运筹学 整数规划建模共36页

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运筹学-整数规划建模

运筹学-整数规划建模

• 该部门现有资金10万元,问它应如何确定给这 些项目的每年投资额,使到第 5 年末拥有的资 金本利总额为最大? 8
解:1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i =1,2,3,4,5)分别表 示第 i 年年初给项目A,B,C,D的投资额;
变量: 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x1B x2B x3B x4B x5B C x2C D x3D
设决策变量xj为对第j个方案的取(xj=1) 或舍(xj=0),可得到下列整数规划问题, 是0—1规划。
yj
x yj
yj
xij 为整数
例.某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A:每年年初可以投资,于次年末回收本利 115% ,投资金额必须为1万元的整数倍; • 项目 B :每年初可购买公债,于当年末归还,并加利 息6%,投资金额必须为1万元的整数倍; • 项目 C:第2年初可以投资,到第5年未能回收本利 140% ,投资金额必须为1万元的整数倍; • 项目D:第3年初可以投资,到第5年未能回收本利 128% ,如果投资金额必须大于2万元;
B2 顾客 B3 仓库固定 运营费 仓库 A1 仓库 A2
顾客需求量 6 6 150 4 5 150 6 5 200 10 11
6.1.2 建模中常用的处理方法(续)
费用:
fi:动用i仓库的固定运营费(租金等) cij:从仓库i到j顾客运送单位货物的运费 约束条件: i)每个顾客的需要量dj必须得到满足; ii)只能从动用的仓库运出货物。
第j项工作).于是得到一个0--1整数规划问题:
整数规划建模
例.某企业在 A1 地已有工厂,其产品的生产能 力为30 万箱。为扩大生产,拟在 A2,A3,A4, A5地中再选择若干地建厂。已知在 A2 , A3, A4,A5地建厂的固定成本分别为17.5、30、 37.5、50万元,另外, A1产量及A2,A3,A4, A5建成厂的产量,那时销地的销量以及产地到 销地的单位运价(每万箱运费)如右下表所示。 问应该在哪些地方建厂,在满足销量的前提下, 使得其总的固定成 销地 本和总的运输费用 B B B 产量(千吨) 产地 之和最小? A 8 4 3 30

运筹学课件第五章 整数规划

运筹学课件第五章 整数规划

第一节 整数规划的数学模型
解的特点: 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数

max c x Ax b s .t . x 0

1、整数规划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路:切割可行域,去掉非整数点。 解题步骤: 1、不考虑整数约束,解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求,是,则得最优解,完毕。 否则,转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi,构造两个新的约束条 件:xi ≤[bi],xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题,形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求,解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值,则得最优解。否则, 取Z值最大的非整数解,继续分解,Go to 3。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解:令xi=1表示登山队员携带物品i,xi=0表示登 山队员不携带物品i,则得: Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)

数学建模 -整数规划

数学建模 -整数规划
z1 3
松弛问题 L0: max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解:x 3,x 2 1 2
最优值:Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3:xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ,x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2,x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7

19:01
分枝定界法

分枝定界法

(1)分枝:通常,把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集,称为分枝; (2)定界:并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界(对于最小值问题),这称为定界。 (3)剪枝:在每次分枝后,凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝,这样,许多子 集可不予考虑,这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对( IP) max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 ): max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解: x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0

运筹学06整数规划

运筹学06整数规划
0 约束 i起作用 yi = i = 1,2 1 约束 i不起作用
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x2 ≤ 3 + y2 M y1 + y2 = 1
第11页 页
4、价格系数分段定价 、
K j + c j x j , 若x j > 0 C j(xj ) = 若x j = 0 0
工作分配问题数学模型
min s .t . z =
∑∑a
i=1 j=1
m
m
ij
x ij ( i = 1 , 2 , ... , m ) ( j = 1 , 2 , ... , m )
∑ ∑
m
m
j=1
x ij = 1 x ij = 1
i=1
x ij = 0 ,1
B b
−1
b < x < b
r r r
第27页 页
分支的方法: 分支的方法:
min c Τ x Ax = b s.t. x ≥ 0, x为整数
min c Τ x Ax = b s .t . x r ≥ b r x ≥ 0 , x 为整数
min c Τ x Ax = b s.t . x r ≤ br x ≥ 0, x为整数
第30页 页
定界的方法(剪枝) 定界的方法(剪枝) 当前得到的最好整数解的目标函数值 分支后计算放松的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有最好 解 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分支 其中无最优解 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删除该 分支其中无最优解

第八章 运筹学课件整数规划

第八章 运筹学课件整数规划
n
例2、某公司计划在m个地点建厂,可供选择的地 点有A1,A2…Am ,他们的生产能力分别是 a1,a2,…am(假设生产同一产品)。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品,其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设: xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi= (i=1.2…m) 0 不在Ai建厂 m 模型: min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个(后继)问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界(定界):
按照以下两点规则进行: ⑴.在各分枝问题中,找出目标函数
值最大者作为新的上界;
⑵.从已符合整数条件的分枝中,找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 :
各分枝的目标函数值中,若有小于
Z 者,则剪掉此枝,表明此子问题已经 探清,不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) =-56/3≈-18.7 ∵Z2 < Z1=-16 ∴原问题有比 (-16)更小的最优解,但 x2 不是整数,故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件: x2≤3, x2≥4
有下式:
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2

运筹学-1整数规划的数学模型

运筹学-1整数规划的数学模型

xi 0,且取整数, yi 0或1 i 1,2
(2) 由于不同载体所装物品不一样,数学模型为
max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10+My2
(a)
1.8x1 0.6x2 12 My1
(b)
2x1 1.5x1
2.5x2 2x2
25 20
My2 My1
(c) (d )
y1 y2 1 x1, x2 0,且均取整数,
y
0或1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 8 of 15
式中M为充分大的正数。从上式可知,当使用背包时(y1=1,y2=0), 式(b)和(d)是多余的;当使用旅行箱时(y1=0,y2=1),式(a)和(c)是多
运筹学
Operations Research
Chapter 5 整数规划
Integer Programming
1.整数规划数学模型Mathematical Model of IP 2 .分枝定界法 Branch and Bound Method 3. 割平面法 cutting-plane Method 4. 0-1规划 Binary Integer Programming 5. 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 7 of 15
(1) 由于所装物品不变,式(8.1)约束左边不变,整数规划数学 模型为 max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10y1+12y2
2x1 2.5x2 25y1 20y2 y1 y2 1

第七章整数规划模型

第七章整数规划模型

0
1
2
x1
最优解逐步暴露在可行解区域的顶点上。
割平面构造原理涉及到对偶单纯形法,在此不多 加介绍。割平面法有很重要的理论意义,但在实际计 算中没有分支定界效率高,且涉及到对分数的处理, 因此几乎没有给予割平面法的软件。
二、分支定界法
分支定界法的基本思想是根据某种规则将原整数 规划模型的可行域分解为越来越小的子区域,并检查 某各子区域内整数解的情况,直到找到最优的整数解 或证明整数解不存在。根据整数规划模型性质的不同, 存在许多的分支界定法以及分支界定的技巧,在此只 对分支界定的一般原理作一简单的介绍。 在介绍具体算法之前,以下几个重要的实事是容 易理解的:
得到整数规划模型的最优解呢?在上例中整数规划模 T x * ( 3 , 1 ) 型的最优解 ,线性松弛模型的最优解为 1 T 0 T x ( 3 , 2 ) x ( 2.5,2) ,四舍五入得 , x1 不是不是可行解,自然也不是最优解;若将 x 0 取整得 x 2 ( 2,2 )T ,虽然是可行解,但它不是最优解。 由此可见,刚刚的设想是行不通的,事实上整数规划 模型的求解是难题,至今还没有有效的算法(即多项 式算法)。
用LINDO软件解的程序为:
答案为:最优决策变量 目标函 数最优值为22。 (跳跃式成本模型) 设两种产品A和B每公 斤价格为10元和7元,每公斤需要的加工工时 为6小时和4小时,成本和工时的关系如图7.1所 示,要求建立一整数规划模型,是利润最大。 解 设两种产品的产量分别为 公斤, 设工时在2000以内为第一范围,2000到3000小 时为第二范围,3000到5000小时为第三范围。 再设当工时在第j范围内时, (j=1,2, 3)。则模型为:
x2
3 2

运筹学 第4章 整数规划

运筹学 第4章  整数规划

第四章整数规划整数规划(Integer Programming)主要是指整数线性规划。

一个线性规划问题,如果要求部分决策变量为整数,则构成一个整数规划问题,在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。

整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支,根据整数规划中变量为整数条件的不同,整数规划可以分为三大类:所有变量都要求为整数的称为纯整数规划(Pure Integer Programming)或称全整数规划(All integer Programming);仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划(Mixed Integer Programming);有的变量限制其取值只能为0或1,这类特殊的整数规划称为0-1规划。

本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0-1规划及指派问题。

第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中,得到的最优解往往是分数或小数,但在有些实际问题中要求有的解必须是整数,如机器设备的台数、人员的数量等,这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束,即要求变量中某些或全部为整数,这样的线性规划称为整数规划(Integer Programming)简称IP,是规划论中的一个分枝。

整数规划是一类特殊的线性规划,为了满足整数解的条件,初看起来,只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。

当然在变量取值很大时,用上述方法得到的解与最优解差别不大,当变量取值较小时,得到的解与实际最优解差别较大,当变量较多时,如n=10个,则整数组合有210=1024个,而且整数解不一定在这些组合当中。

先来看下面的例子。

例4.1某工厂生产甲、乙两种设备,已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B,有关数据如下,问这两种设备各生产多少使工厂利润最大?表4-112量都要求为整数,建立模型如下:2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解,首先不考虑整数约束条件④,用单纯形法对相应线性规划求解,其最优解为:x 1=3.25 x 2=2.5 max z =14.75由于x 1=3.25,x 2=2.5都不是整数,不符合整数约束条件。

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