选修2-1空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何
一、知识网络：
二．考纲要求：
（1）空间向量及其运算
①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
①理解直线的方向向量与平面的法向量；
②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向
本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利
用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算
一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量
叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b
。
注意：当我们说a 、b
共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当
我们说a
、b
平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数 使b ＝ a
（1）对于确定的 和a ，b ＝ a 表示空间与a 平行或共线，长度为 | a |，当 >0时与a
同向，当
<0时与a
反向的所有向量。
（3）若直线l ∥a
，l A ，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP 的表达式。
推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a
的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l
上的充要条件是存在实数t ，满足等式 OA OP a t
①
其中向量a
叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB
，则①式可化为 .)1(OB t OA t OP ②
当21
t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(2
1 ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面 平行或a
在 平面内，我们就说向量a 平行于平面 ，记作a ∥ 。注意：向量a
∥ 与直线a ∥ 的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p
与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数
对x 、y ，使.b y a x p
①
注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使
,y x ④
或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ⑤
在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。①式叫做平面MAB 的向量表示式。 又∵.,OM OA MA .,OM OB MB 代入⑤，整理得
.)1(y x y x ⑥
由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c
不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的
有序实数组x , y , z , 使.c z b y a x p
说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c
不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是 R z y x c z b y a x p p 、、,|
，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }
叫做空间的一个基底，a ，b ，c
都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一
个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的
概念；⑷由于0
可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0
。
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.OC z OB y OA x OP
6．数量积
（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a OA
，b OB ，则角∠AOB
叫做向量a
与b
的夹角，记作 b a
，
说明：⑴规定0≤ b a ，≤ ,因而 b a
，= a b ，；
⑵如果 b a ，=2
，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b
；
⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图
（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，
图（1）中∠AOB = OB OA ,， 图（2）中∠AOB = OB AO ,,
从而有 OB OA ,= OB OA ,= OB OA ,.
（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积： b a b a ,cos 叫做向量a 、b
的数量积，记作b a 。
即b a = b a b a ,cos ，
向量AB 方向上的正射影在e
:
B A e a AB e a
,cos ||
（4
）性质与运算率
⑴ e a e a
,cos 。 ⑴()()a b a b r r r r
A
B
O
（1）
⑵a ⊥b b a =0 ⑵b a =b a r r
⑶2||.a a a r r r ⑶()a b c a b a c r r r r r r r
（三）．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
例1、有以下命题：①如果向量,a b r r 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b r r
的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC uu u r uuu r uuu r
不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；
③已知向量,,a b c r r r 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c r r r r r
，也是空间的一个基底。其中正确的命题是
（ ）。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③
解析：对于①“如果向量,a b r r 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b r r
的关系一定共线”；
所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算
例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD 中，M
为
1
1C A 与
11D B 的交点。若AB a u u u r r ，AD b u u u r r ，1AA c u u u r r ，则
下列向量中与
BM 相等的向量是（ ）
()
A 1122a b c r r r ()
B 1122a b c r r r ()
C 1122a b c r r r ()
D c b a 2121 解析：显然 111)(2
1
AA AB AD M B BB BM 1122a b c r r r ；答案为A 。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几
何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a 且p n m ,,不共面.若a ∥b
,求y x ,的值.
解： a ∥b ,,且
,,0a b a
即.42328)1(p n m p y n m x 又p n m
,,不共面,.8,13,4
22831
y x y
x 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1c AA b AC a AB 则
C1
CC DC AB
2
1
,21,111∴11AB DC ,∴1
1,,
DC AB 共面.∵B 1 平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.（四）强化巩固导练
1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ，求x －y 的值.解：易求得0,2
1 y x y x 2、
在平行六面体1111D C B A ABCD 中，M 为AC 与BD 的交点，若 11B A a ， 11D A b ， A 1c ，则下列向
量中与M B 1相等的向量是 ( A )。A ． 2
1a ＋2
1b ＋c
B ．2
1a ＋2
1b ＋c C ．21a 2
1b ＋c
D ． 21a 2
1b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。解析：不妨设棱长为2，选择基向量},,{1BC BB BA ，则1112
1
,BB BC BM BA BB AB
05
2202205
22)
21
()(,cos 111
?
BB BB BM AB ，故填写o 90。 （五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式
c os θ
． 4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D
分别为l 1、l 2上的任意一点，n 为与共线的向量，则｜|
|n .5．设平面α的一个法向量为
，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d o
（六）、作业布置：课本P32页A 组中2、3、4 B 组中3
A
C
D A
B
课外练习：课本P39页A 组中8 ；B 组中3； 复资P130页变式训练中1、2、3、5、6 五、教学反思：
第二课时 空间向量的坐标运算
一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）
1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，
用{,,}i j k r r
r 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k
r r r ，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r
的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、
),,(321a a a )
,,(321b b b (1) a ±b ＝ 。 (2) a ＝
．(3) a ·b ＝ ． (4) a ∥b ；a b ．
（5）模长公式：若123(,,)a a a a r ， 则||a r
),,(),,,(222111z y x B z y x A 则＝ ， AB ．
AB 的中点M 的坐标为 ．
4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？
5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？ （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标
例1、（1）已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）
A. a ：|a |=b ：|b |
B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3
C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0
D.存在非零实数k ，使a =k b
（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ）
A. －3或1
B.3或－1
C. －3
D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）
A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)
B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)
C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)
D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；
（2）A 点拨：由题知 024*******x y x 3,4y x 或 .1,
4y x ；
（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
例2、已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。设a =AB ，b =AC ，（1）求
a 和
b 的夹角 ；（2）若向量k a +b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B （－1，1，2），C(－3，0，4)，a =AB ，b =AC ， ∴a =(1，1，0)，b =（－1，0，2）.
(1)cos |
|||b a 52001 －1010，∴a 和b 的夹角为－1010。
(2)∵k a +b =k （1，1，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2），
k a －2b =（k+2，k ，－4），且(k a +b )⊥（k a －2b ），
∴（k －1，k ，2）·（k+2，k ，－4）=(k －1)(k+2)+k 2－8=2k 2
+k －10=0。