第四章 数学规划问题(中文)
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i=1 m
j=1 m
i = 1,2,, m j = 1,2,, n
i=1 xij , yi ≥ 0,且xij , yi : 整数
i = 1,2,, m; j = 1,2,, n
所有的变量都是整数的规划， 称整数规划问题为纯 整数规划问题。 解此类问题的方法有： ①分枝定界算法； ②割平面法；③分解方法；④松弛方法；⑤群论方法； ⑥动态规划法等。
s.t.
线性规划问题：若干个等式或不等式约束下的优化问题。 求解：单纯形法
§2. 非线性规划
实例一
元件是在 A 点铰支的钢管。在 A 点，结构受到垂直
负荷载 2P。设已选定管壁厚度为 h，跨度为 2b。试选择钢管 的平均直径 D 与架高度 H，使杆件既不屈服又不失平稳，而 且架的总重量最轻。
2 2 min W= 2Dh (b h )
２．多目标规划模型
•
在许多客观实际问题中，要达到的目标往往 不止一个。例如，设计导弹时既要使其射程最远 有要燃料最省，还要精度最高。这类含有多个目 标的优化问题称为多目标规划问题。
实例 设市场上有香蕉、苹果、葡萄三种水果， 其单价分别为 4.2 元/千克，2.4 元/千克，2.2 元/千 克。现在某单位要筹办一次节日茶话会，要求买水 果的重量不少于 10 千克，香蕉、苹果的总和不少 于 6 千克，现共有 30 元钱，问如何确定最好的购 买方案。
设x1 , x2 ,x3 分别为购买香蕉、 苹果、 葡萄三种水果 的重量。用于买水果的总钱数为 y1 ,所买的水果的总量
y y y 2 1 为 ，自然，我们希望 取最小值， 2 取最大值。
约束条件为
s.t.
假设 ①因为出售的树木，价值与树木的高度有关，所以 我们把树木生长情况用高度区间来表示，即高度用h1, h2, …, hn, …表示。这样就可用下表表示各确定高度区间 与价格之间的关系。
级别 1(幼苗) 2 3 … n 价格 P1=0 P2 P3 … Pn 高度区间 [0, h1) [h1, h2) [h2, h3) … [hn-1, ∞)
Ｙ=(y1, y2, …, yn)T为收获向量。故 y１+y２+…+yn 就是收获的总数，从而补种向量为 Ｒ＝（y１+y２+…+yn, 0, …, 0)T
依据维持每年收获的原则，有 生长期未状态－收获＋新的幼苗替换＝生长期状态 即 Ｚ－Ｙ＋Ｒ＝Ｘ
y2 y3 yn g1x1 y g x g x 1 1 2 2 2 y3 g 2 x2 g3 x3 yn1 g n2 xn 2 g n1xn 1 yn g n1xn 1
因为yi≥0，i=1, 2, …, n。可推出
g1x1 g 2 x2 g n1xn1 0
设收获的总价值为Ｍ，则有
M P2 y2 P 3 y3 P n yn
利用前面的方程组及上式，我们得到
M P 2 g1x1 ( P 3 P 2 ) g2 x2 ( P n P n1 ) gn1xn1
1 2
P(b 2 H 2 ) 2 E(D 2 h 2 ) DhH 8(b 2 H 2 ) 1 P(b 2 H 2 ) 2 y s.t. DhH D1 D D2 , H 1 H H 2
1 2
• 非线性规划问题求解比较复杂： •① 用线性规划、二次规划来逐步逼近 非线性规划的方法；②随机试验法等； • ③ 可行方向法、凸单纯形法等； • ④ SUMT外点法、SUMT内点法、乘子法等。
4．整数规划模型
Ai 的单价为 Pi 实例四 某工厂需要 m 种设备A1 ，A2 ，…， Am ，其中
元，该厂
ai 台（i=1，2，…，m） 已有第 i 种设备 。今有资金 M 元可用于购置这些设备，
该厂有 n 处可安装这些设备，B j 处最多可安装 b j
B j 处， 台， 一台设备 Ai 安在
（２）建模及计算 设向量Ｚ表示经过一个生长期后，森林中树木高度的 分布。则有
Z (( 1 g1 )x1 , g1x1 ( 1 g 2 )x2 , g 2 x2 ( 1 g3 )x3 , , g n2 xn2 ( 1 g n1 )xn1 , g n1xn1 xn )T
经济效益为 C ij 元，问应如何购置和安装这些设备，才有使总经济效益最高。
yi 设 x ij 表示设备 Ai 安在B j 处的台数，
置 Ai 的台数，Z 表示总的经济效益。
表示购
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max
Z C ij x ij
i 1 j 1
m
n
xij ≤ yi + ai ∑
s.t .
n
xij ≤ b j ∑ Pi yi ≤ M ∑
max
M P2 g1 x1 ( P3 P2 ) g 2 x2 ( Pn Pn 1 ) g n 1 xn 1 x1 x2 xn S g1 x1 g 2 x2 g n 1 xn 1 0 x 0 i 1,2,, n i
②假设树木经过一个生长期后被砍伐，再就地补种幼 苗，其状态和初始状态相同。 ③设树木总和为Ｓ。设X=(x1, x2, …, xn)T为初始树木向 量，因此有
x1 x2 xn S
④假设在一个生长期内树木至多只能生长一个高度级。 设gi (i=1, 2, …, n-1)是生长参数，即第i级的数目进入第i+1 级的比例数。
第四章 数学规划
线性规划模型
实例一 合理伐木
森林中的每年都要有一批被砍伐出售，为了使这片森 林不被耗尽而且年年都能有收获，每砍伐一棵时，应该就 地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的 树木，其价值取决于树木的高度，我们希望能够找到一个 方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能获得最 大的经济价值？
j=1 m
i = 1,2,, m j = 1,2,, n
i=1 xij , yi ≥ 0,且xij , yi : 整数
i = 1,2,, m; j = 1,2,, n
所有的变量都是整数的规划， 称整数规划问题为纯 整数规划问题。 解此类问题的方法有： ①分枝定界算法； ②割平面法；③分解方法；④松弛方法；⑤群论方法； ⑥动态规划法等。
s.t.
线性规划问题：若干个等式或不等式约束下的优化问题。 求解：单纯形法
§2. 非线性规划
实例一
元件是在 A 点铰支的钢管。在 A 点，结构受到垂直
负荷载 2P。设已选定管壁厚度为 h，跨度为 2b。试选择钢管 的平均直径 D 与架高度 H，使杆件既不屈服又不失平稳，而 且架的总重量最轻。
2 2 min W= 2Dh (b h )
２．多目标规划模型
•
在许多客观实际问题中，要达到的目标往往 不止一个。例如，设计导弹时既要使其射程最远 有要燃料最省，还要精度最高。这类含有多个目 标的优化问题称为多目标规划问题。
实例 设市场上有香蕉、苹果、葡萄三种水果， 其单价分别为 4.2 元/千克，2.4 元/千克，2.2 元/千 克。现在某单位要筹办一次节日茶话会，要求买水 果的重量不少于 10 千克，香蕉、苹果的总和不少 于 6 千克，现共有 30 元钱，问如何确定最好的购 买方案。
设x1 , x2 ,x3 分别为购买香蕉、 苹果、 葡萄三种水果 的重量。用于买水果的总钱数为 y1 ,所买的水果的总量
y y y 2 1 为 ，自然，我们希望 取最小值， 2 取最大值。
约束条件为
s.t.
假设 ①因为出售的树木，价值与树木的高度有关，所以 我们把树木生长情况用高度区间来表示，即高度用h1, h2, …, hn, …表示。这样就可用下表表示各确定高度区间 与价格之间的关系。
级别 1(幼苗) 2 3 … n 价格 P1=0 P2 P3 … Pn 高度区间 [0, h1) [h1, h2) [h2, h3) … [hn-1, ∞)
Ｙ=(y1, y2, …, yn)T为收获向量。故 y１+y２+…+yn 就是收获的总数，从而补种向量为 Ｒ＝（y１+y２+…+yn, 0, …, 0)T
依据维持每年收获的原则，有 生长期未状态－收获＋新的幼苗替换＝生长期状态 即 Ｚ－Ｙ＋Ｒ＝Ｘ
y2 y3 yn g1x1 y g x g x 1 1 2 2 2 y3 g 2 x2 g3 x3 yn1 g n2 xn 2 g n1xn 1 yn g n1xn 1
因为yi≥0，i=1, 2, …, n。可推出
g1x1 g 2 x2 g n1xn1 0
设收获的总价值为Ｍ，则有
M P2 y2 P 3 y3 P n yn
利用前面的方程组及上式，我们得到
M P 2 g1x1 ( P 3 P 2 ) g2 x2 ( P n P n1 ) gn1xn1
1 2
P(b 2 H 2 ) 2 E(D 2 h 2 ) DhH 8(b 2 H 2 ) 1 P(b 2 H 2 ) 2 y s.t. DhH D1 D D2 , H 1 H H 2
1 2
• 非线性规划问题求解比较复杂： •① 用线性规划、二次规划来逐步逼近 非线性规划的方法；②随机试验法等； • ③ 可行方向法、凸单纯形法等； • ④ SUMT外点法、SUMT内点法、乘子法等。
4．整数规划模型
Ai 的单价为 Pi 实例四 某工厂需要 m 种设备A1 ，A2 ，…， Am ，其中
元，该厂
ai 台（i=1，2，…，m） 已有第 i 种设备 。今有资金 M 元可用于购置这些设备，
该厂有 n 处可安装这些设备，B j 处最多可安装 b j
B j 处， 台， 一台设备 Ai 安在
（２）建模及计算 设向量Ｚ表示经过一个生长期后，森林中树木高度的 分布。则有
Z (( 1 g1 )x1 , g1x1 ( 1 g 2 )x2 , g 2 x2 ( 1 g3 )x3 , , g n2 xn2 ( 1 g n1 )xn1 , g n1xn1 xn )T
经济效益为 C ij 元，问应如何购置和安装这些设备，才有使总经济效益最高。
yi 设 x ij 表示设备 Ai 安在B j 处的台数，
置 Ai 的台数，Z 表示总的经济效益。
表示购
Βιβλιοθήκη Baidu
max
Z C ij x ij
i 1 j 1
m
n
xij ≤ yi + ai ∑
s.t .
n
xij ≤ b j ∑ Pi yi ≤ M ∑
max
M P2 g1 x1 ( P3 P2 ) g 2 x2 ( Pn Pn 1 ) g n 1 xn 1 x1 x2 xn S g1 x1 g 2 x2 g n 1 xn 1 0 x 0 i 1,2,, n i
②假设树木经过一个生长期后被砍伐，再就地补种幼 苗，其状态和初始状态相同。 ③设树木总和为Ｓ。设X=(x1, x2, …, xn)T为初始树木向 量，因此有
x1 x2 xn S
④假设在一个生长期内树木至多只能生长一个高度级。 设gi (i=1, 2, …, n-1)是生长参数，即第i级的数目进入第i+1 级的比例数。
第四章 数学规划
线性规划模型
实例一 合理伐木
森林中的每年都要有一批被砍伐出售，为了使这片森 林不被耗尽而且年年都能有收获，每砍伐一棵时，应该就 地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的 树木，其价值取决于树木的高度，我们希望能够找到一个 方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能获得最 大的经济价值？