选修2-1空间向量与立体几何教案
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
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MN=(
O
M
).
(A)
1 2
a
－2
3
b
+
1 2
c
(B)－
2 3
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
23 c
B
(D)
2 3
a
+
2 3
b
－
1 2
c
例3
10
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
表示向量 OG
O
解：在△OMG中，
M
OG
OM
MG
1 2
OA
2 3
MN
C
G
A
N
1 OA 2 (ON OM )
高中数学 空间向量与立体几何复习教案1 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学教案
空间向量与立体几何(复习一)【学情分析】：学生已经掌握了空间向量的基础知识，并能较好地用它证明立体几何中的平行、垂直问题，计算空间角、空间距离。
但运用还不娴熟，计算易错的环节仍然出错。
【教学目标】：（1）知识目标：运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题，及计算空间角的计算。
同时也试用传统的方法来解题。
（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。
（3）情感与能力目标：通过总结归纳，综合运用，让学生享受成功的喜悦，提高学习数学兴趣，提高计算能力和空间想象能力。
【教学重点】：。
运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题。
【教学难点】：计算空间角【课前准备】：投影AP=(-a,0,z)AC=(-a,a,0)DB=(a,a,a)，1∵B1D⊥面PAC∴－a2+az=0∴点P方法二：引导学生用三垂线定理来解题。
,3,0)，所以(2,BE =1(1,3AB =--故12BE AB ⋅=⨯因此，有BE AB ⊥（Ⅱ）设1(,n x =是平面1ABB 的法向量，因为1(1,AB =--1(0,BB =111111112n AB n AB x n BB n BB z ⎧⊥⋅=-⎪⇒⎨⊥⋅=⎪⎩1(3,1,0)n =-；同理，2(2,0,1)n =是平面设二面角B AB D --的平面角为121212||15|cos ,|5||||n n n n n n ⋅<>==⋅本例中没有现成的三条互相垂直的直线，需动脑筋构造。
二面角的大小与其两个面的法向量的夹角相等或互补，要根据实际情况来取舍。
1,,CD CB CC 为运算的基向BD CD CB =-。
注意向量间的方向对夹角的影响2）设1(0)CDCC λλ=>1CD CC λ= 211112()()0AC C D CD CB CC CD CC a λ-⋅=-++⋅-=-=，解得1λ=当1λ=时，11()()0AC BD CD CB CC CD CB ⋅=-++⋅-=四、小结学生归纳，教师适当的补充、概括。
人教版高中选修2-1第三章空间向量与立体几何课程设计
人教版高中选修2-1第三章空间向量与立体几何课程设计立体几何的重要性立体几何是高中数学中的一个重要章节，它是线性代数和微积分等高等数学学科的基础，是一门灵活应用数学知识和推理思维去解决实际问题的课程。
在将来的学习和工作中，对于工程科学、物理科学、计算机科学以及其他领域的学习和工作都具有重要的应用价值和推广意义。
本章主要内容本章主要分为空间向量和立体几何两个部分。
在空间向量中，主要学习空间向量及其线性运算，空间向量的共面条件和空间向量的数量积、向量积等。
在立体几何部分，主要学习平面与空间、立体几何元素、空间直线和空间平面等。
通过以上学习，学生将会在几何学上打下坚实的基础，为未来的学习和工作奠定基础。
课程设计教学目标1.熟练掌握空间向量及其线性运算。
2.掌握空间向量的共面条件和空间向量的数量积、向量积等。
3.熟练掌握平面与空间、立体几何元素、空间直线和空间平面等。
4.培养学生的空间想象能力和空间思维能力。
1.空间向量的定义和线性运算•向量的概念•向量的表示法•向量的线性运算2.空间向量的共面条件和数量积•空间向量的共面条件•向量的数量积•向量投影的概念和计算方法3.空间向量的向量积•向量积的概念和性质•向量积的计算方法和几何意义4.立体几何元素和空间直线•立体几何元素的概念和表示法•空间直线的概念、表示和判定5.空间平面和空间曲面•平面的概念、表示和判定•空间曲面的概念、表示和判定课堂练习1.将向量$-\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}+4\\vec{d}$表示成向量$\\vec{x}+\\vec{y}-\\vec{z}+\\vec{u}$的形式。
2.已知$\\vec{a}=2\\vec{i}+\\vec{j}-\\vec{k}$，$\\vec{b}=3\\vec{i}+\\vec{j}+2\\vec{k}$，求向量$\\vec{a}$与$\\vec{b}$的数量积和向量积。
3.在以A(1,2,−1)，B(2,3,4)，C(1,−1,0)为顶点的三角形ABC中，求向量$\\overrightarrow{AB}$和$\\overrightarrow{AC}$的向量积。
高中数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何导教学案
是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内．根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加22计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数2cos 60°的三等分点且PN＝2NC，AM与b的夹角，最上的投影，它可正、可负，也可以为零．，存在三元有序实数(x，y，z)，使得1,0)，P4(1，－1,0)．5 2，思考 怎样求一个平面的法向量？答 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：①设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)． ③根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n·a ＝0，n·b ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＋c 1z ＝0，a 2x ＋b 2y ＋c 2z ＝0.④解方程组，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量． 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，∴v ＝－3u ，∴v ∥u ，即α∥β. (3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，∴a·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )， ∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，∴a·u ＝－3＋4－1＝0，∴a ⊥u ，即l α或l ∥α.反思与感悟 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．○三 小结引导1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：炼·学建系后用待定系数法求出．例2 证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 已知 直线l ，m 和平面α，β，其中l ，m α，l 与m 相交，l ∥β，m ∥β. 求证 α∥β.证明 设相交直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ， 因为l ∥β，m ∥β，所以a ⊥v ，b ⊥v .所以a·v ＝0，b·v ＝0.因为l ，m α，且l ，m 相交，所以α内任一直线的方向向量p 可以表示为如下形式p ＝x a ＋y b ，x ，y ∈R . 因为p·v ＝(x a ＋y b )·v ＝x a·v ＋y b·v ＝0， 即平面β的法线与平面α内任一直线垂直．所以平面β的法向量也是平面α的法向量，即u ∥v . 因此，α∥β.反思与感悟 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．用向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是重要的工具． 探究点三 利用空间向量证明平行关系 思考 怎样利用向量证明空间中的平行关系？ 答 可以按照下列方法证明空间中的平行关系.线线平行设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1∥l 2，只需证明a ∥b ，即a ＝k b (k ∈R )线面平行①设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a·u ＝0；②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；③证明一条直线l 与一个平面α平行，只需证明l 的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示面面平行①转化为相应的线线平行或线面平行；②求出平面α，β的法向量u ，v ，证明u ∥v ，即可说明α∥β⎩⎪⎨⎪⎧BG →·n ＝0BD →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝0－2x －2y ＝0(1)、(4)是右手系．叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴．由坐标轴确定的平面叫作坐标平平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，图1图2点可以用两个有序实数表示，P比N点的不同在于竖直方向上与距离．所以要表示灯泡的位置需要三个不同方向上的实数．的坐标是(0,4,0)，点A′的坐标是的坐标，常用方法是：过M做M的z坐标，于是得到轴正方向移动5个单位，轴平行的方向向上移动6个单位为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线夹角计算，F (0，12，1)，所以AC )，〉＝π4.基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做A到直线l的距如何求与平面平行的直线到该平面的距离？如何求平行平面间的距离？两者均转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解简单为准则．⊥平面ABCD，四边形A到直线l的距跟踪训练3 已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．求直线AC 到平面PEF 的距离．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， F ⎝⎛⎭⎫12，1，0.∵AC ∥EF ，AC 平面PEF ，EF 平面PEF ， ∴AC ∥平面PEF .∴AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离． 又AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0， 平面PEF 的一个法向量为n ＝(2,2,3)， 则点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫0，12，0·(2，2，3)17＝1717.是边长为1的正∠ASB＝∠CSD，向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．例2 如图，已知在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1. 求证：(1)BC 1⊥AB 1； (2)BC 1∥平面CA 1D .证明 如图，以C 1为原点，分别以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)， D (1,1,2)．(1)由于BC 1→＝(0，－2，－2)， AB 1→＝(－2,2，－2)， 因此BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0， 因此BC 1→⊥AB 1→， 故BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，连接DE ，由于E (1,0,1)， 所以ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)， 所以ED →＝－12BC 1→，又ED 和BC 1不共线，所以ED ∥BC 1， 又DE 平面CA 1D ，BC 1 平面CA 1D ， 故BC 1∥平面CA 1D .与平面的夹角为θ，则sin θ思考引导0，h)，C(0，5，0)，C1(0，5，h)，。
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案4
课 题：空间的角的计算（1） 教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题 教学重点：异线角与线面角的计算 教学难点：异线角与线面角的计算 教学过程 一、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式 二、建构数学1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。
三、数学运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2：（向量法）设b F D a DD ==111,4，则||||b a =且⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+== 21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅ 1715||||,cos 111111=>=<DF BE BE 解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DD 为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝15 1715,cos 111111=>=<DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB （1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29，得B （0,17,0）、S （0,0,23）、C （21713,174,0）， ∴SC =（21713,174,-23），CB =（－21713,1713,0）（1）∵SC ·CB=0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0,17,0），SC ·AB =4，|SC ||AB|=417， ∴cos α=1717，即为所求 4、课堂练习课本96页练习1－3αβPABl四、回顾总结求异线角与线面角的方法 五、布置作业课 题：空间的角的计算（2） 教学目标：能用向量方法解决二面角的计算问题 教学重点：二面角的计算 教学难点：二面角的计算 教学过程 一、创设情景1、二面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义 二、建构数学利用向量求二面角的大小。
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案(精品资料)1[1][1].part1(16)精选教学PPT课件
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解：以点C为坐标原点建立空间
直角坐标系C xyz 如图所示，
设
C1 C1
1则
1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1
所F1(以2 ：,0,1)1, D1
(
2
,
2
,1)
11
AA11
AA
z FF11C1
C1 D1 D1
C
C
BB11
BB y
AF1 ( 2 ,0,1) , BD1
|
cos
A(0,0 , 0), B(0,1, 0) ,C(
3 , 1 , 0) 22
设 F1 方向上的单位向量坐标为(x, y , z) ，
由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60 ，
∴
cos
60
1 (x, y , z)( 2
3 , 1 , 0)① 22
又∵ x2 y2 z2 1 ③
S
AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
锐二面角的余弦值.
B AD
作业:自学课本 P118 例 4
1答案 2答案
B1
B
C
11
练习 1:
三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90 , BC CA CC1 , E 、F
分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点,求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
6,BD＝8,求CD的长.
分析:要求 CD 的长可以转化为求 CD 的模的大小.
C
B
A
D
怎么求 CD 呢? 显然直接求 CD 出不来,这时可以
结合图形发现 CD 用其他已知向量来表示的关系式,从
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案1
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案课题：平面向量知识复习教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备教学重点：平面向量的基础知识教学难点：运用向量知识解决具体问题教学过程：一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义3、两个向量平行的充要条件：⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件：⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）三、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A ． 矩形B ． 菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B ．C ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，-1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞-B ．),2(+∞C ．),21(+∞-D ．)21,(--∞7．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。
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空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量；②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位。
（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。
1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa（1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a同向，当λ<0时与a反向的所有向量。
（3）若直线l ∥a，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP 的表达式。
推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l上的充要条件是存在实数t ，满足等式 OA OP =a t+ ①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB=，则①式可化为 .)1(OB t OA t OP +-= ②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。
⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使.c z b y a x p++=说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。
与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.OC z OB y OA x OP ++=6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a OA=，b OB =，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〉〈b a，说明：⑴规定0≤〉〈b a ，≤π,因而〉〈b a，=〉〈a b ，；⑵如果〉〈b a ，=2π，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，图（1）中∠AOB =〉〈OB OA ,， 图（2）中∠AOB =-π〉〈OB AO ,,从而有〉〈-OB OA ,=〉-〈OB OA ,=-π〉〈OB OA ,.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积：〉〈b a b a ,cos 叫做向量a 、b的数量积，记作b a ⋅。
即b a ⋅=〉〈b a b a ,cos ，向量AB 方向上的正射影在e:B A e a AB e a ''=〉〈=⋅,cos ||（4）性质与运算率⑴〉〈=⋅e a e a,cos 。
⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ABO（1）⑵a ⊥b ⇔b a ⋅=0 ⑵b a⋅=b a ⋅⑶2||.a a a =⋅ ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（三）．典例解析题型1：空间向量的概念及性质例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是（ ）。
()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③解析：对于①“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系一定共线”；所以①错误。
②③正确。
题型2：空间向量的基本运算例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M为11C A 与11D B 的交点。
若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）()A 1122a b c -++ ()B 1122a b c ++ ()C 1122a b c --+ ()D c b a +-2121 解析：显然=+-=+=111)(21AA AB AD M B BB BM 1122a b c -++；答案为A 。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。
用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b,求y x ,的值.解： a ∥b,,且,,0a b a λ=∴≠即.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++ 又p n m,,不共面,.8,13,422831=-=∴-=-=+∴y x yx 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1c AA b AC a AB ===则C1c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴11,,DC DB AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.（四）强化巩固导练1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x 2、在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( A )。
A ．-21a ＋21b ＋cB ．21a ＋21b ＋c C ．21a -21b ＋cD ．-21a -21b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。