条件概率公式与全概率公式
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条件概率与全概率公式_课件
概率是多少？
知道第一名同学的结
果会影响最后一名同
学中奖事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B
第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名 同学抽到中 奖奖券的概率记为P(B|A）
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖 奖券的概率呢？
精品 课件
高中数学选择性必修3
第七章 随机变量及其分布
条件概率与全概率公式
新人教版
特级教师优秀课件精选
学习目标
理解条件概率的定义
掌握条件概率的计算方 法利用条件概率公式解决一些简单的实际问 题
教学重点
条件概率的概念，条件概率公式的简单应 用
教学难点 正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决 简单实际问题
条件概率的计算
【解答】
条件概率的计算 3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每 次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，求： （1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； （2）两次都摸到白球的概率.
全概率公式定义
我们称上面的公式为全概率公式 .
例题
某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1 天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天 去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
例题
在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再 放回.求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第一次抽到几何题的条件下，第2次抽打几何体的概率.
解法1:设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何 题”.
例题
4条件概率和全概率公式
石家庄铁道大学
= 0.0038
练习：
第一章 随机事件与概率
16
10个考签中有4个难签, 今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序 参加抽签（不放回）. 求甲、乙、丙分别抽到难签的概率. 解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙分别抽到难签. 4 P (A) = ; P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) = 10 4 3 6 4 4 = ⋅ + ⋅ = 10 9 10 9 10
第一章 随机事件与概率
1
第四节 条件概率与全概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
2
一 条件概率
引例 某批产品共100件, 其中40件是甲厂生产的（35 件正品，5件次品）， 60件是乙厂生产的（45件正 品，15件次品），任取一件，已知它是甲厂生产， 问取出的是次品的概率。 定义1.8 设A, B为两个事件, 且 P(A)>0, 称
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
7
例4 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋 中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白 球的概率. 记 Ai {= 第 i 次取到白球 } , (i 1, 2) 则
P ( A1) = 1 2 P ( A2 | A1) = 4 7
i =1 i =1
P ( B A )= 1 − P ( B A)
P ( B1 B2 A ) = P ( B1 A ) + P ( B2 A) − P ( B1 B2 A)
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
= 0.0038
练习：
第一章 随机事件与概率
16
10个考签中有4个难签, 今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序 参加抽签（不放回）. 求甲、乙、丙分别抽到难签的概率. 解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙分别抽到难签. 4 P (A) = ; P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) = 10 4 3 6 4 4 = ⋅ + ⋅ = 10 9 10 9 10
第一章 随机事件与概率
1
第四节 条件概率与全概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
2
一 条件概率
引例 某批产品共100件, 其中40件是甲厂生产的（35 件正品，5件次品）， 60件是乙厂生产的（45件正 品，15件次品），任取一件，已知它是甲厂生产， 问取出的是次品的概率。 定义1.8 设A, B为两个事件, 且 P(A)>0, 称
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
7
例4 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋 中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白 球的概率. 记 Ai {= 第 i 次取到白球 } , (i 1, 2) 则
P ( A1) = 1 2 P ( A2 | A1) = 4 7
i =1 i =1
P ( B A )= 1 − P ( B A)
P ( B1 B2 A ) = P ( B1 A ) + P ( B2 A) − P ( B1 B2 A)
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
条件概率公式与全概率公式
2021/3/27
CHENLI
9
推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。
证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
20课上练习小王忘了朋友家电话号码的最后一位故只能随意拨最后一个号求他至多拨三次由乘法公式设事件表示三次拨号至少一次拨通表示第i次拨通他只能随意拨最后一个号他连拨三次由乘法公式表示第i次拨通10件产品中有3件次品从中任取2在所取2件中有一件是次品的条件下设事件表示所取2件中有一件次品事件表示另一件也是次品
3
14 1 10 10 10
3. 5
2021/3/27
CHENLI
16
一般 B 1, ： ,B n为 设 的一个 A 为划 一分 事， 件
P(Bi
|
A)
P( P
AB (A
i
)
)
P(Bi )P(A| Bi ) P( A)
P(Bi )P(A | Bi )
n
P(BK )P(A | BK )
❖——贝叶斯(Bayes)公式
2021/3/27
CHENLI
2
例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不 放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也 抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
1
则所求为
9
记为 P ( B A)
2021/3/27
CHENLI
3
定义P(： B| A)P(AB) P(A)
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率是指在一定条件下某事件发生的概率，例如，已知某人感染了疾病，求这个人的年龄在40岁以下的概率。
这里，已知某人感染了疾病就是条件，年龄在40岁以下是事件。
条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中，P(A|B)表示在条件B下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
全概率公式是指将一个事件拆分成多个互不重叠的子事件，并计算每个子事件的概率，然后将它们相加得到整个事件发生的概率。
例如，某医院有三个科室，分别是内科、外科和儿科，每个科室的病人比例为60%、30%和10%。
现在需要求这个医院的所有病人中，感染肺炎的比例。
这里，感染肺炎是整个事件，内科、外科和儿科是子事件。
全概率公式为：P(A) = Σ P(A|Bi) * P(Bi)，其中，P(A)表示事件A的概率，P(A|Bi)表示在条件Bi下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有的i求和。
在这个例子中，感染肺炎的比例为：P(肺炎) = P(肺炎|内科) * P(内科) + P(肺炎|外科) * P(外科) + P(肺炎|儿科) * P(儿科)。
- 1 -。
1.3,1.4条件概率,全概率公式
解 设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
高中数学 全概率公式
n
P( Ai )P(B | Ai ) i 1
——求和符号
二、探读与思考
n
P( Ai ) 1
i 1
全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,
且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有
P(B)= =
P(A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P(An )P(B | An ) .
由贝叶斯公式得
P(A|B)＝PAPPBB |A＝00..8858×7 51≈0.958.
堂 21 小 结
1.设事件 2.写概率 3.代公式
条件概率 P(B|A)＝PAB―→乘法公式 P(AB)＝P(A)P(B|A) PA
↓
全概率公式 由因求果
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn) 加法公式
易知, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，
且两两互斥，
A4 0.4
四、引导与迁移
由因求果
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
例2：某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概
率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐这四种交通工具迟到
的概率分别为
由已知得
0.25,0.3,0.1,0.2,
我们称该式为概率的乘法公式.
回顾旧知
1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是145,刮风的概率为125,既刮
风又下雨的概率为 1 ,则在下雨天里,刮风的概率为( C ) 10
A.2825
B.12
C.38
D.34
条件概率
1
解:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则
条件概率、乘法公式、全概率公式
条件概率、乘法公式、全 概率公式
• 条件概率的定义与性质 • 乘法公式及其应用 • 全概率公式及其应用 • 条件概率、乘法公式、全概率公式的
联系与区别 • 案例分析
01
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生的情况下，另一事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B)，读作“在B 的条件下A的概率”。
总结词
应用乘法公式
详细描述
天气预报中经常使用概率模型来预测未来天 气情况。例如，预测明天下雨的概率是70%， 那么应用乘法公式可以计算出在明天下雨的 条件下，明天是阴天的概率是30%。
案例三：保险业务中的风险评估
总结词
利用全概率公式
详细描述
在保险业务中，全概率公式用于评估风险。例如，一辆 汽车在一年内发生事故的概率是0.01，那么可以根据全 概率公式计算出在1000辆汽车中，预计有10辆汽车会 发生事故。
条件概率的定义公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
01
P(A|B) ≥ 0，即条件概率不能是负数。
归一性
02
P(A|B) = 1 - P(¬A|B)，即条件概率满足归一化条件，其中¬A
05
案例分析
案例一：赌博游戏中的概率计算
总结词
理解条件概率
VS
详细描述
在赌博游戏中，条件概率是一个重要的概 念。例如，在掷骰子游戏中，如果已知前 一个骰子的点数，那么下一个骰子的点数 与此无关。这可以通过条件概率公式来描 述，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
案例二：天气预报的概率模型
• 条件概率的定义与性质 • 乘法公式及其应用 • 全概率公式及其应用 • 条件概率、乘法公式、全概率公式的
联系与区别 • 案例分析
01
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生的情况下，另一事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B)，读作“在B 的条件下A的概率”。
总结词
应用乘法公式
详细描述
天气预报中经常使用概率模型来预测未来天 气情况。例如，预测明天下雨的概率是70%， 那么应用乘法公式可以计算出在明天下雨的 条件下，明天是阴天的概率是30%。
案例三：保险业务中的风险评估
总结词
利用全概率公式
详细描述
在保险业务中，全概率公式用于评估风险。例如，一辆 汽车在一年内发生事故的概率是0.01，那么可以根据全 概率公式计算出在1000辆汽车中，预计有10辆汽车会 发生事故。
条件概率的定义公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
01
P(A|B) ≥ 0，即条件概率不能是负数。
归一性
02
P(A|B) = 1 - P(¬A|B)，即条件概率满足归一化条件，其中¬A
05
案例分析
案例一：赌博游戏中的概率计算
总结词
理解条件概率
VS
详细描述
在赌博游戏中，条件概率是一个重要的概 念。例如，在掷骰子游戏中，如果已知前 一个骰子的点数，那么下一个骰子的点数 与此无关。这可以通过条件概率公式来描 述，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
案例二：天气预报的概率模型
全概率和条件概率的关系
全概率和条件概率的关系全概率和条件概率两个概念在概率论中都有着重要的作用，它们之间存在着密切的联系。
本文将介绍全概率和条件概率的定义及其关系。
一、全概率全概率公式是概率论中很重要的一个公式，它用来计算一个事件的概率，可以用于许多问题的求解。
全概率的定义：设$B_1$,$B_2$,$B_3$,$\cdots$,$B_n$是样本空间$\omega$的一组完全事件组，$A$是$\omega$的任一事件，则有下面的公式：$P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)$其中$P(B_i)$是随机事件$B_i$发生的概率，$P(A|B_i)$是在事件$B_i$发生的条件下，事件$A$发生的概率。
这个公式的意义就是把事件$A$拆分成若干个互不相交的事件$A|B_i$，每个事件$A|B_i$的概率都很容易求出来，然后计算它们的加权平均就可以得到事件$A$的概率。
二、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
在实际应用中，条件概率经常用于解决诸如贝叶斯定理等问题。
$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$其中$P(A\cap B)$表示事件$A$和事件$B$同时发生的概率。
全概率公式和条件概率公式之间存在着紧密的联系。
在求解一个事件的概率时，我们可以采用两种不同的方法：通过全概率公式或者通过条件概率公式。
反过来，我们在用条件概率公式计算事件$A$的概率时，可以采用全概率公式把$P(A\cap B)$拆分成若干个不相交的事件，然后通过条件概率公式求出这些事件的概率，最后加起来即可：综上所述，全概率和条件概率是概率论中两个基本且重要的概念，它们之间存在着密切的联系，我们可以根据需要灵活地使用它们来解决各种概率问题。
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P (B )
.
把 作 为 条A固 件定 的， 事 P(B可 件 |A)也 证是 概 因 此 它 具 备性 概质 率。 的 一 切
如 P (A B |C ) P (A |C ) P (B |C ) P (A|C B )
P(A| B)1P(A| B).
P(A|C)1P(A|C) 但是，需要注意，一般地 P(A|B )P (A|B)1
P ( B 1 ) P ( A |B 1 ) P ( B 2 ) P ( A |B 2 ) P ( B 3 ) P ( A |B 3 )
C
2 2
3
C
2 3
1
C
1 3
C
1 2
注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
推论1
A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)(A).
证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
条件概率公式与全概率公式
郑永冰
数学与数量经济学院
.
❖ 一、条件概率
❖简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下 的事件概率. ❖从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任 何事件都产生于一定条件下的试验或观察。
❖但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条件之 外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某 事件发生了” 。
A表示电路断电,
则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
P(A)=P(A1+A2+A3)= 1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-0.168=0.832
.
练习
1。P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( B |A)=0.4,则P(B)=( ).
.
❖三 、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式 ❖例4 设袋中有3个白球、2个黑球，不放回抽取， 每次到一个，求第三次取出的是白球的概率。
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法: ① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
.
定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事件A1,A2,…,An,若对任何正整数 m(2≤m≤n)以及
1 i1 i2 im n ,都有 P （ A i1A i2 A im )P （ A i1)P (A i2) P (A im )
则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.
注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事 件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.
.
性质 若n个事件相互独立，则 ①它们积事件的概率等于每个事件概率的积.
②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的n个事件也是相互独立的。
例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件 正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.
记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则 P(B| A)P(B)7 10
由乘法公式即得 P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现 的概率彼此不受影响.
.
定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。
❖解：记 A：“第三次取出的是白球”
B1：“前两次取出的全为黑球” A2：“前两次取出的全为白球”
B3：“前两次取出的为黑一球一白球” 则 (1)B1B2B3； (2)B1、 B2、 B3两两互不相 AAA(B1B2B3)A1BA2BA3B 且 A1B 、 A2B 、 A3B 两两互不相容
.
P (A )P (A1)B P (A2)B P (A3)B
P (A 1 A 2A 3 ) P (A 1 A 2)P (A 3|A 1 A 2) P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 ) P ( A n |A 1 A n 1 ).
.
事件的独立性
.
例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不 放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也 抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
1
则所求为
9
记为 P ( B A)
.
定义P(： B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事B 件 发生的条件概(率 P(A) 0). 类 似 P (A |B 有 )P (A),B (P (B )0).
.
推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。 证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, 则
P(A1A2 … An)＝1－P(A1)P(A2) … P(An)
.
例1.2.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求 电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,
P(A2| A1).
C
2 7
解法一 P(A： 2| A1)PP(
A1 A2 ( A1 )
)
C
2 10
7
10
7 6
10 9 6 .
7
9
10
解法二 P(A2： | A1)96.
.
条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式.
❖二、乘法公式
P (A ) B P (A )P (B |A ) P (B )P (A |B )
P [ A |( B C ) ] P ( A |B ) P ( A |C )
.
❖例3 设在10个统一型号的元件中有7个一等品， 从这些元件中不放回地连续取两次，每次取一个元 件，求在第一次取得一等品的条件下，第二次取得 的也是一等品的概率。
解：Ai： 设“i次 第取得的是一i等 1,2， 品则 ”所 ，求
.
把 作 为 条A固 件定 的， 事 P(B可 件 |A)也 证是 概 因 此 它 具 备性 概质 率。 的 一 切
如 P (A B |C ) P (A |C ) P (B |C ) P (A|C B )
P(A| B)1P(A| B).
P(A|C)1P(A|C) 但是，需要注意，一般地 P(A|B )P (A|B)1
P ( B 1 ) P ( A |B 1 ) P ( B 2 ) P ( A |B 2 ) P ( B 3 ) P ( A |B 3 )
C
2 2
3
C
2 3
1
C
1 3
C
1 2
注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
推论1
A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)(A).
证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
条件概率公式与全概率公式
郑永冰
数学与数量经济学院
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❖ 一、条件概率
❖简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下 的事件概率. ❖从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任 何事件都产生于一定条件下的试验或观察。
❖但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条件之 外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某 事件发生了” 。
A表示电路断电,
则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
P(A)=P(A1+A2+A3)= 1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-0.168=0.832
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练习
1。P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( B |A)=0.4,则P(B)=( ).
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❖三 、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式 ❖例4 设袋中有3个白球、2个黑球，不放回抽取， 每次到一个，求第三次取出的是白球的概率。
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法: ① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
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定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事件A1,A2,…,An,若对任何正整数 m(2≤m≤n)以及
1 i1 i2 im n ,都有 P （ A i1A i2 A im )P （ A i1)P (A i2) P (A im )
则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.
注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事 件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.
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性质 若n个事件相互独立，则 ①它们积事件的概率等于每个事件概率的积.
②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的n个事件也是相互独立的。
例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件 正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.
记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则 P(B| A)P(B)7 10
由乘法公式即得 P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现 的概率彼此不受影响.
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定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。
❖解：记 A：“第三次取出的是白球”
B1：“前两次取出的全为黑球” A2：“前两次取出的全为白球”
B3：“前两次取出的为黑一球一白球” 则 (1)B1B2B3； (2)B1、 B2、 B3两两互不相 AAA(B1B2B3)A1BA2BA3B 且 A1B 、 A2B 、 A3B 两两互不相容
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P (A )P (A1)B P (A2)B P (A3)B
P (A 1 A 2A 3 ) P (A 1 A 2)P (A 3|A 1 A 2) P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 ) P ( A n |A 1 A n 1 ).
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事件的独立性
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例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不 放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也 抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
1
则所求为
9
记为 P ( B A)
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定义P(： B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事B 件 发生的条件概(率 P(A) 0). 类 似 P (A |B 有 )P (A),B (P (B )0).
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推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。 证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, 则
P(A1A2 … An)＝1－P(A1)P(A2) … P(An)
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例1.2.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求 电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,
P(A2| A1).
C
2 7
解法一 P(A： 2| A1)PP(
A1 A2 ( A1 )
)
C
2 10
7
10
7 6
10 9 6 .
7
9
10
解法二 P(A2： | A1)96.
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条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式.
❖二、乘法公式
P (A ) B P (A )P (B |A ) P (B )P (A |B )
P [ A |( B C ) ] P ( A |B ) P ( A |C )
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❖例3 设在10个统一型号的元件中有7个一等品， 从这些元件中不放回地连续取两次，每次取一个元 件，求在第一次取得一等品的条件下，第二次取得 的也是一等品的概率。
解：Ai： 设“i次 第取得的是一i等 1,2， 品则 ”所 ，求