第21章《二次根式》复习课课件.ppt

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二次根式的ppt课件

将二次根式化简成最简二次根式，即根号内不含能开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根式进行变形，如平方差公式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行估算，比较大小，求取值范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最简二次根式，其关键是将根号下的被开方数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有变量的表达式，其一般形式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进行四则运算，运算顺序先乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式、平方差公式以及多项式展开等知识点。

第21章二次根式单元复习PPT课件

（1）． a 0 （ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
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8（１） ( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1 （３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
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1
6 . 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义
则
1- x ≠0
x≥0
解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义
第9页/共46页
7、能使二次根式 ( x 2)2 有意义的实数
x的值有（ B ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
第10页/共46页
梳理二．二次根式的性质
×× √
××
2
x2 y,
ab,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
第18页/共46页
梳理六 .同类二次根式的定义。几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。
第19页/共46页
19.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0；根指数为2.
第2页/共46页
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（2）. a可以是数,也可以是式.
（3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
（4）. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)

华东师范大学出版,九年级数学上册,21章《二次根式》小结复习课件(PPT共25张)

4. ab a （ b a 0, b 0）
a a 5. （a 0, b＞0） b b
a 与 a
2
2

2
1.从运算顺序来看
a 先开方,后平方
a
2
3.从运算结果来看
先平方,后开方
2
想一想：当a ____ ≥0 时，
2.从取值范围来看
a
a
2
a≥0
a取任何实数
a
＝(2 3 6 )2 (3 2 )2
＝ 12 12 2 6 18 ＝ 12 2
8.
x x2 4 x x 4
2

x x2 4 x x 4
2
x
2
解：原式＝
( x x 2 4 )( x x 2 4 ) ( x x 2 4 )( x x 2 4 ) 2 x ( x x 2 4 )( x x 2 4 ) ( x x 2 4 )( x x 2 4 )
3 1 3 3 4 3 4 3 把a 3 1代入得： 3 3 1 1 3
巩固练习
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.当x
≤3 时， 3 x有意义 . a=4 .
2.若 a 4 4 a有意义的条件是
3.求下列二次根式中字母的取值范围 1 x 5 说明：二次根式被开方数 3x
＝x 2 x 2
题型4:二次根式的求值.
9.先将（ 1 x）（ 1 x）化简，然后选一个合适的x值，代入化简后的式子求值.
解：原式 1 （ x） 1 x
x 0, x 0
取x 1 原式 1 1 0

华师版九年级上册数学同步课件-第21章- 复习课

对于二次根式的理解： ①带有根号；②被开方数是非负数,即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.
2.二次根式的性质
2
a aa 0;
a a 0，
a2
a
a a＜0 .
知识梳理
3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含__分__母___； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方___的因数或因式．
4．二次根式的运算 a
a b ＝__a_b___(a≥0，b≥0)； a ＝___b_(a≥0，b>0)．
b
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，
再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
题型1 确定二次根式中字母的取值范围
题型突破
1. 当x __≤_3__ 时，二次根式 3 x 有意义.
2
2. a 5 5 a有意义的条件是 a=5 .
3.求下列二次根式中x的取值范围.
x5 1 3 x
解：由题意，得
x 5 0,
3
x＞0，
解得 - 5≤x＜3.
说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）.
题型2 二次根式的非负性
题型突破
1.已知x、y为实数,且 x 3 +3(y-4)2 =0,则x-y的值为( D )
形的面积.
解：1由题意，得
2 a 0,a
2， b 2.
b 2 0.
（2）若a为腰,b为底,此时底边上的高为（ 2）2 1 1.
∴三角形的面积为 1 21 1.

华东师大版九年级上册第21章二次根式单元复习课件(共14张)

9、 1 x x2 8x 16的最小值是_____，此时x的取值范围是____.
三、二次根式运算
乘法：a • b ab(a 0)
次
根
除法：a a (a 0,b 0)
式
bb
运算
a a (a 0,b 0) bb
加减法：合并同类二次根式
混合运算
1、计算
（1） 1 108 3
(2) 2a 1 a 8
(3) 6 1 1 7 49
(4)3 1 • 2x3 x
（5） 75 3 （6） 24
23 （7）1 1 1
26 （8） 3a3 a (a 0)
27
2、化简
（1） 300 （2） 200a5b4c3
(3) 292 212 (4) (4) (9)
5、如图，已知a,b, c在数轴上的位置，化简： a2 (b c)2 ( c )2 (c a)2
ba
0c
6、
当1 x 2时，化简 x2 2x 1 x2 6x 9
7、已知a满足2009 a a 2010，求a 20092的值
8、若化简1 x x2 8x 16的结果是2x 5，则的取值范围_____
2、化简下列各式：
（1）（ 0.3）2；（2）（ 2）2；（3）（ - 2 3）2；（4）（- 5 ）2
7
2
3、
已知 x2 8x 16 x2 -12x 36，化简：（2x 8)2 2 x 6
4、已知ABC，a,b, c分别是三角形的三边，试化简： (a b c)2 2 c a b
4x
4、下列各组二次根式中，每一组都有一个二次根式与其他的二次根式不同，你能把这个二次根式找出来吗？
（1） 2, 3, 8, 13 (2） 2 ，1，2x , 15 22 (3) x y , 2x2 y , x2 y2 , xy (4) 26, 8xy , x2 y , x2 y 4

华东师大版数学九年级上册第21章二次根式复习课件

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本章总结提升
【归纳总结】根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，据此列出不等式（组）即可求出被开方数中所含字母的取值范围，但还要注意题中的其他限制条件，如分母不为0等。
本章总结提升
二次根式的性质
二次根式有哪些性质？它们之间有什么区别和联系？
例已知实数 a、b、c 在数轴上对应的点的位置如图 22－1－1 所示，
3.化简二次根式的方法.
三、二次根式的化简
二次根式的化简要求满足以下两条： 1.被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是
说“被开方数不含分母”。 2.被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就
是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。像这样的二次根式称为最简二次根式。
二次根式运算的步骤：
本章总结提升
【归纳总结】二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便。
谢谢
化简求值问题的一般要求是什么？分母有理化的根据是什么？
例化简求值：(a－a b－a＋b b)÷aa2－＋bb2，其中 a＝1－ 3，b＝1＋ 3。
[解析]先按分式的运算法则计算化简，再代入求值。
本章总结提升
解：(a－a b－a＋b b)÷aa2－＋bb2 ＝a（（a＋a－bb））－（ba（＋ab－）b）÷aa2＋－bb2 ＝（a－ba）2＋（ba2 ＋b）·aa2－＋bb2 ＝a＋1 b 当 a＝1－ 3，b＝1＋ 3时，原式＝12。
[解析] 原式＝3 2＋2－2 2＋1－ 2＋2＝5。
本章总结提升

九年级数学上册第21章期末复习-二次根式课件人教新课标版

求3x+4y的值。
三、二次根式的性质
1.( a )2 aபைடு நூலகம்(a 0)
2.
a2
a a
(a (a
0) 0)
例3、计算
(1)( 2 )2 3
(2)(1 6)2 2
(3)(2 3)2 (4)(3 x )2
变式应用
1、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件
是（ D ）
A.a 1 B.a 1 C.a 1 D.a 1
(3) 4 15 ( 1 5) 2
(4) 10x 101 xy
变式应用
1、 x2 16 x 4 x 4 成立的条
件是 x 4 。
3、商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0) bb
4、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
例3、计算
(1) 40 45
互为相反数，求a、b的值。
例6、化简 ( x 4)2 (x 2)2
四、二次根的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
例1、化简 (1) 16 81
例2、计算
(2) 2000
(1) 21 7
(2)3 5 2 15
例2、计算
(1)(3 2 4 5)2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
变式应用
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , 3 2
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2 的值。
例1、计算
(1)2 18 1 18 1 32

九年级数学上册第21章二次根式章末复习备选课件华东师大级上册数学课件

12/8/2021
第五页，共十五页。
二次根式(gēnshì)运算的步骤:
先把各个二次根式化成最简二次根式；再把同类二次根式合并.（注意(zhù yì):被开方数不相同的二次根式不能合并）
注意点:
(1)当二次根式的被开方数中含有字母时, 应充分注意式子中所含字母的取值范围. (2)进行二次根式的乘除运算或化简, 最终结果定要尽可能化简.
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第十页，共十五页。
随堂练习
B
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32
B. 24 C. 1 2 5 D. 6 1
27
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第十一页，共十五页。
3.如果最简二次根式 m 1 5 与 m n
是同类二次根式,求m、n 的值.
m=3,n=-2,-7,-12……
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第六页，共十五页。
1:从运算顺序来看, ( a)2与a2的区别
a 2先开方,后平方
a 2 先平方,后开方
2.从取值范围(fànwéi)来看,
2 a
a≥0
a2
3.从运算结果来看:
a取任何(rènhé)实数
a 2 =a
a 2 =∣a∣ =
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a (a≥ 0) -a (a≤0)
第十二页，共十五页。
1.若x 1 ,则 x2 2x1( D )
2 1
A. 2
B. 2 2
C.2 2
D.2
2. 已知：x2 y2 19, xy3,
求 x y 的值。 5
yx
3
3
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第十三页，共十五页。
课堂小结

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二次根式复习课
a 0a 0 ( a)2 a(a 0)
形如 a (a 0) 叫做二次根式
定义
最简二次根式
性质
二次根式
a2 | a |
运算
二次根式的乘除
二次根式的加减
知识点1：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做
二次根式，事实上 a 表示非负数的算术平方根。
尝试计算
( 4)2 4
(
1 )2
1 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
2 a a (a≥0)
尝试计算
42 4
1 2
3
1 3
0.012 0.01
02 0
a2 a (a≥0)
尝试计算
(4)2 4
(0.01)2 0.01
1 2 3
1 3
a2 a (a ＜ 0)
知识点3：二次根式的性质
1.( a )2 a (a 0)
2.
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
1、计算
(1)( 2 )2 3
(3)(2 3)2
(2)(1 6)2 32 2 3.14 2
3、 24n是整数，则正整数的最小值是（）
A4
B5
C6
D7
（2）分母不能为0。
变式训练：
1、若代数式 m 2 是二次根式，则m的取
值范围是
。
2、如果式子 m 1 有意义，则坐标系中
mn
点P（m，n)的位置在第（）象限。
知识点2：二次根式的非负性：
因为a 0,所以总有 a 0。
若 a 1 (b 2)2 0,则a b
变式训练：
当x为何值时， 2x 1 3 的值最小？最小值是多少？
42
93
16 4
25 5
将猜想的规律用含自然数n(n≥1)的式子表示出来：
3、已知x 7 3 , y 7 3 ,
2
2
求x2 xy y2的值。
4、二次根式的化简有时可采用化去分母中的根号来进行，如：
1、 3 3 2 6
2 2 2 2
2、 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 2 12
2 1 2 1
2 1
请仿照以上方法，化简以下各式：
(1) 3 5
(2) 1 3 2
5、如图，四边形ABCD中，
∠A=∠BCD=Rt∠，已知∠B=450，
AB= 2 6 CD= 3 求（1）四边形ABCD的周长；
（2）四边形ABCD的面积。 C
D
A
B
正确答案为
2
32 32 2 3
例3；对于题目“化简并求值2a a2 6a 9,其中a 3
小明的解答是：原式 2a a 32 2a a 3 3a 3 6
小明的解答对吗？
在化简 a2时，忽视被开方数的正负值而导致错误
例4，计算 ab a 1 ab 1 ab
2
3 2 3 2
2
2 32 6 252 6
中考新型题
1、(1)如图，在数轴上点 A 和点 B 之间
表示整数的点有__4____个．
(2)式子a - 1化简的结果为
a
A. a B. a C. a D. a
2、观察分析下列数据，按规律填空：
1 3 1 , 1 5 2 , 1 7 3, 1 9 4 ,
a
忘记乘除是同一级运算，应按从左到右进行。
正确答案是原式 ab 1 1 b ab
aa a a
例6，计算
3
2
2
2
3
2
2 325
括号前面是负号，去括号时每一项要改变符号。
例5、计算 5 2 5 7 5 2 5 2 7 5 2 7
运用完全平方公式丢项出错
正解原式
(3)3 1 3
(4) 4 1 9
(5) 0.2
变式训练：已知b＞0,化简 a3b 的结果是（）
A. a ab B. a ab C.a ab D.a ab
二次根式的化简，最终要化为最简二次根式。
回顾：什么叫最简二次根式？
知识点5：最简二根式：符合下面2个条件的二次根式叫最简二次根式 1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式
18
8
2
(2) 12 3 3 2
(3)(4 3 3 2)(4 3 3 2)
(4)( 2 1)2
方法：类似于整式的混合运算
在二次根式的运算或化简中常见错误：
例1：化简
72 98 3 8
化简不彻底，结果不是最简二次根式
正确答案为 72 36 2 6 2
例2：化简：
2 32 32
下列各式中，最简二次根式是（）
(1) 4x (2) 1.5 (3) x2 2 (4) a3 a2
知识点6：二次根式的加减
计算： (1)2 3 3 12 6 1 3
(2) 1 4x 6 x 3x 1
2
4
x
二次根式加减的步骤：先化简，再合并
知识点7：二次根式的混合运算
1、计算 (1)
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1√ 42
x3 24
√
x2√ 25
56
32
√
二次根式必须具备以下2个条件：
（1）必须有二次根号；
（2）被开方数必须保证大于或等于0。
2、x取什么实数时，下列式子有意义？
1 2 x2 x2 23 x 1
x2
式子有意义的条件是：
（1）被开方数大于或等于0。
知识点4：二次根的乘除 1、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0) 反过来： ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
反过来： a a (a 0,b 0) bb
1、计算： 1 2 8
2 48 6
2、化简 (1) (16)(81) (2) 40
变式训练
1、实数a在数轴上的位置如图所示，化简:
a 3 a2 4a 4
0 1 2 a3
2、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件是（ D ）
A.a 1 B.a 1 C.a 1 D.a 1
3、已知x=2.5,化简：
(x 2)2 x 4
4、已知a,b, c为△ABC的三边长,
化简 (a b c)2 (b a c)2