2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
哈九中高二上学期期中考试数学试卷学生版
哈尔滨市第九中学2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）1.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c +- 2.已知直线1l ：210x ay -+=和2l ：()10a x y a --+=平行，则实数=a （）A.1- B.2C.1-或2D.13.若点()1,1P 在圆C ：2220x y x m ++-=的外部，则m 的取值范围为（）A.()1,4- B.()4,1- C.()1,-+∞ D.(),4-∞4.已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，作PH y ⊥轴于点H ，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（）A.2214x y += B.22116x y += C.22116y x += D.2214y x +=5.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22x a y b -+-可以转化为点(),x y 到点(),a b 的距离，则22148x x x +-+）．A.3B.221+ C.23D.136.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,32,4AC BC AB AA ====，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为（）A .1625-B.925C.1625D.457.已知椭圆22:11612x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，1m PF =，2n PF =，则4m nmn+的最小值为（）A.98 B.54C.20379- D.20379+8.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且5cos ,013BAC AB BD ∠=-⋅=，则E 的离心率为（）A.173B.375C.102D.5二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知点()1,2P -到直线:430l x y C -+=的距离为1，则C 的值可以是（）A.5B.10C.5- D.1510.已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（）A.当14t <<时，曲线C 是椭圆B.当4t >或1t <时，曲线C 是双曲线C.若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<D.若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则4t >11.已知圆1C ：()2234x y -+=，圆2C ：221x y +=，则（）A.两圆外切B.直线1x =是两圆的一条公切线C.直线2x my =+被圆1C 截得的最短弦长为23D.过点23,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭作圆2C 的切线仅有一条12.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（）A.1122a c a c -=-B.1122a c a c +=+C.1212c c a a < D.1212c a a c >第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若向量()()1,2,3,2,3,1a b =-=--，则2a b +=r r _______．14.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为______．15.P 点在椭圆221164x y +=上，B (0，3)，则BP 长的最大值为___________.16.已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为____________．四、解答题（本大题共6题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤）17.已知直线1l 经过点()2,3A ．（1）若1l 与直线2l ：240x y ++=垂直，求1l 的方程；（2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求1l 的方程．18.圆O ：228x y +=内有一点()01,2P ，过0P 的直线交圆于A ，B 两点.（1）当0P 为弦AB 中点时，求直线AB 的方程；（2）若圆O 与圆C ：()()22119x y +++=相交于E ，F 两点，求EF 的长度.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，顶点P 在底面上的射影为正方形的中心,O E 为侧棱PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若22AB =，四棱锥P ABCD -的体积为163，求PB 与平面DBE 所成角．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，且离心率为63.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点O 的直线:l y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，求ABO 面积的最大值及此时直线l 的方程.21.已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，且经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点F 且斜率为()0k k ≠的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使AF BT BF AT ⋅=⋅恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期11月期中地理试题
哈尔滨市第九中学2024—2025学年度上学期期中学业阶段性评价考试高二地理学科考试试卷(考试时间: 75分钟满分: 100分共5页)一、选择题(共50分，1-10题每小题 1分，11-30题每小题2分，每小题只有一个选项．．．．．．符合题意)下图为我国某地的等高线地形图，据此完成1-2小题。
1. 图中四河段中，流速最慢的是 ( )A. ①B. ②C. ③D. ④2. 图中山峰与丙村庄的相对高度可能为( )A. 350米B. 400米C. 450米D. 500米下图为2023年7月7日16时某区域海平面等压线分布图。
甲区域处于梅雨区。
梅雨的特点是阴雨连绵、持续高温高湿。
梅雨结束后，雨带移至华北地区，江淮流域进入高温少雨天气。
读图, 完成3-4小题。
3. 造成甲区域历年6月中旬到7月上旬多阴雨连绵天气的原因是 ( )A. 冷暖气团势均力敌B. 地形阻挡，锋面移动缓慢C. 地面受热，对流旺盛D. 台风登陆，气旋控制，气流上升4. 此时，日本本州岛附近海域最不可能吹的风向是( )A. 东南风B. 西南风C. 西北风D. 偏南风读黄土高原和狮身人面像照片，完成5-6小题。
5. “千沟万壑、支离破碎”是黄土高原地表形态的典型写照，其成因主要是 ( )A. 风力侵蚀B.风化作用C. 流水侵蚀D. 冰川侵蚀6. 矗立在尼罗河畔的埃及狮身人面像缺损严重，其主要原因是 ( )A. 雨水侵蚀和溶蚀作用B. 风化和风蚀作用C. 喀斯特作用D. 海蚀作用许多沿海国家与地区积极利用海水淡化技术解决淡水不足。
下图是某沿海国家海水淡化储水塔，风格独特，成为当地的地标性建筑。
据此完成7-8小题。
7. 最需要运用海水淡化技术补充淡水资源的国家是 ( )A. 科威特B. 新加坡C. 日本D. 冰岛8. 从经济和生态效益角度考虑，该国海水淡化可直接利用的能源是( )A. 太阳能B. 化石能C. 风能D. 潮汐能下图为世界局部图。
据此完成9-10小题。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中考试数学试题
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中考试数学试题1. 已知集合A ={x|x ≤1}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =（ ）A ． {0,1,2}B ． {x|x ≤2}C ． {−1,0,1}D ． [−1,1]2. 将23=8化为对数式正确的是（ ）A ． log 23=8B ． log 28=3C ． log 82=3D ． log 32=83. 函数y =a x −1a （a >0，且a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知函数f(x)=−x|x|，则在区间(0,+cx)上（ ）A ． f(x)>0 恒成立B ． f(x) 有最小值C ． f(x) 单调递增D ． f(x) 单调递减5. 已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ，则当x <0时，f(x)的解析式为（ ）A ． −x 2−2xB ． −x 2+2xC ． x 2+2xD ．以上都不对6. 已知幂函数f(x)的图象过点(2,12)，则函数g(x)=(x 2+3x +1)·f(x)在区间[12,1]上的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67. 在R 上定义新运算|abcd|=ad −bc ，若存在．．实数x ∈[0,1]，使得|x −4m1x|≥0成立，则m 的最大值为（ ）A ． 0B ． 1C ． −3D ． 38. 已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，设g(x)=f(x +1)，若a =g(−π)，b =g(2−1)，c =g(−1)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． c <b <aB ． a <b <cC ． b <a <cD ． c <a <b9. 已知1≤a −b ≤2,2≤a +b ≤4，则a 的取值可以为（ ）A．1 B．52C．3 D．410.下列说法正确的是（）A．“ a>b”是“ |a|>|b|”的充分不必要条件B．命题“ ∃x∈(−3,+∞)，x2≤9”的否定是“ ∀x∈(−3,+∞)，x2>9”C．若a>b，则a3−b3>a2b−ab2D．若f(x)关于点(1,0)中心对称，则f(2−x)+f(x)=011.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是（）A．f(√2)=1B．f(x)的定义城为RC．∀x∈R，f(f(x))=1D．f(x)为偶函数12.已知函数f(x)的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得f(x)：（1）f(x)在[m,n]上是单调函数；（2）f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n]，则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）A．f(x)=x2B．f(x)=1xC．f(x)=x+1x D．f(x)=3xx2+113.已知函数f(x)=x2−2mx在[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为________.14.已知函数f(x)=x2−2x,x∈[0,b]，且该函数的值域为[−1,3]，则b的值为_____.15.设函数f(x)={x 12+1,x>02x,x≤0，则f(f(−4))=___________．16.哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元.17.已知集合A={x|a−2<x<a+2}，集合B={x|12≤2x≤32}；(1)若a=−1，求A∩B与(C R A)∪B；(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围.(x≠0,m,n∈R)且f(1)=3，f(2)=5.18.已知函数f(x)=mx2+nx(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在(1,+∞)上单调递增.19.已知定义在R上的函数f(x)满足∀x、y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)；∀x>0，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)证明f(x)是R上的增函数；(3)若f(a+2)<f(6−a)，求a的取值范围.20.设函数f(x)=x2−(a+1)x+a，a∈R.(1)解关于x的不等式f(x)<0；(2)已知x∈[1,5]时，f(x)≥a−4恒成立，求a的取值范围.21.为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计算；当月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过的部分按每千瓦时0.5元计算．（1）设月用电x千瓦时时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）若某家庭一月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？（3）若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表：22.已知指数函数y=a x(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6；(1)求a的值；(2)求f(x)=a2x+m·a x+1在[0,1]上的最大值，井将结果表示成一个关于m的分段函数g(m)；(3)设ℎ(x)=a2xa2x+2，求ℎ(12023)+ℎ(22023)+⋯+ℎ(20222023)的值.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期期中考试物理试卷(含选择题答案)
哈尔滨市第九中学2024—2025学年度高三上学期期中考试物理学科试卷（考试时间：90分钟 满分：100分）一、选择题（本题共14小题，共47分。
在每小题给出的四个选项中，第1~9题只有一项符合题目要求，每小题3分；第10~14题有多项符合题目要求，每小题4分，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分）1．如图所示，物块A 和物块B 用一根轻质弹簧连在一起静置于光滑水平地面上。
某时刻A 获得一瞬时速度，在弹簧压缩的过程中，关于A 、B 和弹簧构成的系统，下列说法正确的是（ ）A ．系统动量守恒，机械能守恒B ．系统动量守恒，机械能不守恒C ．系统动量不守恒，机械能守恒D ．系统动量不守恒，机械能不守恒2．下列关于机械波的说法正确的是（ ）A ．产生多普勒效应的原因是波源频率发生了变化B ．在一个周期内，介质的质点所通过的路程等于振幅C ．发生干涉现象时，介质中振动加强点振动的振幅最大，减弱点振幅可能为零D ．某一频率的声波，从空气进入水中时，波长和频率均增大3．如图所示，质量为m ，半径为R 的四分之一光滑圆弧轨道小车静置于光滑水平面上。
一质量也为m 的小球以水平初速度冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，不计空气阻力，下列说法不正确的是（ ）A ．上述过程小球和小车组成的系统水平方向动量守恒B ．球返回到车左端时，车向右运动的速度最大C ．无论小球初速度多大，小球最终都会从小车左侧离开D ．小球返回到小车左端后将向左做平抛运动4．一质量为2kg 的物块在合外力F 的作用下从静止开始沿直线运动。
F 随时间t 的变化规律如图所示，4s 末物块速度的大小为（）0v 0vA ．1m/sB ．2m/sC ．4m/sD ．05．如图所示，在光滑水平面上有一小车，小车上固定一竖直杆，总质量为M ，杆顶系一长为L 的轻绳，绳另一端系一质量为m 的小球，绳被水平拉直处于静止状态，将小球由静止释放，重力加速度为g ，不计空气阻力，已知小球运动过程中，始终未与杆相撞。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2021-2022学年高二上学期期中学业阶段性评价考试历史(文)试卷
哈尔滨市第九中学2021---2022学年度上学期高二文科历史学科期中考试试卷（考试时间：90分钟满分：100分共4页）一、单项选择题（共32小题，每小题1.5分，共48分。
在每个小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请考生选出，填涂到答题卡上）1.如图为浙江杭州严家桥良渚文化遗址出土的距今约4000年的双钱结藤编残件图。
它体现了A.历史传承与民族认同的统一B.社会组织的复杂C.劳动技能与艺术审美的结合D.等级秩序的确立2.考古发现，地处黄河流域中游的陶寺古城，南北长约1000米、东西宽约560米，面积约56万平方米。
城南为公共墓地。
在已发掘的1000多座墓葬中，有9座大型墓葬，出土了象征权力的钺和斧之类的玉石兵器。
这表明A.中央集权体制初现B.多元一体的格局形成C.早期国家已经出现D.社会分工日趋精细3.张荫麟在《中国史纲》中指出：“严格地说封建社会的要素是这样：在一个王室的属下，有宝塔式的几级封君，每一个封君，虽然对于上级称臣，事实上是一个区域的世袭的统治者而兼地主。
”在符合这些要素的古代中国“封建社会”中A.血缘关系是维系国家统治的重要支柱B.用森严的礼乐制度强化封建君主专制C.形成了从中央到地方的垂直管理体系D.小农经济是封君统治的主要经济基础4.据《周礼》记载，西周时期与国君同族的下层国人也拥有干预政治的权力，遇有重大问题，国君要询问全体国人的意见，国人可以批评甚至废除国君。
这说明西周A.建立行政监察体制B.保留部分氏族民主制传统C.形成中央集权体制D.具备完善的中枢决策体制5.《史记》记载“匈奴，其先祖夏后氏之苗裔也。
”“越王勾践，其先禹之苗裔，而夏后帝少康之庶子也。
”“秦之先，帝颛顼之苗裔。
”“楚之先祖出自帝颛顼高阳。
高阳者，黄帝之孙，昌意之子也。
”据此可知，司马迁A.主张对边地民族加强管控B.强调华夏族的统领地位C.认识到宗法制影响力较大D.倡导华夷同源的历史观6.据《六国年表》载，秦孝公二十二年，封商鞅为列侯，以封地称商君。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．5B．156．已知A，B是曲线||x-最大值与最小值的比值是（A．5B．3-7．在平行六面体ABCD ABD=（∠= ，则1DAB60二、多选题9．直线()12:0,:00,l ax y b l bx y a ab a b --=-+=≠≠，下列图象中正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．（多选题）两条平行直线l 1，l 2分别过点P (-1，3)，Q (2，-1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离可能取值为（）A ．1B ．3C ．5D ．711．下列结论正确的是（）A ．若向量,,a b c是空间一组基底，则,,23-+- a b a c c b 也是空间的一组基底B ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l αC ．若()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--，则点P 在平面ABC 内D ．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量,(,λμλμ=+∈ n a b R 且,0λμ≠），则//m nu r r12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）三、填空题四、解答题17．已知点()2,1A -，()2,3B ，()1,3C --：(1)若BC 中点为D ，求过点A 与D 的直线方程；(2)求过点B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程．18．已知ABC 的顶点()4,1A ，AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为50x y --=(1)求点B 坐标；(2)求BC 边所在直线方程.19．已知圆C 经过()2,3-，()4,3，()1,0三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ，求Γ的方程.20．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H ．(1)求直线BC 与平面ABF 所成角的大小；(2)求线段PH 的长．21．直线l 过点()3,2P 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．(1)若直线l 与直线2320x y +-=垂直，求直线l 的方程；(2)如图，若2AP PB =，过点P 作平行于x 轴的直线交y 轴于点M ，动点E 、F 分别在线段MP 和OA 上，若直线EF 平分直角梯形OAPM 的面积，求证：直线EF 必过一定点，并求出该定点坐标．22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC AA ==，D 为11A B 的中点，G 为1AA 的中点，E 为1C D 的中点，3BF AF =，点P 为线段1BC 上的动点（不包括线段1BC 的端点）．（1）若//EP 平面CFG ，请确定点P 的位置；（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（A ．292二、多选题9．设m 为实数，若方程A ．0m >B ．该圆必过定点C ．若直线x y -+D ．当1m =-时，该圆上的点到直线10．已知抛物线C ：点，点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上A ．1p =B ．当AB y ⊥轴时，C ．11AF BF+为定值D ．若2AF FB =11．已知数列{}n a 满足则下列结论正确的是（A ．数列{}n a 为等差数列C ．数列{(1)nn a -12．已知1F ，2F 分别为椭圆轴上），12PF F △外接圆的圆心为四、解答题17．已知圆22:20M x y x +-=与圆22:80N x y x a +-+=外切.(1)求实数a 的值；(2)若直线20x y --=与圆M 交于A ，B 两点，求弦AB 的长.18．已知12a =，若()1+=-n n n a n a a .(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设3nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：//PB 平面AEC ；(2)若2AB AD ==，4AP =，求平面20．已知抛物线2:2(C y px =为(3,2)M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)记抛物线C 上一点(2,),P m 21．已知数列{}n a 的首项1a =(1)求证：数列{}1n a -为等比数列；(2)记13n n n n b a a +=⋅，求数列{b 22．已知椭圆C 的方程为22x a 右焦点，过1F 作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于(1)求椭圆C 的方程；(2)过B 作x 轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案解析
哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.23.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.294.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A .27B.0C.716-D.916-8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b ，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14.已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19.已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABCBC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21.已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于353sin ||,sin |2|sin()32332ππππ-=-+==-，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln 2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,0,lg a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k a bαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A.27B.0C.716-D.916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈-，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t =时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解： 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+， 11322a +=，∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的数量积的定义得到角C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅>即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅<,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=3cos 2ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C 错误；对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f x m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点,设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1nn n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A ==3A π∠=，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项为1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n nn n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量31(,,1)22PB =-和平面PAD的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得3131(0,0,0),(,,0),(,,0),(0,0,1)2222D A B P -，则3131(,,1),(,,0),(0,0,1)2222PB DA DP =-=-= ，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则310220n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则6sin cos ,4n PB n PB n PB θ⋅=== ，所以直线PB与平面PAD 所成角的正弦值为6 4.19.已知数列{}n a满足11a=，且()1111n na an n n n+-=++．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S，且312nnS-=，求数列{}n b的前n项和n T．【答案】（1）21na n=-（2）1133n nnT-+=-【解析】【分析】（1）利用累加法求出nan，进而得na；（2）求得1213n nnb--=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n na an n n n n n+-==-+++，所以11221111221n n n n na a a a a a a an n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111121212n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21na n=-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为0121135213333n n n T --=++++ ，所以12311352133333n n n T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n n n n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅= ；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B =（2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】选①，由2ABC BC S ⋅=可得：1cos2sin sin2B ac B ac B=⋅=，故有sintancosBBB==又∵()0,πB∈，∴2π3B=；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sinB A B AC C A+-=+，由正余弦定理得222c ac b a+=-，∴2221cos22a c bBac+-==-，又()0,πB∈，∴2π3B=；选③，∵()2cos cosc a B b C+=-，由正弦定理可得()sin2sin cos sin cosC A B B C+=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sinA B B C C B C B A=--=-+=-，∵()0,πA∈，∴sin0A≠，∴1cos2B=-，又()0,πB∈，∴2π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos12c a b ac B ac+=+=-∵0ac>，∴2212a c+<．又有222222122c ac a ac c a+=++≤++，当且仅当2a c==时取等号，可得228c a+≥．即22a c+的取值范围是[)8,12．21.已知等差数列{}n a满足212a a=，且1a，32a-，4a成等比数列.（1）求{}n a的通项公式；（2）设{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T.若{}n a的公差为整数，且()111n nnnSbS+-=-，求nT.【答案】（1）25na n=或2na n=（Nn+∈）（2）当n为正偶数时，1nnTn=-+，当n为正奇数时，231nnTn+=-+【解析】【分析】（1）设出公差d，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b的通项公式，再对n进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a的公差为d，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2n a n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S n n +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111n n n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n n T n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()m f x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x <-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x -'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x >->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m =-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x <-，令*1,n x n n +=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212ln ln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。
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圆 x2 y2 6x 55 0 可化为 x 32 y2 82 ，所以圆心为 C 3,0 ，半径 R 8 ，
则 PC 6 .由于动圆 M 与已知圆相切，且过点 P，所以 MP MC R 8 PC ， 所以 M 的轨迹是椭圆，且 2a 8, 2c 6, a 4, b2 a2 c2 7 ，所以 M 的轨迹方程 为 x2 y2 1.
___________________.
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D． 3 3
由于以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以 b c ， a2 b2 c2 2c2 ，所以
c2 a2
1,c 2a
2. 2
故选：B
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【点睛】 本小题主要考查椭圆离心率的求法，属于基础题.
6．已知双曲线
x2 25
y2 9
1 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，若双曲线左支上有一点 M
p 1.
故选：D 【点睛】 本小题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.
2．若椭圆 x2 16
yห้องสมุดไป่ตู้ b2
1 过点（－2，
3 ），则其焦距为
（）
A．2 5
B．2 3
C．4 3
D．4 5
【答案】C
【解析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数 b ，从而 得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的 a ， b ， c 之间的关系即可求出焦距 2c ．
【详解】
抛物线的交点 F 1, 0 ，准线为 x 1 .由于 AF 5 ，根据抛物线的定义可知 xA 4 ，
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所以
y
2 A
4xA ，解得
yA
4 .不妨设
A4, 4 ，则 kAB
k AF
4 4 1
4 ，所以直线 3
AB
的方程为 y 4 x 1 ，代入抛物线方程并化简得16x2 68x 17 0 ，所以
求解能力，属于中档题.
二、填空题
13．命题“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________．
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【答案】 2 2, 2 2 【解析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知 0 ，解不等式求得结
果. 【详解】
若原命题为假命题，则其否定“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为真命题
16 7
故选：B
【点睛】 本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查椭圆的定义和标准方程，属于基础题. 5．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
【答案】B
【解析】根据已知得到 b c ，由 a2 b2 c2 ，求得离心率 c . a
【详解】
的公共焦点，它们在第一象限内交于点 ， 曲线 的离心率 的值为（ ）
，若椭圆的离心率 ，则双
A． B． 【答案】B
C． D．
【解析】由椭圆与双曲线的定义，知|
所以
．因为
所以
，即
即 故选 B．
因为 ，所以
12．如图，已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F，过点 P4,0 的直线交抛物线
A x1, y1, B x2, y2 两点，直线 AF, BF 分别与抛物线交于 M , N 点，记直线 MN 的
图一），我们形象的称为“筷子夹汤圆”.若 P 点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变， 则 P 到原点的距离始终为一个定值，即 P 的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定 值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是______________.
若矩形 ABCD 的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形 ABCD 的面积最大值为
3
xA
xB
17 4
，所以
AB
xA
xB
p
17 4
2
25 ，所以 4
BF
AB
AF
25 5
5
.
4
4
故答案为： 5 4
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交所得弦长的有关计算，考查运算
求解能力，属于中档题.
16．已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ，过椭圆外一点 P 可以做出两条切线（如
2
15．已知过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点， AF 5 ，
BF _____________. 【答案】 5
4 【解析】根据 AF 5求得 A 点坐标，进而求得直线 AB 的方程，联立直线的方程和抛
物线的方程，利用抛物线的弦长公式求得 AB ，由此求得 BF .
9a2 72 0 ，解得： 2 2 a 2 2
a 的取值范围为 2 2, 2 2 故答案为： 2 2, 2 2
【点睛】 本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否 定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.
14．如果椭圆 x2 y2 1 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________ 36 9
A． 48 3
B． 24 3
C． 16 3 7
D． 16 3 9
【答案】A
【解析】设正三角形为 OAB ，根据对称性求得直线 OA 的斜率，由此求得直线 OA 的
方程，联立直线 OA 的方程和抛物线方程，求得 A 点坐标，由此求得 OA 2 ，进而求得
正三角形的面积. 【详解】
设正三角形为 OAB ， A 在第一象限，根据正三角形和抛物线的对称性可知， OA 的倾
【详解】
由题意知，把点 (2, 3) 代入到椭圆的方程可求得 b2 4 ，故椭圆的方程为
x2 y2 1. 16 4 ∴a 4，b 2.
∵ a2 b2 c2
∴ c 16 4 2 3 ，则其焦距为 4 3 .
故选 C. 【点睛】
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本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，解答本题的关键是正确求出 b ，及熟记椭圆 方程中 a ， b ， c 之间的关系.
斜率为 k1 ，直线
AB 的斜率为 k2 ，则
k1 k2
（
）
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A．1 【答案】D
B．2
C．3
D．4
【解析】设出 A, B, M , N 的坐标，求得直线 AF, BF 的方程，由此求得 M , N 两点的
坐标，由此求得
k1 k2
.
【详解】
依题意 F 1,0 ，设 A x1, y1, B x2, y2 , M x3, y3 , N x4, y4 ，所以 AM 的方程是
到
右焦点 F2 距离为18 ， N 为 MF2 的中点， O 为坐标原点，则 NO 等于（ ）
A． 2 3
【答案】D
B．1
C． 2
D． 4
【解析】由题得 NO 为△ MF1F2 的中位线，所以|NO|＝ 1 |MF1|.再利用双曲线的定义求出 2
|MF1|＝8，所以|NO|＝4．
【详解】
由题得 NO 为△ MF1F2 的中位线，所以|NO|＝ 1 |MF1|.又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1| 2
y2 x2 4
，所以
k1
y1 y2 x1 x2 11
x1 y2 x2 y1 x2 x1
x1 k2 x2 4 x2 k2 x1 4
x2 x1
4k2 x2 x1
x2 x1
4k2 ，
x1 x2
所以
k1 k2
4.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算
2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期中 数学（理）试题
一、单选题
1．抛物线 y2 2x 的焦点到准线的距离是（ ）
A． 1 8
【答案】D
B． 1 4
C． 1 2
【解析】根据抛物线的几何性质，求得焦点到准线的距离.
【详解】
D．1
由于抛物线焦点到准线的距离为 p ，而抛物线方程为 y2 2x ，所以焦点到准线的距离
的离心率 c 2 ，所以 a 1，所以 b2 c2 a2 3，所以双曲线的方程为 x2 y2 1.
a
3
故选：C
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的有关计算，属于基础题.
9．一个正三角形的三个顶点都在抛物线 y2 4x 上，其中一个顶点在原点，这个三角
形面积为（ ）
3．已知原命题“若 a 1，则 a 1a 2 0 ”，那么原命题与其逆命题的真假情况是
（）
A．原命题为真，逆命题为假
B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
【答案】A
【解析】首先判断原命题的真假性，然后写出逆命题，并判断出逆命题的真假性.
【详解】
由于 a 1时， a 1a 2 0 ，所以原命题为真命题.
逆命题为：若 a 1a 2 0 ，则 a 1.是假命题，因为 a 可能为 2 .
故选：A 【点睛】 本小题主要考查原命题与逆命题的真假性，属于基础题.
4．点 P 3,0 是圆 x2 y2 6x 55 0 内的定点，动圆 M 与已知圆相切，且过点 P，
如图，则圆心 M 的轨迹方程为（ ）
y
y1 x1
1
x
1
，设
k0
y1 ，则 x1 1
AM
:
y
k0
x 1 ，与抛物线方程联立可得
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