三角函数的倒数关系与互余关系
初三数学：解直角三角形
解直角三角形知识要点：1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠,tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠(1)平方关系：1cos sin 22=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =⋅； (3)商的关系：tanA=AAcos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系：如果ο90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο；tanA=cot （90°-A ）=cotB2、 解直角三角形3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长．已知条件解法一边及 一锐角直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c=sin a A斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA两边两条直角边a 和b，B ＝90°-A ，直角边a 和斜边csinA=ac，B ＝90°-A ，例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值．例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则CDACAB-等于（）．A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值．例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积．例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值．二：可解的非直角三角形的类型与解法解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考．一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31+，求△ABC各内角的度数．BA DC图1二、“SAS ”型：例2．已知：如图，△ABC 中，∠A=1500，AB=5，AC=4，求△ABC 的面积三、“AAS ”型：例3．已知：如图3，△ABC 中，∠C=600，∠A=750，BC=33+， 求AB 、AC 的长． 四、“ASA ”型：例4．已知等腰∆ABC 的底边长为2，底角为75°，求腰长．五、其他类型：例5．已知：如图，△ABC 中，∠B=600，AB=5，sinC=57，求AC 和BC 的长．相关强化练习：1．等腰三角形底边为20，面积为31003，求各角的大小．2．如图，四边形BCDG 为矩形，∠ABG=45°，GB=20，BC=4，tanE=3，求EC 的长度．3．已知：如图，在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长．CBDA BA C D图2 ACD 图4BA CD图5例题： 如图23，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN 。
七年级数学下册三角形知识点总结
七年级数学下册第五章三角形知识点总结 考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论1三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边. 推论：三角形的两边之差小于第三边. 2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 推论：①直角三角形的两个锐角互余.②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和. ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.4、三角形的面积三角形的面积=21×底×高 考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：1边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS”2角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA”3边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS”.4角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等可简写成“角角边”或“AAS”.直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL”3、全等变换只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.全等变换包括一下三种：1平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.2对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换.3旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换.考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质1等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.1三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形.2要会区别三角形中线与中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.数量关系：可以证明线段的倍分关系.常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半.结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+5、摄影定理在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、锐角三角函数的概念 3~8分 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①c asin =∠=斜边的对边A A②c bcos =∠=斜边的邻边A A③batan =∠∠=的邻边的对边A A A④abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、一些特殊角的三角函数值3、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A,tanA=cot90°—A,cotA=tan90°—A2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4弦切关系：tanA=AAcos sin 三角形相似考点一、比例线段 1、比例的性质 1基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔22更比性质交换比例的内项或外项dbc a =交换内项 ⇒=d c b a acb d =交换外项 abc d =同时交换内项和外项3反比性质交换比的前项、后项：cd a b d c b a =⇒= 4合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒= 5等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC,BCAC>BC,并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC=215-≈ 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”来表示2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的等价关系：1反身性：对于任一△ABC,都有△ABC∽△ABC；2对称性：若△ABC∽△A’B’C’,则△A’B’C’∽△ABC3传递性：若△ABC∽△A’B’C’,并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’,则△ABC∽△A’’B’’C’’.3、三角形相似的判定1三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似.④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似2直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似4、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等,对应边成比例2相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比3相似三角形周长的比等于相似比4相似三角形面积的比等于相似比的平方.5、相似多边形1如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数2相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等,对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比.性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比都等于位似比.由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换.利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.。
三角函数之间的关系转换
三角函数之间的关系转换三角函数之间存在着一些重要的关系转换，包括互余关系、倒数关系、和差关系以及倍角关系。
下面我将从多个角度分别介绍这些关系转换。
1. 互余关系：互余关系是指正弦、余弦、正切和余切之间的关系。
具体来说，对于任意角θ，有以下互余关系成立：正弦和余弦的互余关系，sin(θ) = cos(90° θ)，cos(θ) = sin(90° θ)。
正切和余切的互余关系，tan(θ) = cot(90° θ)，cot(θ) = tan(90° θ)。
2. 倒数关系：倒数关系是指正弦、余弦、正切和余切之间的倒数关系。
具体来说，对于任意角θ，有以下倒数关系成立：正弦和余弦的倒数关系，sin(θ) = 1/csc(θ)，cos(θ) = 1/sec(θ)。
正切和余切的倒数关系，tan(θ) = 1/cot(θ)，cot(θ) = 1/tan(θ)。
3. 和差关系：和差关系是指正弦、余弦和正切之间的和差关系。
具体来说，对于任意角θ和φ，有以下和差关系成立：正弦的和差关系，sin(θ ± φ) = sin(θ)cos(φ) ±cos(θ)sin(φ)。
余弦的和差关系，cos(θ ± φ) = cos(θ)cos(φ) ∓sin(θ)sin(φ)。
正切的和差关系，tan(θ ± φ) = (tan(θ) ±tan(φ))/(1 ∓ tan(θ)tan(φ))。
4. 倍角关系：倍角关系是指正弦、余弦和正切的倍角关系。
具体来说，对于任意角θ，有以下倍角关系成立：正弦的倍角关系，sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
余弦的倍角关系，cos(2θ) = cos²(θ) sin²(θ) =2cos²(θ) 1 = 1 2sin²(θ)。
正切的倍角关系，tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 tan²(θ))。
中考数学-锐角三角函数(解析版)
知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 Acos2 A1
（1）三边之间的关系为 a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式：
S
1 2
ab
1 2
ch
（3）直角三角形外接圆的半径
R c 2
，内切圆半径
r abc 2
结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母 i 表示，即 i h . l
见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在 解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
高中数学三角函数关系总结
高中数学三角函数关系总结三角函数是高中数学中重要的概念之一，涉及到角度和长度的关系。
在数学中，常用的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
本文将对高中数学中的三角函数关系进行总结，重点讨论三角函数之间的关系和基本性质。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是指给定一个角度，通过对角度上的点投影到单位圆上得到的纵坐标值。
正弦函数的定义域为任意实数，值域在[-1, 1]之间。
一些基本关系和性质如下：- 正弦函数的图像具有周期性，即sin(x + 2π) = sin(x)。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，表示正弦函数关于原点对称。
- 正弦函数的最值：在定义域内，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
- 正弦函数的增减性：在[0, π]上，正弦函数是递增的；在[π, 2π]上，正弦函数是递减的。
2. 余弦函数（cos）余弦函数是指给定一个角度，通过对角度上的点投影到单位圆上得到的横坐标值。
余弦函数的定义域为任意实数，值域也在[-1, 1]之间。
一些基本关系和性质如下：- 余弦函数的图像具有周期性，即cos(x + 2π) = cos(x)。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，表示余弦函数关于y轴对称。
- 余弦函数的最值：在定义域内，余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
- 余弦函数的增减性：在[0, π/2]上和[3π/2, 2π]上，余弦函数是递减的；在[π/2, 3π/2]上，余弦函数是递增的。
3. 正切函数（tan）正切函数是指给定一个角度，通过单位圆上的角投影点的纵坐标除以横坐标得到。
正切函数的定义域为(x ≠ (2n+1)π/2，n∈Z)，值域为全体实数。
一些基本关系和性质如下：- 正切函数的图像具有周期性，即tan(x + π) = tan(x)。
- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，表示正切函数关于原点对称。
知识必备09 锐角三角函数(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 ． ．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h 为斜边上的高.要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤两直角边(a ，b)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，两边斜边，一直角边(如c，a)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，锐角、邻边(如∠A ，b)∠B=90°－∠A ，，一直角边和一锐角锐角、对边(如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，Rt △ABC一边一角斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如： 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 16 m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：，，，．(4)如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝AB；②点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径R＝AB．(6)如图所示，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．直角三角形的面积：①如图所示，．（h为斜边上的高）②如图所示，．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（ ）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。
互余,互补三角函数关系
互余,互补三角函数关系1.互余、互补三角函数关系互余角，sinα=cosβ，tanα=cotβ，α+β=180°，sinα=sin（180°-β）=sin（90°-（β-90°））=cos（β-90°）=cos（90°-β）=sinβ。
2.“两角互余”是什么意思？也作两角互余。
3.数学的互补互余是啥意思啊？？这两个角互补；两个角加起来是90°。
这两个角互余。
如果两个不重合的且有同一顶角的两个角相加等于180度，那么我们称这两个角互补（互为补角）。
若角A和角B的度数相加是180度，则称角A 和角B互为补角，A是B的补角，B是角A的补角。
两个角的所在位置并不影响其互为补角，要判断两个角是否互补，扩展资料：两个角之间数量关系的数学名词。
若两个角互为余角”则可以说其中一个角是另一个角的余角。
互为余角，是两角之间的数量关系。
与两个角的位置无关“互余”概念中的角总是成对出现，只有锐角才有余角；互补（互为补角）也是描述两个角之间关系的数学名词“4.什么叫互余的两角?看这是百科上完整的答案：那么我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A=30°，∠A=15°。
∠B=75°，∠A与∠B互为余角“1、同角或等角的余角相等∠A +∠C=90°。
∠C=90°－∠A，∠A的余角=90°－∠A，∠A与∠B互为余角∠C的余角=90°－∠C：同角的余角相等。
5.互余的定义看这是百科上完整的答案：如果两角之和为90°，那么我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
例如：∠A=30°，∠B=60°，∠A+∠B=90°，则称“∠A与∠B互为余角”。
∠A=15°，∠B=75°，∠A+∠B=90°，则称“∠A与∠B互为余角”。
【中考冲刺】初三数学培优专题 12 三角函数(含答案)(难)
三角函数阅读与思考三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系． （1）平方关系：1cos sin 22=+αα； （2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =； （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα．2．善于解直角三角形．从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形， 关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解【例1】在△ABC 中，BC ＝1992，AC ＝1993，AB ＝19931992+，则=C A cos sin ．（河北省竞赛试题）解题思路：通过计算，寻找BC 2，AC 2，AB 2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A ＝600，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ． 求AD ，BC 的长．（精确到1m ，732.13≈）图2图1F EAE AABCDDC BDC B解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A ，所以连结AC 不行．延长AD 和BC 交于一点E （如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A ；或过点D 作矩形ABEF （如图2）来求解．【例3】如图，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若31tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10． （1）求△ANE 的面积； （2）求ENB ∠sin 的值．解题思路：将31tan =∠AEN 与DC ＋CE ＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．【例4】如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2），过D 作DF ⊥CB 于F ，设DE =x ，建立关于x 的方程．【例5】若直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦是方程02=++q px x 的两个根． （1）那么，实数p ，q 应满足哪些条件？（2）如果p ，q 满足这些条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦？（江苏省竞赛试题）解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法． C【例6】设a ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n≥3．求证：nn n c b a <+．（福建省竞赛试题）解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．能力训练A 级1．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC 于E ．若BD ＝8，43sin =∠CBD ，则AE ＝ ．2．已知00900≤≤α，则ααsin sin 45+-=y 的最大值是 ，最小值是 ．（上海市理科实验班招生考试试题）3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠BAC ＝300，BC ＝1，D 为BC 边上的一点，ADC ∠tan 是方程 2)1(5)1(322=+-+xx x x 的一个较大的根，则CD ＝ ． 东第5题图第1题图第3题图BACAO4．已知△ABC 的两边长a ＝3，c ＝5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，则A sin 的值为 ． （哈尔滨中考试题） 5．如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东600距离500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ） A ．250mB ．3250mC ．33500mD ．2250m6．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝300，D 是AC 的中点，则DBC ∠cot 的值是（ ） A ．3B ．32C ．23D ．43 （大连市中考试题）7．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） （黄冈市中考试题） A ．27海里B ．214海里C ．7海里D ．14海里8．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（ ） A ．36B ．35C ．34D ．33第7题图第6题图第8题图东北BA OA9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB ＝150厘米，∠BAC ＝300，另一根辅助支架DE ＝76厘米，∠CED ＝600． （1）求垂直支架CD 的长度（结果保留根号）；（2）求水箱半径OD 的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：73.13,41.12≈≈）．（扬州市中考试题）图2图1A10．若α为锐角，求证：4cos sin 1cos 1sin 1>⋅++αααα． （宁波市竞赛试题）11．如图，已知AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝900, ∠CBD ＝300，求AC 的长．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝1．若AD ，BD 的长是关于x 的方程 02=++q px x 的两根，且2tan tan =-B A ，求p ，q 的值并解此二次方程．ABDCB 级1．若0300<<θ，且31sin +=km θ（k 为常数，k ＜0），则m 的取值范围是 ． 2．设00450<<α，1673cos sin =⋅αα，则=αsin ． （武汉市选拔赛试题） 3．已知在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角，且2tan ,135sin ==B A ，AB ＝29cm ，则△ABC 的面积等于 ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ． （全国初中数学联赛试题） 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CAB ＝300，AD 平分∠CAB ，则CDACCD AB -的值为（ ） A ．3B ．33C ．33-D ．326-（湖北省选拔赛试题）第4题图第5题图NBAB AMD6．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD 上一点，∠ABE ＝450，则AEB ∠tan 的值等于（ ） （天津市竞赛试题） A ．23B ．2C ．25D ．3 7．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CBD ＝300，则DCAD＝（ ） A ．33 B ．22 C ．12- D ．13-（山东省竞赛试题）第7题图第6题图BA BDE8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼梯AD ，BE 和一段水平天台DE 构成．已知天桥高度BC ＝4. 8米，引桥水平跨度AC ＝8米． （1）求水平天台DE 的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN 的高度为3米，求两段楼梯AD 与BE 的长度之比．（参考数据：取75.037tan ,80.037cos ,60.037sin 0===） （长沙市中考试题）NA9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c ＝35．若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积．（武汉市中考试题）10．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且BEG ∠与CFH ∠都是锐角．已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 的面积为S ． （1）求证：klS2sin =θ； （2）试用S l k ,,来表示正方形ABCD 的面积．（全国初中数学联赛试题）EGHF11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝900，BC ＝CD ＝10，54sin C ． (1) 求梯形ABCD 的面积；（2）点E ，F 分别是BC ，CD 上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ，求△EFC 面积的最大值，并说明此时E ，F 的位置．（济宁市中考试题）BCADEF12．如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面．已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为300，此时，求：（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？（山东省竞赛试题）三角函数例1 AC 2－BC 2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB 2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，得∠B ＝90°，故原式＝(19921993)2.例2 AD ＝227m ，BC ＝146m . 解法一:延长AD ，BC 交于点E ，如图1. 在Rt △ABE 中，AB ＝200m ，∠A ＝60°，∴BE ＝AB ·tanA ＝200 3 (m )，AE ＝AB cos 60°＝2000.5＝400(m ). 在Rt △CDE 中，CD ＝100m . ∠E ＝90°－∠A ＝30°，∴CE ＝2CD＝200(m . ∵cot ∠E ＝DECD ，DE ＝CD ·cot 30°＝100 3 (m )，∴AD＝AE －DE ＝400－1003≈227(m )，BC ＝BE －CE ＝2003－200≈146(m ). 解法二:如图2，过点D 作矩形ABEF . 设AD ＝x . 在Rt △AFD 中，∠DAF ＝90°－60°＝30°，∴DF ＝12AD ＝12x ，AF ＝32x ，在Rt △CED中，∠CDE ＝30°，∴CE ＝12CD ＝50(m )，DE ＝32CD ＝503(m )，∵DE ＋DF ＝AB . ∴503＋12x ＝200，解得x ＝400－100 3. ∴AD ＝400－1003≈227(m ). ∵BC ＋CE ＝AF ，∴BC ＝AF －CE ＝32(400－1003)－50＝2003－200≈146(m ).例3 ⑴103 ⑵35 提示：tan ∠AEN ＝tan ∠EAB ＝EBAB.例4 ⑴设DE ＝x (海里)，则客轮从A 点出发到相遇之处E 点的距离为2x 海里. 若2x <200，则x <100，即DE <12AB ，而从D 点出发，货轮到相遇点E 处的最短距离是100海里，所以x ≥100，即2x ≥200，故相遇处E 点应在CB 上，选B . ⑵设货轮从出发点D 到两船相遇处E 共航行了x 海里，如图，过D 作DF ⊥CB 于F ，连DE ，则DE ＝x ，AB ＋BE ＝2x ，DF＝100，EF ＝300－2x ，由x 2＝1002＋(300－2x )2，得x ＝200－10063(海里).例5 ⑴p ，q 应满足以下条件：⎩⎪⎨⎪⎧△＝p 2－4q ≥0sinA ＋sinB ＝－p sinA ·sinB ＝q0＜sinA ＜10＜sinB ＜1sin 2A ＋cos 2A ＝1. 由此推得⎩⎨⎧p <00<q ≤12p 2－2q ＝1 ,⑵先设方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根为α，β，若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q ≥0 ①0＜α＜1，0＜β＜1②α2＋β2＝1 ③，则α，β必定是直角三角形的两个锐角的正弦;若α，β不满足条件①②③式中任何一个，则结论是否定的.例6 设α为直角三角形一锐角，则sinα＝a c ，cosα＝bc . ∵0<sinα<1，0<cosα<1∴当n ≥3时，sin n α<sin 2α，a bA 级1. 9 2. 5 1 提示：用换元法. 3. 43－213 4. 116 5. A 6.B 7. A 8. B 9. ⑴在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76. ∵sin ∠CED ＝DC DE，∴DC ＝DE ·sin ∠CED ＝383(厘米). 故垂直支架CD 的长度为383厘米.⑵设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383＋x )厘米，AO ＝(150＋x )厘米. ∵Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°，∴AO ＝2OC ，即150＋x ＝2(383＋x ），解得x ＝150－763≈18. 52≈18. 5(厘米). 故水箱半径OD 的长度为18. 5厘米.10. (1sinα－1)＋(1cosα－1)＋(1sinαcosα－2)＝1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋1－2si nαcosαsinαcosα，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于是有1－ sinα>0,1－ cosα>0,∴1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋(sinα－cosα)2sinαcosα>0，即1sinα＋1cosα＋1sinαcosα>4. 11. 过C 作CE ∥AB 交BD 于E ，设AC ＝x ，则CB ＝21x -，CE ＝BC ·tan ∠CBE ＝213x -. 由△DCE ∽△DAB ，得CD CE AD AB =，即21113x x -=+，化简得（x ＋2）（x 3－2）＝0，解得x ＝32，即AC ＝32. 12. P ＝－22，q ＝1，x 1,2＝21±. 提示：tan A －tan B ＝()CD CD CD BD AD AD BD AD BD -=-⋅. B 级1. 1163m k k <<-2. 743. 145cm 24. 13提示：延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连接TO ，则△BAM ∽△TOB . 5. B 6. D 7. D8. （1）如图，延长线段BE ，与AC 相交于点F ，∴DE ＝AF ，∠BFC ＝∠A ＝37°. 在Rt △BCF 中，tan ∠BFC ＝BF CF ，∴CF ＝ 4.8 6.4tan 370.75BC ==︒（米），∴DE ＝AF ＝AC －CF ＝8－6. 4＝1. 6（米）. 故水平平台DE 的长度为1. 6米. （2）延长线段DE ，交BC 于点G . ∵DG ∥AC ，∴∠BGM ＝∠C ＝90°，∴四边形MNCG 是矩形，∴CG ＝MN ＝3（米）. ∵BC ＝4. 8（米），∴BG ＝BC －CG ＝1. 8（米）. ∵DG ∥AC ，∴ 1.834.88BE BG BF CB ===，∴53EF BE =，而AD ＝EF ，故53AD BE =.9. 18 提示：222a b c +=，3sin 5A =. 10. 提示：（1）S =S △EFG ＋S △FGH ＝1sin 2EG FH θ⋅. （2）过E ，F ，G ，H 分别作正方形ABCD 的垂线，得矩形PQRT . 设ABCD 的边长为a ，PQ ＝b ，QR ＝c ，则22b k a =-，22c l a =-. 由S △AEH ＝S △THE ，S △BEF ＝S △PEF ，S △GFC ＝S △QFG ，S △DGH ＝S △RGH ，得S ABCD第8题图＋S PQRT ＝2S EFGH ，∴a 2＋bc ＝2S ，即22a S =. ∴222222(4)4k l S a k l S +-=-，由（1）知22sin S kl S θ=>，∴2224k l kl S +≥>. 故22222244k l S a k l S -=+-. 11. （1）S 梯形ABCD ＝56. （2）E ，F 分别是BC ，DC 的中点，设运动时间为x 秒，则S △EFC ＝22224(5)1055x x x -+=--+，当x ＝5时，S △EFC 面积最大，最大值为10. 12. （1）折冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，那么图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度. 设CE ⊥AB 于点E ，则∠AEC ＝90°，∠ACE ＝30°，EC ＝20米，∴AE ＝EC tan ∠ACE ＝20tan30°≈11. 6（米），CD ＝EB ＝AB －AE ＝4. 4（米）.（2）设点A 的影子落在地面上某点C ，则∠ACB ＝30°，AB ＝16米，∴BC ＝AB cot30°≈27. 7（米），故要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27. 7米.。
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
九年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)专题 三角函数的应用
专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）【学习目标】会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°．（1）互余关系：sin cos A B =，0c sin(9)s n os i A A B ︒=-∠=；（2）平方关系：22sin cos 1A A +=；（3）倒数关系：tan(90)1tan A A ︒⋅-∠=或1t n an a t A B=；（4）商数关系：i t n an s cos A A A=． 要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、利用同角三角函数关系求值1．计算：（1）2tan452sin30cos 30-+； （2）22tan1tan89sin 1sin 89⋅++．举一反三：【变式1】2．已知△A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A 的值是多少。
【变式2】3．如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长．【变式3】4．求值：(1)260453456cos sin tan tan +-⋅； ()2已知2tanA =，求245sinA cosA sinA cosA-+的值． 类型二、求证同角三角函数关系式5．已知：1sin15cos15sin302⋅=，1sin20cos20sin402⋅=，1sin30cos30sin602⋅=，请你根据上式写出你发现的规律________．举一反三：【变式1】6．已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：△sin cos 0a b c θθ+-=；△cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【变式2】7．△sin 2A+cos 2A=________，△tanA•cotA=________．类型三、互余两角的三角函数的关系8．在Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及△B 的三个三角函数值． 举一反三：【变式1】9．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．10．在Rt△ABC中，△C=90°，sinA=34，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．【变式3】11．在Rt△ABC中，△C＝90°，cosB＝35，求tanA的值．类型四、三角函数综合12．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，sin A＝45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos △ABE的值．举一反三：【变式1】13．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．14．如图，已知四边形ABCD 中，△ABC=90°，△ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若△A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【变式3】15．如图，在Rt ABC 中，90,30,B A AC ∠=︒∠=︒=（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．参考答案：1．（1）34；（2）2. 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，sinA=cosB 计算.【详解】()1原式21331211244=-⨯+=-+=； ()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=⨯++ 11=+2=.故答案为（1）34；（2）2. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算.2．74【分析】先求出A ∠的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.【详解】A ∠为锐角，且1sin 2A = 30A ∴∠=︒cos cos30A ∴=︒=22224117 44()4224sin A sinAcos A A cos ∴-+⨯-⨯== 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.3．（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF ∠=∠，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF ∠=∠，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．【详解】（1）证明=90AEB CFD ， △//AE CF ，在ABCD 中，//AB CD ，=AB CD ，△ABE CDF ∠=∠，△ABE ≌CDF ()AAS ，△AE CF =，△四边形AECF 是平行四边形．（2）解：△ABE ≌CDF ，△BE =DF ，△四边形AECF 是平行四边形，△EAF FCE ，在Rt ABE 中5AB =，3tan 4ABE ∠=，△AE =3，BE =4．△BE =DF ，AE =CF ，△BE =DF =4，AE =CF =3，EAF FCE ，CBE EAF ∠=∠，△CBE ECF ∠=∠，△tan△CBF =34CF BE EF EF =++，tan△ECF =3EF EF CF =，△343EF EF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），△BD 2=6，即BD =6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．4．（1）0；（2）313. 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．【详解】（1）原式12=+）2﹣11122=+-1=0； （2）△tan A =2，△sin cos A A =2，△sin A =2cos A ，△原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．5．1sin cos sin22ααα⋅= 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：1sin cos sin22ααα⋅=. 故答案为1sin cos sin22ααα⋅=. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.6．a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．【详解】由△得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2△，由△得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2△，△+△得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，△a 2+b 2=c 2+d 2．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．7． 1 1【详解】如图，设Rt△ABC 中，△C=90°，△A 、△B 、△C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=b c ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ， △（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===； （2）tanA•cotA=1a b b a ⋅=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.8．见解析．【分析】根据已知角A 的正弦设()30BC k k =>，得出5AB k =，由勾股定理求出4AC k =，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】△sin A ＝35＝BC AB ， △设()30BC k k =>，5AB k =，由勾股定理得：4AC k =，则cos A ＝4554AC k AB k ==， tan A ＝3344BC k AC k ==， sin B ＝45AC AB =， cos B ＝35BC AB =， tan B ＝43AC BC =．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键．9．cos A ＝35. 【分析】先根据三角形内角和定理得出△A+△B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．【详解】解：在△ABC 中，△△C ＝90°，△△A ＋△B ＝90°，△cos A ＝sin B ＝35. 故答案为：35. 【点睛】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．1034【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．【详解】解:如图因为Rt △ABC 中，△C=90°，3sin 4A =， 所以34BC AB =， 设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC ．所以cos AC A AB ===，sin AC B AB== 33cos 44BC k B AB k ===，tanBC A AC ==，tan AC B BC === 11．34【分析】在Rt △ABC 中，△C ＝90°，根据，cosB ＝BC AB ＝35，设BC ＝3x ，AB ＝5x ，再根据勾股定理，可得AC 的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．【详解】解 由在Rt △ABC 中，△C ＝90°，cosB ＝35，得 cosB ＝BC AB ＝35， 设BC ＝3x ，AB ＝5x ，勾股定理得AC 4x ，由正切等于对边比邻边，得tanA ＝BC AB =3x 4x =34. 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（1）5；（2）2425. 【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos△ABE =BE BD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，△△ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，△AB ＝10.△D 是AB 的中点，△CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt△ABC 中，△AB ＝10，BC ＝8，△AC ＝6.△D 是AB 中点，△BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，△S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，△BE ＝6824255⨯=⨯. 在Rt△BDE 中，cos△DBE ＝BE BD ＝ 2455＝2425，即cos△ABE 的值为2425. 点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.13．渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．【详解】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；△AD=30+12 x，△AD2+CD2=AC2，即：（30+12x）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点睛】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．14．（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．【详解】（1）△△A=60°，△ABE=90°，AB=6，tanA=，△△E=30°，BE=tan60°•6=6，又△△CDE=90°，CD=4，sinE=，△E=30°，△CE==8，△BC=BE﹣8；（2））△△ABE=90°，AB=6，sinA==，△设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，△3x=6，得x=2，△BE=8，AE=10，△tanE====，解得，DE=，△AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．考点：解直角三角形．15．（1）作图见解析；（2）10.【分析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度．【详解】解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，△1122AE AC ==⨯△2cos cos30AE AE AD A ====︒， △1sin sin 30=212DE AD A AD ==︒⨯=，△123a =+=3110T a ∴=+=．。
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三角函数的倒数关系与互余关系三角函数是数学中重要的概念之一，它们广泛应用于几何、物理等领域。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
本文将讨论三角函数的倒数关系与互余关系。
一、正弦函数与余弦函数的倒数关系
正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是最常见的三角函数之一，它们之间存在着倒数关系。
具体而言，正弦函数的倒数等于余弦函数，余弦函数的倒数等于正弦函数的倒数的相反数。
数学表达如下：sin(x) = 1 / cos(x)
cos(x) = 1 / sin(x)
根据这个倒数关系，我们可以通过一个三角函数的值来求另一个三角函数的值。
例如，如果我们知道一个角的余弦值，可以通过倒数关系来计算出相应角的正弦值。
二、正切函数与余切函数的倒数关系
正切函数（tan）和余切函数（cot）也是常见的三角函数之一，它们之间同样存在着倒数关系。
具体而言，正切函数的倒数等于余切函数，余切函数的倒数等于正切函数的倒数的相反数。
数学表达如下：tan(x) = 1 / cot(x)
cot(x) = 1 / tan(x)
与正弦函数和余弦函数的倒数关系类似，正切函数和余切函数的倒
数关系也可用于通过一个三角函数的值求另一个三角函数的值。
三、正弦函数与余切函数的互余关系
除了倒数关系外，三角函数之间还存在着互余关系。
正弦函数与余
切函数的互余关系表明它们的值互为倒数。
具体而言，正弦函数与余
切函数的值之积始终等于1。
数学表达如下：
sin(x) * cot(x) = 1
cot(x) * sin(x) = 1
类似地，余弦函数与正切函数的互余关系也表明它们的值互为倒数。
具体而言，余弦函数与正切函数的值之积始终等于1。
互余关系的存在使得我们可以通过一个三角函数的值来求另一个三
角函数的值，从而简化了计算过程。
结论
三角函数的倒数关系与互余关系是三角函数的基本性质之一。
正弦
函数与余弦函数的倒数相等，正切函数与余切函数的倒数相等。
正弦
函数与余切函数的值之积始终等于1，余弦函数与正切函数的值之积也始终等于1。
这些关系在解决实际问题和简化计算过程中都具有重要的作用。
总之，三角函数的倒数关系与互余关系为我们理解和应用三角函数
提供了便利。
在学习和研究三角函数时，我们应该充分利用这些关系，深入理解它们的数学本质和实际意义。