对数与对数函数专题

对数与对数函数专题

1. 对数的概念

如果a x＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2. 对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：① a log aN＝N；②log a a b＝b（a>0，且a≠1）.

（2）对数的运算法则

如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么

①log a（MN）＝log a M＋log a N；②log a N M＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M（n∈R）；

n n

④log a m M n＝m log a M（m，n∈R，且m≠0）.

log a N

（3）换底公式：log b N＝log a b（a，b均大于零且不等于1）.

3. 对数函数及其性质

（1）概念：函数y＝log a x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0 ，＋∞）.（2）对数函数的图象与性质

4. 反函数

指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x

对称.

1. 换底公式的两个重要结论

1 n

n

(1)log a b ＝ ； (2)log a m b n ＝ log a b .

a log

b a a m a

其中 a >0，且 a ≠1， b >0，且 b ≠1， m ， n ∈ R.

2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 . 1

3.

对数函数 y ＝log a x (a >0，且

a ≠1)的图象过定点 (1 ， 0) ，且过点 (a ，1)， ，－1 ，函数图象只在第 a

四象限 . 【疑误辨析】

1. 判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×”) 2

(1) log 2x ＝ 2log 2x .( )

(2) 函数 y ＝log 2( x ＋1)是对数函数 .( )

1＋ x

(3) 函数 y ＝ln 与 y ＝ ln(1 ＋x ) －ln(1 － x )的定义域相同 .( )

1－ x (4) 当 x >1时，若 log a x >log b x ，则 a

【教材衍化】

1

1 1

2. ( 必修 1P73T3改编)已知 a ＝2 3 ， b ＝log 23，c ＝log 13，则( ) 3

23

4. 计算 log 29×log 34＋ 2log 510＋ log 50.25 ＝ ( ) A. 0 B.2 C.4 D.6

5. (2019 ·上海静安区检测 )已知函数 y ＝log a (x ＋c )( a ，c 为常数，其中 a >0，且 a ≠1)的图象如图，则下列

结论成立的是 ( )

A. a >b >c

B.

a >c >

b C.

c >b >a D. c >a > b

3.( 必修 1P74A7改编 ) 函

数

log 2(2 x － 1)的定义域

是

a>1，01 D.0< a<1，0

2

6. ___________________________________________________________________(2018 ·全国Ⅰ卷)已知函数f ( x) ＝log 2( x2＋a).若f (3) ＝1，则a＝____________________________________

【考点聚焦】考点一对数的运算

例1】(1) 计算：lg 41－lg 25 ÷100－21＝

2

1－log 63)2＋log 62

·log

618 log

64

【规律方法】 1. 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2. 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3. ab ＝N? b＝logaN(a>0 ，且a≠1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化【训练1】(1) 若lg 2 ，lg(2 x＋1) ，lg(2 x＋5)成等差数列，则x 的值等于( )

11

A.1

B.0 或

8 C.8

D.log 23

(2)(2019

·成都七中检测) 已知

a>b>1，

5

若log a b＋log b a＝

，

a b＝

b a，则a＝ __ ___，b＝

考点二对数函数的图象及应用

例2】(1)(2019 ·潍坊一模)若函数f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝log a(| x|－

A. a>1，c>1

B.

(2) 计算：

(2) 当 x ∈(1 ， 2)时，不等式 ( x － 1) 2

1

A.(0 ，1)

B.(1

，2) C.(1 ， 2] D. 0，2

取值范围是

考点三 对数函数的性质及应用 多维探究 角度 1 对数函数的性质

【例 3－1】 已知函数 f (x )＝ln x ＋ ln(2 －x )，则 ( )

A.f ( x )在(0 ，2)上单调递增

B.

f (x )在(0，2)上单调递减

C.y ＝f ( x )的图象关于直线 x ＝1对称

D.

y ＝f (x )的图象关于点 (1 ， 0)对称

角度 2 比较大小或解简单的不等式 1

【例 3－2】 (1)( 一题多解)(2018 ·天津卷 )已知 a ＝log 2e ，b ＝ln 2 ， c ＝ log 1 ，则 a ，b ，c 的大小关系为 23

( ) A. a >b >c

B.

b >a >

c C. c >b >a D. c >a >b

2

(2) 若 log a (a 2＋1)

11

A.(0 ，1)

B.

，

2

C.

2

，

1

D.(0 ，1) ∪(1 ，＋∞)

角度 3 对数型函数性质的综合应用 【例 3－3】 已知函数 f ( x ) ＝ log a (3 －ax ).

(1) 当 x ∈[0 ，2] 时，函数 f ( x )恒有意义，求实数 a 的取值范围；

规律方法】

1. 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点 ( 与坐标轴的交

点、最高点、 最低点等 ) 排除不符合要求的选项

2. 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题， 利用数形结合法求解

训练 2】 (1)(2018 ·湛江模拟 ) 已知函数 f (x )＝log a (2 ＋b －1)( a >0， a ≠1)的图象如图所示，则 a ，b 满

b

－1

D.0<

－1 －1 a

－

－

<1

(2)(2019 ·日照一中调研 ) 已知函数 f(x)

2x ， x<1， log2x ， x ≥

若方程 f(x) －a ＝0 恰有一个实根，则实数 a 的

－1

b

<1

C.0<