机器人技术基础第2章齐次变换

结果如图2.6所示。如果将上述两次旋转结合起来，写成一个表达式得到
w = Rot ( y, -90°) v ＝ Rot ( y, -90°) Rot ( z, 90°) 变换矩阵 Rot ( y, -90°) 、 Rot ( z, 90°) 和起始
点u代入上式计算的结果与前面分两次计算的结果相同。
v = ai + bj + ck
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、y、
z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，即 v=[x y z w ]T 其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。 3i + 4j + 5k 可表示为
y
图2.1 点向量的描述
改变比例因子 w，则分量 a、b、c 的数值相应改变，但描述的还是同一个点向量。如 v =
2.6 坐标系 (Coordinate frames)
齐次变换矩阵 H 由四个列向量组成，它的前三个列向量称为方向向量，由式（2.12）到式（2.14）的旋转变换（分别绕 x、y、z 轴旋转θ角）确定，第四个列向量称为平移向量，它的平移分量（沿 x、y、z 轴的平移量）由式（2.10）第四列的前三个元素确定。如 0 0 1 4 1 0 0 -3 H＝Trans ( 4, -3, 7 ) Rot ( y, 90°) Rot ( z, 90°) = 0 1 0 7 （2.15） 0 0 0 1 坐标系的原点，即零向量 [ 0 0 0 1 ]
1 0 0 -4 0 1 0 3 0 0 1 -7 0 0 0 1
q＝p
H－1 ＝[
1 0 0 -2 ]
x
6 图2.3 点向量的平移
＝[ 1 0 0 -6 ]

第二章位姿描述和齐次变换.

6
2.1、刚体位姿描述(续)
四、手爪坐标系
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B} 的位姿来表示,如图2-6所示。坐标系{B}可以这样来确定:取
z轴设在手指接近物体的方向称为
接近矢量 a,y所规定轴设在两手指的连线方向，称方位矢量 o；x轴
由右手法则确定：n=o×a,矢量n
称为法向矢量。旋转矩阵R=[n， o，a]。手抓的位置有位置矢量P 所规定，它代表手抓坐标系的原点。手抓的位姿可记为{T}={n，o，a，
15
2.3、齐次坐标和齐次变换(续)
0 1 A 例如：试解释齐次变换矩阵： BT 0 0 { A}坐标的位姿。 1 0 0 3 所描述的{ B}坐标相对于 1 0 4 0 0 1 0 1
yB
xB zB
zA
解释如下： {B}的坐标原点相对于 {A}的位置为 [1， 3， 4， 1]T
p x A p p y p z
3
式中PX,PY,PZ是点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量,如图2-1所示。
4
2.1、刚体位姿描述(续)
二、方位的描述（旋转矩阵）
z
z1
0
y
为了表示刚体的方位，用一直角坐标系 {B} { x1、y1、z1}与刚体固接。设 {B}中单位主矢量为 x B、
zB
p
表示绕过坐标原点的轴 k旋转θ角度。
z
* B
zA
yB
p*
y* B
0
xB
17
0
yA
* B
xA x
2.4、齐次变换矩阵的运算
一、变换矩阵相乘
已知三维空间中的三个坐标系 {A}、 {B}、 {C}； {B}相对于 {A }的描述为 A BT， {C}相对于 {B}的描述为 B CT，则对于空间任一点 p，有：

机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换

列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
• 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 • 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v a i b j c k 式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
0 0
10
10 1020 0
1
1
0
0 0 1 10 1 0
2 1
0
0 0 1 -10 -1 0
0 1
与点矢 0 0 0 0T相仿，平面 0 0 0 0也没有意义
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw，研究旋转变换情况。
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2

第2章机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]

式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人

机器人机构学基础课件第2章

对于给定的 ABT 求 BAT
步骤：
➢
利用旋转矩阵的正交性质，可以得出
B A
R
R A 1
B
Bபைடு நூலகம்RT
➢
求出原点 A pBo在坐标系
{B}中的描述：B pAo
B A
R
A
pBo
BART
A pBo
➢
得到 BAT 表达式:
BAT
BART 0
BART 1
A
pBo
2.4.3 变换方程
{B}代表基坐标系，{T} 工具坐标系，{S}是工作台坐标系，{G}是目标坐标系，则它们之间的位姿关系可以用相应的齐次变换矩阵来描述。
（3）工作台（用户）坐标系（S）：在工作台上建立用户坐标系---用于示教编程。（4）工件坐标系（Work Object Coordinate System）：表示的相对位置—用于创建目标和路径。（5）腕坐标系（W）：定义工具方向。（6）工具坐标系（T）：与腕坐标系配合，确定两者之间的相对位姿。。（7）目标坐标系（T）：描述机器人运动结束时工具的位置。
A B
R
I
当表示姿态时，有 AP 0
机器人末端手爪的位姿描述：选定一个参考坐标系{A}，另规定一坐标系与手爪固连，称手爪坐标系{T}
n oa
手爪坐标系{T}这样规定的：其z轴设在手爪接近物体的方向，z轴单位矢量称为接近矢量，用a表示；y 轴设在两手指的连线方向，y轴单位矢量称为方位矢量，用o表示；x轴方向由右手法则确定，其单位矢量称为法向矢量，用n表示。
cos x,zb cos y,zb cos z,zb
按旋转的相对性，有：
B A

第二章机器人数学基础

R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T，那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既不重合，两者的方位又不同时，用位置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如和下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但两者的方位不同。 A 用旋转矩阵描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系：和

机器人技术二、齐次坐标变换

齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示； • 变换有如下几种形式：纯平移，纯旋转，平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz

第二章位姿描述和齐次变换资料

A y B、z B；则旋转矩阵的表达式 B R为：
x1
r12 r22 r32 r13 r23 r33
y1
A B
R [ A xB
A
yB
r11 r A z B ];或A R B 21 r31
x
A A A 因为单位主矢量 x B、 yB、 zB两两垂直旋转矩阵A B R是正交矩阵。
cos 0 sin R ( y , ) 0 1 0 sin 0 cos
三、位姿的描述（固接坐标系）
为了完全描述刚体B在空间的位姿（位置和姿态），通常将物体B与某一坐标系{B}相固接。相对参考系{A}，有位置矢量A PB0和旋转矩阵 BA R 分别
7
p}。
2.2、坐标}与{A}具有相同的方位，但是{B}的坐标原点与{A} A 的不重合，用位置矢量 PB0 描述它相对于{A}的位置。如图所 A 示，把 PB0称为{B}相对于{A}的平移矢量，若点p在坐标系{B} 中的位置为 B P ，则它相对于坐标系{A}的位置矢量为 AP
0
yB
B z A 系(坐标旋转方程)为： p、 p 在两坐标系中的变换关 A A B p B R p
性质得
A B
B R和 A R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交矩阵的
B A
A A T R B R 1 B R
9
2.2、坐标变换(续) 三、一般变换
zB
p
z
* B
zA
yB
p* y* B
0
xB
6
2.1、刚体位姿描述(续)
四、手爪坐标系
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B} 的位姿来表示,如图2-6所示。坐标系{B}可以这样来确定:取

机器人技术基础 第2章 齐次变换