幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
第四章 第二节 幂级数
可沿K内曲线 逐项积分,且收敛 注1 (4.5)可沿 内曲线 逐项积分 且收敛 可沿 内曲线C逐项积分 半径与(4.5) 相同 相同. 半径与 即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使 从而它的通项序列必有界 即有正数 使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图 幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域 问题1: 问题 幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
幂级数的求和
幂级数的求和幂级数的求和（Sum of Geometric Series）幂级数是数学中一个非常重要且有趣的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入研究幂级数的求和，并探讨一些有趣的性质和应用。
首先，我们来定义什么是幂级数。
幂级数是由一系列幂次递增的项构成的无穷级数。
一般来说，幂级数的形式可以表示为：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ/___i=0在上式中，aᵢ是常数系数，x 是自变量，i 是项的指数，S 是幂级数的和。
我们可以看到，幂级数的项之间存在乘法关系，而指数 i 呈递增的幂次分布。
对于幂级数的求和，我们需要根据其收敛性质进行讨论。
幂级数的收敛性与 x 的取值相关，存在三种情况：1. 当 x = 0 时，幂级数的和为 a₀，即 S = a₀。
此时，幂级数只有一项，因此求和结果是确定的。
2. 当x ≠ 0 且 aₙ ⋅ xⁿ 逐项相加的和存在有限值时，我们称幂级数在 x 处收敛。
这时，我们可以用一种特殊的方式计算幂级数的和。
对于收敛的幂级数而言，可以使用以下公式计算其和：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ = a₀ + a₁ * x + a₂ * x² + .../___i=0这个公式是通过将幂级数写成等比数列的形式来推导出来的。
通过计算每一项的值，并将它们相加，我们可以得到幂级数的和。
例如，考虑以下幂级数：S = 3 + 6x + 12x² + 24x³ + ...我们首先需要判断该幂级数在何处收敛。
为了判断这一点，我们可以使用比值判别法或根值判别法。
假设我们使用比值判别法，计算得到：lim n→∞ │aₙ₊₁⋅ xₙ₊₁│___________ = │6x│ = |6x|n→∞ │aₙ ⋅ xₙ│当 |6x| < 1 时，该幂级数在 x 处收敛。
也就是说，幂级数的收敛区间为 (-1/6, 1/6)。
接下来，我们可以使用求和公式计算该幂级数的和。
幂级数怎么求和函数
幂级数怎么求和函数幂级数是指一种数学表达式，可以用来描述一些复杂函数、曲线或者概率分布，如正态分布。
幂级数求和函数是指根据特定的数学表达式，把一系列幂级数的各项求和，从而得到结果的过程。
首先，我们来了解幂级数的定义。
幂级数是指具有如下形式的函数：s = a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 + ... + an * x^n 其中，a1，a2，a3，…，an都是常数，而x是未知数。
幂级数通常用来表示复杂函数、曲线或者概率分布，而幂级数求和函数就是用来求出上述函数的积分，从而得到曲线的完整形状。
幂级数求和函数的定义可以分为三种形式：一种是按项数型求和，即使用到一系列a1、a2、a3…等常数；另一种是正则和，是基于幂级数的一阶导数来求和，另外还有梯形和，是基于幂级数的二阶导数来求和。
按项数型求和的形式是最常用的求和形式，即s = a1 + a2 + a3 + ... + an可以看出，此函数的结果取决于a1、a2、a3…an的值，它可以用来计算一系列数字的总和，也可以用来计算一系列复杂函数的总和。
正则求和是在幂级数函数中求总和的一种形式，它基于幂级数函数的一阶导数，即：s = a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 + ... + an*x^n => s = a1 + 2 * a2 * x + 3*a3*x^2 +...+ n*an*x^(n-1)可以看出，此函数的结果取决于a1、a2、a3…an和x的值，正则求和函数可以用来计算一系列一阶导数的总和，从而得到幂级数的总和。
最后还有一种梯形求和，是基于幂级数函数的二阶导数，即：s = a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 + ... + an*x^n => s = 1*a1 + 2*a2 + 6*a3*x + 12*a4*x^2 +...+ n*(n-1)*an*x^(n-2) 最后，梯形求和函数可以用来计算一系列二阶导数的总和，从而得到幂级数的总和。
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义[1]u x n 是定义在数集E上的一个函数列，则称1、设()(1,2,3)n12()()(),n u x u x u x x E ++++∈为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
求幂级数的和函数步骤
求幂级数的和函数步骤
求幂级数的和函数的方法，通常是：
1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；
2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。
柯西准则
级数的收敛问题是级数理论的基本问题。
从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。
因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。
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幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
特别地，在00()nn n a x x ∞=-∑中，令0x x x -=，即上述形式化为20120n n n n n a x a a x a x a x ∞==+++++∑称为在0点的幂级数。
（二）、幂级数的和函数 [2]若对幂级数中的每一个x 都有230123()a a x a x a x s x ++++=，则称()s x 为幂级数的和函数。
幂级数的部分和记为230123()nn n s x a a x a x a x a x =+++++且部分和()n s x 有如下性质 lim ()()n n s x s x →∞=二、幂级数求和函数的几种方法以下所要介绍的几种方法旨在分析不同类型的幂级数该如何进行求和，并且帮助大家掌握解题技巧。
（一）、定义法 [3]对于幂级数0nn n a x ∞=∑，若前n 项和函数列{()}n s x 有极限，即lim ()n n s x →∞存在，则此幂级数收敛，且0()lim nn n n n a x s x ∞→∞==∑ 。
例1：求幂级数0nn a x ∞=∑的和函数，其中0a ≠，1x <。
解：当1x <时()lim ()lim()lim 11n nn n n n a ax a s x s x a ax ax x x→∞→∞→∞-==+++==--（二）、分项组合法我们通过观察可以发现有些幂级数具有某些明显的特征，比如可以将已知级数的通项拆项组合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该级数的和函数。
例2：求30()(1)!nn n s x x n ∞==∑+的和函数。
解:易知该级数的收敛域为(,)-∞+∞ 当0x =时，()0s x = 当0x ≠时2(1)(1)11()2(1)!n n xn n n n s x x n ∞=+-++-=+∑+21222212(2)!!(1)!n n n nn n x x x x x n n x n -+∞∞∞====+++∑∑∑-+211(1)2x e x x x x-=++---0 0x = 所以()s x =211(1)2x e x x x x-++--- 0x ≠（三）、逐项求导与逐项积分法若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分，再求导”的做法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考虑用“先求导，再积分”的做法。
定理 [4]：设幂级数0nn n a x ∞=∑在(,)R R -内的和函数为()s x ，则1、()s x 在(,)R R -内每一点都是可导的，且有逐项求导公式：'''101()()()nnn n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞-======∑∑∑ 求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R 。
2、()s x 在(,)R R -内可以积分，且有逐项积分公式：10()t ()1x x x nn n n n n n n n a s t d a t dt a t dt x n ∞∞∞+======∑∑∑⎰⎰⎰+其中x 是(,)R R -内任意一点，积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R 。
在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分。
通过逐项求导或逐项积分将给定的幂级数化为已知和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数；将得到的和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。
例3：求幂级数1(1)(2)nn n n n x ∞=++∑的和函数()s x 。
解：易知该级数的收敛域为(1,1)-+，在任意区间上可以逐项积分11()(1)(2)n n s x x n n n x ∞-==++∑令 111()(1)(2)n n s x n n n x∞-==++∑2101()()(1)(2)xn n s x s t dt n n x ∞===++∑⎰13201()()(2)xn n s x s t dt n x ∞+===+∑⎰324301()()1xn n x s x s t dt x x ∞+====-∑⎰所以 323''34232()()()1(1)x x x s x s x x x -===--23'233662()()(1)x x x s x s x x -+==-'1246()()(1)s x s x x ==-从而可得所求和函数416()(1)()x x x s x xs =-=(11)x -<<例4：求幂级数21(1)(21)n nn x n n ∞=-∑+的和函数()s x 。
解：易知收敛区间为[1,1]- 当0x =时，()0s x = 当0x ≠时设 211(1)()()22(21)n n n xx y x s x n n +∞=-==∑+ 2'1(1)()2n nn x y x n∞=-=∑2121''()(1)1n n n xy x x x ∞-=-=-=∑+ 得出 2021'()ln(1)12xt y x dt x t -==-+⎰+ 21()ln(1)2x y x t dt =-+⎰ 21ln(1)arctan 2x x x x =-+- 22arctan ()2ln(1)xs x x x=-+-0 0x = 综上所述 ()s x =22arctan 2ln(1)xx x-+-0x ≠（四）、代数方程法此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而得到原幂级数的和函数。
例5：设有等差数列 ： ,,2,3,,(1),a ab a b a b a n b ++++-等比数列 ： 231,,,,,,n c cx cx cx cx - 则各项为等差数列、等比数列对应项的乘积所构成的级数为231()(2)(3),,[(1)],n ac a b cx a b cx a b cx a n b cx -+++++++-求其和函数()s x ,其中,,a b c 为常数。
解：易知此级数的收敛域为(1,1)-+1(){[(1)]}n n xs x a n b cx ∞==+-∑23(1)()x s x ac bcx bcx bcx -=++++1bcx ac x=+-所以 2()1(1)ac bcx s x x x =+--例6：求幂级数 0()nm n H n x ∞=∑ 的和函数，其中 ()m H n 为 n 的 m 次多项式。
解：记 0()()nm m ns x H n x ∞==∑ 10()()n m m n xs x H n x ∞+==∑ 则 1(1)()(0)[(1)()]n m m m m nx s x H H n H n x ∞+=-=++-∑10(0)()nm m n H x H n x ∞-==+∑ ① 其中1()m H n - 为n 的1m -次多项式 再使用一次以上的运算方法可得110(1)()(0)()n m m m n x x s x xH x H n x ∞+-=-=+∑ ②① - ② 得211100(1)()(0)(1)[()()]nn m m m m n n x s x H x x H n x H n x ∞∞+--==-=-+-∑∑ 11110(0)(1){(0)[(1)()]}n m m m m n H x x H H n H n x ∞+---==-+++-∑12(0)(1)[(0)()]nm m m n H x x H x H n x ∞--==-++∑ 其中2()m H n - 为n 的2m -次多项式 反复使用以上的方法可以得到12312(1)()(1)(0)(1)(0)(1)(0)m m m m m m m m x s x x H x xH x xH ------=-+-+-21211(1)(0)[(0)]m m n n x x H x H x ∞--=+++-++∑这样就可以求得 ()m s x 。
（五）、微分方程法在幂级数中，有一类含有阶乘运算的幂级数，这种幂级数的和函数的求法，在现行高等数学教材中涉及的不多，因此成为很多同学学习的一个盲点。
此方法将通过实例介绍这类幂级数和函数的求法，把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及和函数导数的关系式，即微分方程。