小学奥数教程-最值中的数字谜
小学奥数教程：最值中的数字谜(二)全国通用(含答案)
1. 掌握最值中的数字谜的技巧2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题数字谜中的最值问题常用分析方法1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。
模块一、横式数字谜【例 1】 在下面的算式□中填入四个运算符号+、-、⨯、÷、（每个符号只填一次），则计算结果最大是_______.12345□□□□【考点】混合计算中的数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第3题，6分 【解析】 为了得到最大结果必须用“×”连接4和5，那么4和5前边一定是“+”，通过尝试得到：112345203-÷+⨯=.【答案】1203【例 2】 将+，-，×，÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。
1111123456□□□□【考点】混合计算中的数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第9题 【解析】 题目给出5个数，乘、除之后成3个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数与另一个分数相加应尽量大，，，，；，例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-5.最值中的数字谜（二），，；而，，，；其中最小的是，而，，所以最大【答案】最大【例3】将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数．这个结果最大为．÷++=÷+【考点】混合计算中的数字谜【难度】3星【题型】填空【解析】等号左边相当于三个奇数相加，其结果为奇数，而等号右边的计算结果为奇数时，最大为628487÷+=，又3157987÷++=满足条件(情况不唯一)，所以结果的最大值为87．【答案】87【例4】一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，决赛，8题【解析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x，那么个位数上的数字之和为45x-，则五个两位数上的数字之和为1045459x x x+-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+⨯++++=．【答案】153【例5】0.2.0080.A BCC A B∙∙=∙∙，三位数ABC的最大值是多少？【考点】乘除法中的最值问题【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第4题【解析】 2.008化为分数是251125，可以约分为251125的分数有502250、753375，所以ABC的最大值为753.【答案】753模块二、乘除法中的最值问题【例6】已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即45abcba deed=⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________．【考点】乘除法中的最值问题【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第7题【解析】 根据题意，45abcba deed =，则abcba 为４５的倍数，所以a 应为０或５，又a 还在首位，所以a ＝５，现在要让abcba 尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令9b =,8c =，则a b c b a++++＝５＋９＋８＋９＋５＝３６是９的倍数，用５９８９５÷４５＝１３３１符合条件，所以这个五位回文数最大的可能值是59895.【答案】59895【例 7】 在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立。
（完整版）数字谜（小学奥数6年级）
（完整版）数字谜（⼩学奥数6年级）数字谜（⼀）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少⽅法。
例如⽤猜想、拼凑、排除、枚举等⽅法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及⼩数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填⼊下⾯等式的○内，使等式成⽴（每个运算符号只准使⽤⼀次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应⾸先确定“÷”的位置。
当“÷”在第⼀个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第⼆个括号内是13的倍数，此时只有下⾯⼀种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第⼆或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下⾯的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填⼊下式中的□中，使等式成⽴：□□□×□□=□□×□□=5568。
解：将5568质因数分解为5568=26×3×29。
由此容易知道，将 5568分解为两个两位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为⼀个两位数与⼀个三位数的乘积有六种：12×464， 16×348， 24×232，29×192， 32×174， 48×116。
显然，符合题意的只有下⾯⼀种填法：174×32=58×96=5568。
例3 在443后⾯添上⼀个三位数，使得到的六位数能被573整除。
分析与解：先⽤443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。
由443000÷573=773 (71)推知， 443000+（573-71）=443502⼀定能被573整除，所以应添502。
一起学奥数--数字谜(四年级)ppt课件
得到○代表的数字，“□”就可以通过第二个等式算出：□=4
引导学生对以上变化做小结，让学生了解等式加减。
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例3、在下列方框中填上适当的数，使等式成立：
1） □÷5=40……3
2)148÷ □=8……4
【分析】根据题目中给定等式的特点，我们可以利用带余数除法的特点来计算代表“□”的数字。
数字谜
风子编辑
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1
教育目标
灵活地运用运算法则和整数的性质 学会发现问题、分析问题
教育重点
掌握数字谜解题思路，及数字与数字之间的规律
教育难点
综合运用数论的知识，来解决数字谜问题
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2
第一课 横式数字谜
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3
例1、下列算式中，△、○、□、☆各代表什么数字？
1） △+ △+ △=129
因为与3相加个位为1的数只有8，所以可以确定第三行个位数 为8。 558÷6=93，所以可以确定除数的个位为3
在□41-551时，产生连续借位，且差最高位为0，所以被除数 最高位为6，余数为83。 被除数的个位是非常清楚的，应该一眼就能够看出为7
接着，只要做837÷93=9即可。
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1）“□”代表的是被除数，这个等式的意思为：一个数被5除，商为40，余数为3。根据带余数除法 的特点，或者采用还原法， “□”代表的数为：40×5+3=203
三年级奥数.计算综合.数字谜(C级).学生版
一、基本概念数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符的算式．填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符（包括括），从而使这些数和运算符构成的算式成为一个等式。
算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
二、数字谜分类1、 竖式谜2、 横式谜3、 填空谜4、 幻方5、 数阵三、解题技巧与方法 竖式数字谜1、 技巧（1） 从首位或者末尾找突破口（突破口：指在做数字谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末尾，可以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定其值为后面的推理做好铺垫）；（2） 要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；（3） 题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符表示不同数字这一条件来排除若干可能性； （4） 注意结合进位及退位来考虑；（5） 数字谜中的文字，字母或其它符，只取0~9中的某个数字。
（6） 数字谜解出之后，最好验算一遍． 2、 数字迷加减法 （1） 个位数字分析法； （2） 加减法中的进位与退位； （3） 乘除法中的进位与退位； （4） 奇偶性分析法。
知识框架数字谜横式数字谜解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。
（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
最值问题（1）横式转化为竖式数字谜，乘法转化为除法；（2）找突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．（3）采用特殊分析方法：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．（4）除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．（5）数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。
小学奥数数字谜（文档4篇）
小学奥数数字谜（文档4篇）以下是网友分享的关于小学奥数数字谜的资料4篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
小学奥数-数字谜（一）小学奥数-数字谜例 1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
解：将5568质因数分解为5568=2×3×29。
由此容易知道，将5568分解为两个两位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12×464，16×348，24×232，29×192，32×174，48×116。
显然，符合题意的只有下面一种填法：174×32=58×96=5568。
例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
6分析与解：先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。
由443000÷573=773 (71)推知，443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502。
例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。
(小学奥数)最值的数字谜(二)
5-1-2-5.最值中的數字謎（二）教學目標1.掌握最值中的數字謎的技巧2.能夠綜合運用數論相關知識解決數字謎問題知識點撥數字謎中的最值問題常用分析方法1.數字謎一般分為橫式數字謎和豎式數字謎．橫式數字謎經常和數論裏面的知識結合考察，有些時候也可以轉化為豎式數字謎；2.豎式數字謎通常有如下突破口：末位和首位、進位和借位、個位數字、位數的差別等．3.數字謎的常用分析方法有：個位數字分析法、高位數字分析法、數字大小估算分析法、進位錯位分析法、分解質因數法、奇偶分析法等．4.除了數字謎問題常用的分析方法外，還會經常採用比較法，通過比較算式計算過程的各步驟，得到所求的最值的可能值，再驗證能否取到這個最值．5.數字謎問題往往綜合了數字的整除特徵、質數與合數、分解質因數、個位數字、餘數、分數與小數互化、方程、估算、找規律等題型。
例題精講模組一、橫式數字謎【例1】在下面的算式□中填入四個運算符號+、-、⨯、÷、（每個符號只填一次），則計算結果最大是_______.□□□□12345【例2】將+，-，×，÷四個運算符號分別填入下麵的四個框中使該式的值最大。
11111□□□□23456【例3】將1、3、5、7、9填入等號左邊的5個方框中，2、4、6、8填入等號右邊的4個方框中，使等式成立，且等號兩邊的計算結果都是自然數．這個結果最大為．÷++=÷+【例4】一個電子錶用5個兩位數(包括首位為0的兩位數)表示時間，如15:23:45/06/18表示6月18日15點23分45秒．有一些時刻這個電子錶上十個數字都不同，在這些時刻中，表示時間的5個兩位數之和最大是．【例 5】 0. 2.0080.A BC C A B••=••，三位數ABC 的最大值是多少？模組二、乘除法中的最值問題【例 6】 已知一個五位回文數等於45與一個四位回文數的乘積（即45abcba deed =⨯），那麼這個五位回文數最大的可能值是________．【例 7】 在下面乘法豎式的每個方格中填入一個非零數字，使算式成立。
第4课-数字谜中的最值问题(生)精选全文
可编辑修改精选全文完整版北京数学学校三年级第二学期教学实录（第四讲）07.04.01教学课题：数字谜中的最值问题教学目的：（1）复习解决数字谜问题的基本思考方法和步骤。
（2）学会整体观察、分析，寻找解题“突破口”，提高学生的整数运算能力及分析推理能力；（3）在数字谜的最值问题中，体会“变”与“不变”的制约关系。
教学重点：解数字谜问题的思考方法和步骤。
教学难点：算式中隐蔽数量关系的发现、解题“突破口”的选择及试解的过程。
一、例题讲解：在本讲出现的各个算式中，相同的字母（汉字）代表相同的数字，不同的字母（汉字）代表不同的数字，在此一并说明。
【例1】在下面的减法算式的空格处，填入适当的数字使算式成立。
当算式成立时，被减数最大可以取多少？□□□□－□□□2 0 0 7【例2】在下面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
当算式成立时，“数学学习”所代表的四位数的最大值是多少？数学学习＋增长学问在 2 0 0 7 【例3】在下面的加法算式中，不相同的汉字代表不相同的数字，当算式成立时，“智力开发”所代表的四位数的最大值是多少？【例4】在□内填入适当数字，使下面的算式成立，并使乘积尽可能的小。
□□□□×□ 6□□□□ 4□□□0□□□□□【练习】在下面的竖式中填入适当的数字，数学思＋维训练智力开发使竖式成立。
乘积的最大值是多少？□ □ □ × □ 2 □ 0 □ □ 0 □ 7 □ □ □【例5】在下面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
当算式成立时，“长大一岁”所代表的四位数的最小值是多少？※【例6】在下面的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字。
当算式成立时，“恭贺新禧”所代表的四位数的最大值是多少？二、巩固练习1．在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，“有兴趣”所代表的三位数的最大值是 。
2．在下面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
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1. 掌握最值中的数字谜的技巧2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题数字谜中的最值问题常用分析方法1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。
模块一、横式数字谜【例 1】 在下面的算式□中填入四个运算符号+、-、⨯、÷、（每个符号只填一次），则计算结果最大是_______.12345□□□□ 【考点】混合计算中的数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第3题，6分【解析】 为了得到最大结果必须用“×”连接4和5，那么4和5前边一定是“+”，通过尝试得到：例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-5.最值中的数字谜（二）112345203-÷+⨯=. 【答案】1203【例2】将+，-，×，÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。
11111 23456□□□□【考点】混合计算中的数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第9题【解析】题目给出5个数，乘、除之后成3个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数与另一个分数相加应尽量大，，，，；，，，；而，，，；其中最小的是，而，，所以最大【答案】最大【例3】将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数．这个结果最大为．÷++=÷+【考点】混合计算中的数字谜【难度】3星【题型】填空【解析】等号左边相当于三个奇数相加，其结果为奇数，而等号右边的计算结果为奇数时，最大为628487÷+=，又3157987÷++=满足条件(情况不唯一)，所以结果的最大值为87．【答案】87【例4】一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，决赛，8题【解析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x，那么个位数上的数字之和为45x-，则五个两位数上的数字之和为1045459x x x+-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+⨯++++=．【答案】153【例 5】 0. 2.0080.A BCC A B ∙∙=∙∙，三位数ABC 的最大值是多少？【考点】乘除法中的最值问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第4题【解析】 2.008化为分数是251125，可以约分为251125的分数有502250、753375，所以ABC 的最大值为753.【答案】753模块二、乘除法中的最值问题【例 6】 已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即45abcba deed =⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________． 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第7题【解析】 根据题意，45abcba deed =，则abcba 为４５的倍数，所以a 应为０或５，又a 还在首位，所以a ＝５，现在要让abcba 尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令9b =,8c =，则a b c b a ++++＝５＋９＋８＋９＋５＝３６是９的倍数，用５９８９５÷４５＝１３３１符合条件，所以这个五位回文数最大的可能值是59895.【答案】59895【例 7】在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立。
那么，乘积的最大值等于_________。
600×2（A ）6292 （B ）6384 （C ）6496 （D ）6688【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星 【题型】选择 【关键词】迎春杯，高年级，复试，第1题 【解析】 D ，提示：=304226688⨯【答案】D.6688【例 8】 满足图中算式的三位数abc 最小值是________．【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第3题【解析】 为了使得abc 最小，那么a =1，由于三个积的十位数字为0、1、0，那么b =0，个位上可以进位、不进位都必须出现，那么c =2，所以abc =102；评注：这是有极值要求的残缺数字谜问题，如果没有abc 最小的限制，那么方法很多，即使在abc 最小时，也有很多填法。
本题可以改编成计数与数字谜的综合试题，其它条件不变，“在abc 最小时，共有______种不同填法；”，答案：20；【答案】20【例 9】 若用相同汉字表示相同的数字，不同汉字表示不同的数字，则下列算式中，5=8⨯⨯学习好勤动脑勤动脑学习好“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？ 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 设“学习好”为x ，“勤动脑”为y ，则有()()1000510008x y y x +⨯=+⨯，化简得49927995x y =，即128205x y =，有205128x y =⎧⎨=⎩，410256x y =⎧⎨=⎩，615384x y =⎧⎨=⎩，820512x y =⎧⎨=⎩．所以，“学习好勤动脑”所表示的六位数可能为205128，410256，615384，820512，由于不能有重复数字，只有410256，615384满足，其中最小的是410256．【答案】410256【例 10】 在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是．640⨯【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 由于被乘数乘以6得到的数的个位数字为4，所以被乘数的个位数字为4或9，如果为9，那么被乘数乘以乘数的十位数字得到的数的个位数字不可能为0，与题意不符，所以被乘数的个位数字为4，且乘数的十位数字为5，所以乘数为56．由于被乘数乘以6得到的五位数至少为10004，而10004616672÷=，所以被乘数大于1667，而被乘数的个位数字为4，所以被乘数至少为1674，乘积最小为16745693744⨯=【答案】16745693744⨯=【例 11】 在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是 ．68⨯【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 由于被乘数乘以6得到一个五位数，而乘以乘数的十位数字得到一个四位数，所以乘数的十位数字小于6，乘数可能是16，26，36，46和56．它们能得到的最小乘积分别是800016128000⨯=，400026104000⨯=，277836100008⨯=，217446100004⨯=，178656100016⨯=．其中最小的为100004，所以乘积最小为100004．【答案】100004【例 12】 在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小．那么商的最小值是 ．16【考点】乘除法中的最值问题 【难度】5星 【题型】填空【解析】 商的十位大于商的百位，所以商的十位最小为7，个位最小为1，所以商的最小可能值是671．当商是671时，由“除数699⨯≤”和“除数7110⨯≥”得5157≤除数1162≤，那么除数是16．所以1073616671÷=满足题意且商最小，所以商的最小值为671．【答案】671【例 13】 在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小．那么商的最小值是 ．53603dcb a5360【考点】乘除法中的最值问题 【难度】6星 【题型】填空【解析】 如右式，用字母表示某些方格内的数．因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的每一位都不小于2，那么商的最小可能值为262．由右式知8d =，所以3c =或8．当2a =时，由5bc a ⨯=，推知3c ≠，所以8c =，进而得7b =，此时题中算式为2043678262÷=，满足题意，所以商的最小值为262．【答案】262【例 14】 在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立，并使商尽量大．那么，商的最大值是__________．000727rq nm k ji h gf e d cb a 00072【考点】乘除法中的最值问题 【难度】6星 【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第6题【解析】 如右式，用字母来表示方格内的数字．易知0f =．为了使商最大，首先令9d =，则e 最大为8(若e也为9，则02km n h ij =，则07km n +的百位数字不能为0)．再由80abc km n ⨯=知08125abc km n =÷≥，由7abc g qr ⨯=知7800125 6.4g qr abc =÷<÷=，所以6g ≤．若6g =，由9d =知d 是g 的1.5倍，则27 1.5800 1.51200h ij qr =⨯<⨯=，矛盾，所以6g =不合题意；若5g =，由70051408005160abc ÷=≤<÷=，而140811208016081280abc km n ⨯=≤⨯=<⨯=， 此时0km n 只可能为1200或1208，150abc =或151，但15091350⨯=，15191359⨯=，均不可能为2h ij ，所以5g =不成立；若4g =，由70041758004200abc ÷=≤<÷=，而175915759220091800abc h ij ⨯=≤⨯=<⨯=， 也不成立；若3g =，可得以下两式符合题意：24507502509803÷=，24605532519803÷=， 所以商的最大值为9803．【答案】9803【例 15】 如下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量的小．那么，商的最小值是____________．00072【考点】乘除法中的最值问题 【难度】6星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，第3题）【解析】 显然商十位是0，如果商的千位是2，则除数22⨯=□□□，只能是12□□，从而除数6=□□，乘以商的个位之后不可能等于7□□．如果商的千位是3，因为除数乘以商的百位后等于00□□，商的个位只能是1或2． 如果商的个位是1，则除数等于7□□，商的百位最少是4，此时750等数符合条件． 如果商的个位是2，则除数等于7□□，此时商的百位必须大于4． 所以，商的最小值是3401．【答案】3401。