客观题 9 道，解答题 10 道，一般是“一小一大”，占 17 分，多时
达到 22 分．
客观题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数求函数的最值，研究函数的零点，
等．试题难度大，每年都将导数综合问题作为压轴题，着重考查化归与转化的思想、函数与方程的
思想、数形结合的思想和分类讨论的思想，考查考生运算求解能力、综合运用知识的能力和分析问
题解决问题的能力．
导数是高中数学中的重要内容，是解决实际问题必不可少的数学工具，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法．由于求导可以解决函数的单调性、极值和最值等问题，这样既丰富了函数的内容，也增大了函数综合题的难度，因此成为高考命题的热点．
1．导数的概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景． (2)通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．导数的运算
(1)能根据导数的定义，求函数
y＝ C(C
为常数
)，
y＝
x，
y＝
1 x
，
y＝
x2，
y＝

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题13 导数的概念及运算含解析

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题13导数的概念及运算最新考纲1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.基础知识融会贯通1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0x x y ='｜，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区(a ，b )间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【知识拓展】1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．重点难点突破【题型一】导数的计算【典型例题】求下列函数的导数（1）y ＝2x 3﹣3x 2﹣4；（2）y ＝xlnx ；（3）．【解答】解：（1）y ′＝6x 2﹣6x ；（2）y ′＝lnx +1；（3）．【再练一题】已知函数f（x）＝e x（2﹣lnx），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）的值为．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x（2﹣lnx）＝2e x﹣e x lnx，其导数f′（x）＝2e x﹣e x lnx，则f′（1）＝2e1﹣e1ln1e，故答案为：e．思维升华导数计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．【题型二】导数的几何意义命题点1求切线方程【典型例题】32．已知曲线C：y＝x3﹣3x2+2x（1）求曲线C上斜率最小的切线方程．（2）过原点引曲线C的切线，求切线方程及其对应的切点坐标．【解答】解：（1）y'＝3x2﹣6x+2＝3（x﹣1）2﹣1，所以，x＝1时，y'有最小值﹣1，把x＝1代入曲线方程得：y＝0，所以切点坐标为（1，0），故所求切线的斜率为﹣1，其方程为：y＝﹣x+1．（2）设切点坐标为M（x0，y0），则y0＝x03﹣3x02+2x0，切线的斜率为3x02﹣6x0+2，故切线方程为y﹣y0＝（3x02﹣6x0+2）（x﹣x0），因为切线过原点，所以有﹣y0＝（3x02﹣6x0+2）（﹣x0），即：x03﹣3x02+2x0＝x0（3x02﹣6x0+2），解之得：x0＝0或．所以，切点坐标为M（0，0）或，相应的切线方程为：y＝2x或即切线方程为：2x﹣y＝0或x+4y＝0．【再练一题】已知函数y＝e x（1）求这个函数在x＝e处的切线方程；（2）过原点作曲线y＝e x的切线，求切线的方程．【解答】解：（1）函数y＝e x，f（e）＝e e，则切点坐标为（e，e e），求导y′＝e x，则f′（e）＝e e，即切线斜率为e e，则切线方程为y﹣e e＝e e（x﹣e），化简得y＝e e x﹣e e+1+e e；（2）y＝e x，y′＝e x，设切点的坐标为（x0，e x0），则切线的斜率为f′（x0）＝e x0，故切线方程为y﹣e x0＝e x0（x﹣x0），又切线过原点（0，0），则﹣e x0＝e x0（﹣x0），解得x0＝1，y0＝e，则切线方程为y＝ex．命题点2求参数的值【典型例题】若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y＝xe x相切，则m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（）C．（0，+∞）D．（）【解答】解：设切点为（x0，y0），过点P的切线方程为，代入点P 坐标化简为m，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到f′（x）＝（﹣x﹣1）（x+2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故得到f（﹣2）＜m＜f（﹣1），即故选：D．【再练一题】已知函数f（x）＝e x+ax2（a∈R），若曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线为l，且直线l在y轴上的截距小于1，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[，+∞）D．（﹣1，）【解答】解：函数f（x）＝e x+ax2的导数为f′（x）＝e x+2ax，可得曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线斜率为e m+2am，即有切线的方程为y﹣（e m+am2）＝（e m+2am）（x﹣m），可令x＝0可得y＝e m﹣me m﹣am2，由题意可得e m﹣me m﹣am2＜1对m＞1恒成立，则a，由g（m）1，由e m﹣me m﹣1+m2＝（1﹣m）（e m﹣1﹣m），由m＞1可得1﹣m＜0，由y＝e x﹣1﹣x的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，y′＞0，函数y递增；当x＜0时，y′＜0，函数y递减，可得y＝e x﹣1﹣x的最小值为e0﹣1﹣0＝0，可得m＞1时，e m﹣1﹣m＞0，则（1﹣m）（e m﹣1﹣m）＜0，即g（m）＜0，则1恒成立，可得a≥﹣1，即a的范围是[﹣1，+∞）．故选：B．命题点3导数与函数图象【典型例题】已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则．【解答】解：f′（x）＝3ax2+2bx+c；根据图象知，x＝﹣1，2是f（x）的两个极值点；∴x＝﹣1，2是方程3ax2+2bx+c＝0的两实数根；根据韦达定理，；∴2b＝﹣3a，c＝﹣6a；∴．故答案为：1．【再练一题】如图所示，y＝f（x）是可导函数，直线l：y＝kx+3是曲线y＝f（x）在x＝1处的切线，若h（x）＝xf（x），则h′（1）＝．【解答】解：∵直线l：y＝kx+3是曲线y＝f（x）在x＝1处的切线，∴点（1，2）为切点，故f′（1）＝k，f（1）＝k+3＝2，解得k＝﹣1，故f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，由h（x）＝xf（x）可得h′（x）＝f（x）+xf′（x），∴h ′（1）＝f （1）+f ′（1）＝1，故答案为：1．思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．基础知识训练1．点P 在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，即切线的斜率范围是，那么倾斜角的范围是，故选A ．2．已知，若，则a 的值等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意知，所以，解得.3．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则（）A ．B．C．D．【答案】B【解析】由题中图象知由导数的几何意义知.∴4．下面说法正确的是（）A．若不存在，则曲线在点处没有切线B．若曲线在点处有切线，则必存在C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在【答案】C【解析】()0,2-的几何意义是曲线在点处切线的斜率．当切线与x轴垂直时，切线斜率不存在，可知选项A，B，D不正确.5．函数在处的导数的几何意义是（）A．在点处的斜率B．在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C．曲线在点处切线的斜率D．点与点连线的斜率【答案】C【解析】由导数的几何意义可知，函数在的导数为曲线在点处的切线的斜率．6．函数在闭区间内的平均变化率为（）A ．B ．C ．20t s =D ．20t s = 【答案】D 【解析】∵，∴该函数在区间内的平均变化率为，故选D.7．若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据导数的定义可知，所以，故选B. 8．已知为的导数，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】．9．【湖南省岳阳市2019届高三第二次模拟考试】曲线处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，所以，且，所以切线方程为，即，此直线与轴、轴交点坐标分别为，所以切线与坐标轴围成的三角形面积是，故选B.10．【河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试】过点引曲线的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设切点坐标为，即.解得，即.故.故选：B11．【甘青宁2019届高三3月联考】若直线与曲线相切，则（）A．3B．C．2D．【答案】A【解析】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，故选A.12．【广东省梅州市2019届高三总复习质检】设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在直线上，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时PR的最小值为，的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时RQ的最小值为，则P，Q重合为，R为，取得最小值为．故选：D．13．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试】已知函数的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】函数的图像上存在关于原点对称的对称点，∴方程，即上有解，∴方程有解．设，且的切线，设切点为，由，则有，解得．由图象可得，要使直线的图象有公共点，则，解得．所以实数的取值范围是．故答案为：．14．【2019年3月高三第一次全国大联考（新课标Ⅱ卷)】若曲线处的切线与直线垂直，则切线、直线轴围成的三角形的面积为____________．【答案】【解析】由题可得，故切线的斜率为，又切点坐标为，所以切线的方程为，因为切线与直线垂直，所以，所以直线的方程为，易得切线与直线的交点坐标为，因为切线轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，所以切线、直线轴围成的三角形的面积为．15．【广东省揭阳市2019届高三一模】在曲线的所有切线中，斜率为1的切线方程为________.【答案】【解析】，所以切点为，切线方程为16．【广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测】曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】【解析】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．17．已知曲线.（1）试求曲线在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线的切线方程．【解析】（1）∵，∴，求导数得，∴切线的斜率为，∴所求切线方程为，即．（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为．又∵所求切线与直线平行，∴，解得，代入曲线方程得切点为或，∴所求切线方程为或，即或．18．在赛车中，赛车位移与比赛时间存在函数关系（的单位为，的单位为）．求：（1），时的与；（2）时的瞬时速度．【答案】（1），（2）【解析】（1）..（2）.当，时，.答：，时的为，为，在时的瞬时速度为.19．求下列函数的导数:(1)f(x)=(x+1)2(x-1); (2)f(x)=2-2sin2;(3)f(x)=; (4)f(x)=2tan x.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】(1)因为f(x)=(x+1)2(x-1)=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,所以f '(x)=3x2+2x-1.(2)因为f(x)=2-2sin2=1+cos x,所以f '(x)=-sin x.(3)f '(x)=.(4)因为f(x)=2tan x=,所以. 20．求满足下列条件的函数.(1) 是三次函数,且(2) 是二次函数,且.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意设则由已知得解得,故(2)由题意设,则．所以,化简得,因为此式对任意x都成立,所以,解得,故.能力提升训练1．【内蒙古集宁一中(西校区)2018-2019学年高二下学期第一次月考】下列式子不．正确的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】对于选项C，，C错误故选C2．【四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期第一次月考】若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()A．1 B．2 C．0 D．－1【答案】C【解析】依题意，令，解得，故选C. 3．【湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考高三】已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】B由题意得，∴函数为奇函数，∴，∴．∴，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选B．4．【吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测（二)】已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.5．【山东省日照市2017届高三下学期第一次模拟考试】曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A．B．C．D．【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为．则直线l方程为，即，可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，在△OAB中，，当且仅当2＝2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选：C．6．【福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次】等比数列中，，函数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，所以，令，则=，故选C7．【四川省双流县棠湖中学2019届高三上学期期末考试】已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，由可得，设公切线在上的切点坐标为，在上的切点坐标为，利用导函数研究函数切线的性质可得：，整理可得：，①结合斜率公式有：，②将①代入②中整理可得：，则的解析式可能为.本题选择B选项.8．【四川省南充市阆中中学2018-2019学年高二3月月考】已知函数(1)求(2)求曲线在点处的切线的方程；【答案】（1）（2）【解析】(1)(2)可判定点在曲线上．在点处的切线的斜率为.切线的方程为即9．【江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2018-2019学年高二上学期期末考试】设函数f（x）=ae x lnx+，（1）求导函数f′（x）（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x﹣1）+2,求a，b．【答案】(1)见解析（2）a=1,b=2【解析】（1）由f（x）=ae x lnx+，得;（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，将x=1代入切线方程得：y=2．将x=1代入函数f（x）得：f（1）=b．∴b=2．将x=1代入导函数，则f'（1）=ae=e．∴a=1．10．【海南省三亚华侨学校2018-2019学年高二上学期第三次月考】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）6x-sinx；；（3）lnx+【解析】（1）y′=6x-sinx（2）y′=故答案为：6x-sinx ；；lnx+。

2020年高考数学(理)一轮复习专题3.1 导数的概念及其运算(讲)(原卷版)

专题3.1导数的概念及其运算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。

知识点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0Δy Δx＝li mΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx li mΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx。

【特别提醒】函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。

(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)。

【特别提醒】曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线。

(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数记作或 .f ′(x 0)0|x x y ＝(2)函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______0αx α－1cos x －sin x a x ln a基本初等函数导函数e xf(x)＝e x f′(x)＝____ f (x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝；[f (x )g (x )]′＝；f ′(x )±g ′(x )[cf (x )]′＝.f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(e －x )′＝－e －x .( )√×××2.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√4.(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 .∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0,1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2a e0＝2a，又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，返回第二部分探究核心题型题型一　导数的运算例1　(1)(多选)下列求导正确的是√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；√思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1　(多选)下列命题正确的是A.若f(x)＝x sin x－cos x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋sin x √B.设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝eC.已知函数f(x)＝3x2e x，则f′(1)＝12e√对于选项A，f′(x)＝sin x＋x cos x＋sin x，故选项A不正确；对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确；对于选项C，f′(x)＝6x e x＋3x2e x，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确；题型二　导数的几何意义命题点1　求切线方程√(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为， .先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是√设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，|x x y ＝又y 0＝ln x 0，又切线方程为y＝kx＋1，(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a(－∞，－4)∪(0，＋∞)的取值范围是.因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝，化简，得＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，00000()e (1)e |x x x x x a y x a x +'=++=＝000(,()e )x A x x a +所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2　(1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是A.2x－y－2＝0B.4x－y－4＝0√C.2x＋y－2＝0D.4x＋y－4＝0当x<0时，f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(－∞，－2]∴－a≥2，即a≤－2.题型三　两曲线的公切线例4　(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为√A.2B.5C.1D.0根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a，又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是√对于y＝ax2有y′＝2ax，令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝，32e 当x ∈ 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32(0,e )当x ∈ 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32(e ,) 32(e )g思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3　(1)(2023·青岛模拟)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝－34ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ .f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，设公共切点的坐标为(x0，y0)，(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有√A.0条B.1条C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝e x－1，有f′(x)＝e x，则直线l的斜率k＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m)，即y＝e m x＋(1－m)e m－1，。

2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题3.1 导数的概念及其运算(讲) 含解析

2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题3.1 导数的概念及其运算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。

知识点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx。

【特别提醒】曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线。

(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数。

2020版高考数学(文)新设计一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念与运算

第一节导数的概念与运算一、基础知识批注——理解深一点 1．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔ0xΔyΔx＝limΔ0x fx0＋Δx－fx0Δx为函数y

＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔ0xΔyΔx＝limΔ0x fx0＋Δx－fx0Δx.

f′(x)与f′(x0)的区别与联系f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0. 2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．曲线y＝fx在点Px0，fx0处的切线是指以P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线. 3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔ0x fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数． 4．导数的运算 (1)几种常见函数的导数 ①(C)′＝0(C为常数)；②(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)； ③(sin x)′＝cos_x；④(cos x)′＝－sin_x；⑤(ex)′＝ex；

⑥(ax)′＝axln_a(a>0，a≠1)；⑦(ln x)′＝1x； ⑧(logax)′＝1xln a(a>0，a≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；

③uxvx′＝u′xvx－uxv′x[vx]2(v(x)≠0)．熟记以下结论： (1)1x′＝－1x2；

(2)1fx′＝－f′x[fx]2(f(x)≠0)； (3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)； (4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算

(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋－
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1，解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)．故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上，点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，

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第三章导数及其应用【真题典例】

§3.1 导数的概念及运算挖命题【考情探究】

考点内容解读 5年考情预测热度考题示例考向关联考点

导数的概念与几何意义

①了解导数概念的实际背景;

②理解导数的几何意义

2018课标全国Ⅰ,6,5分曲线的切线方程直线方程的求解

★★★ 2018课标全国Ⅱ,13,5分曲线的切线方程直线方程的求解 2017课标全国Ⅰ,14,5分曲线的切线方程函数的奇偶性 2016课标全国Ⅲ,16,5分曲线的切线方程函数的奇偶性 2015课标Ⅰ,14,5分由切线方程求参数直线的斜率

导数的运算

①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y= 的导

数;

②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

2016天津,10,5分导数的运算求导公式及求导法则的运用

★☆☆ 2015天津,11,5分导数的运算求导公式及求导法则的运用

2018天津,10,5分导数的运算求导公式及求导法则的运用

分析解读本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点. 1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.

2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合出题考查. 3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题. 破考点【考点集训】考点一导数的概念与几何意义 1.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 . 答案 2x-y-2=0

2.(2017湖南衡阳八中期中,14)曲线f(x)=xex在点(1,f(1))处的切线的斜率是 . 答案 2e

考点二导数的运算 1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln ,则f(1)=( ) A.-e B.2 C.-2 D.e 答案 B

2.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( ) A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x2 C.f(x)=1+sin 2x D.f(x)=ex+x 答案 C

3.(2019届陕西延安模拟,7)已知函数f(x)= +sin x,其中f '(x)为函数f(x)的导数,则f(2 018)+f(-2 018)+f '(2 019)-f '(-2019)=( ) A.2 B.2 019 C.2 018 D.0 答案 A

4.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,10)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f '[f(0)(x)], f(2)(x)=f '[f(1)(x)],……, f(n)(x)=f '[f(n-1)(x)],则f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(2 017)(15°)的值是( )

A. B. - C.0 D.1 答案 A 炼技法

【方法集训】方法1 求函数的导数的方法 1.(2018湖南邵阳三模,4)已知函数f(x)=f '(-2)ex-x2,则f '(-2)=( ) A. - B. - C. - D. - 答案 D 2.(2019届福建福州模拟,4)已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y= x+2,则f(1)+f '(1)的值等于( )

A.1 B. C.3 D.0 答案 C

方法2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 1.(2019届黑龙江东安模拟,5)设点P是曲线y=x3- x+ 上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( ) A. B. ∪

C. D. 答案 B 2.(2017山西孝义模拟,14)曲线f(x)=x2过点P(-1,0)的切线方程是 . 答案 y=0或4x+y+4=0 3.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值是 . 答案 3

过专题【五年高考】 A组统一命题·课标卷题组 1.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案 D

2.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 . 答案 x-y+1=0

3.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 答案 y=2x

4.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= . 答案 1

5.(2018课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)= - . (1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当a≥1时, f(x)+e≥0. 解析本题考查导数的几何意义、导数的综合应用.

(1)f '(x)=- - , f '(0)=2. 因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0. (2)当a≥1时, f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x. 令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g'(x)=2x+1+ex+1

当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以g(x)≥g(-1)=0. 因此f(x)+e≥0.

B组自主命题·省(区、市)卷题组

考点一导数的概念与几何意义

1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 答案 A

2.(2017天津,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 . 答案 1

3.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 . 答案 (e,e)

考点二导数的运算 1.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 . 答案 e

2.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为 . 答案 3

3.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f '(x)为f(x)的导函数.若f '(1)=3,则a的值为 . 答案 3

C组教师专用题组

1.(2010课标全国,4,5分)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 答案 A

2.(2012课标全国,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 . 答案 y=4x-3

3.(2013江西,11,5分)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= .

答案 2

4.(2013广东,12,5分)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= . 答案

5.(2011课标,21,12分)已知函数f(x)= + ,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x+2y-3=0. (1)求a,b的值; (2)证明:当x>0,且x≠1时, f(x)> - .

解析 (1)f '(x)=

- .

由于直线x+2y-3=0的斜率为- ,且过点(1,1),

故 - 即

- 解得a=1,b=1.

(2)证明:由(1)知f(x)= + ,

所以f(x)- - = - - .

考虑函数h(x)=2ln x- - (x>0),

则h'(x)= - - -

=- - . 所以当x≠1时,h'(x)<0. 而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得

h(x)>0;

当x∈(1,+∞)时,h(x)<0, 可得

h(x)>0.