振动与波动-振动(word无答案)
振动与波动
At=0
π 5π t 得运动方程： 得运动方程： x = 0.1 cos 3 12
本章要求
掌握描述简谐振动的物理量 会计算简谐振动的运动方程及求解相关量 会证明一个振动是简谐振动 知道两个同方向同频率的简谐振动合成是一个简谐振动
作 业
P139，8-1；8-3；8-4 ， ； ；
两分振动相互减弱， 则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， 当 A1=A2 时, A=0 旋转矢量法处理谐振动的合成
x = x1 + x2
ω
A2
= Acos(ω t +)
A = A + A + 2A A2 cos(2 1) 1
2 1 2 2
2
O
x2
A 2 1 A1
1
x
A sin1 + A sin2 2 tan = 1 A cos1 + A cos2 1 2
= 0
= π/4
P
.
= π/2
= 3π/4 π
Q
= π
= 5π/4 π
= 3π/2 π
= 7π/4 π
四.垂直方向不同频率简谐振动的合成 两分振动频率相差很小
= (ω 2-ω 1) t + ( 2- 1)
可看作两频率相等而 2- 1随ｔ缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 两振动的频率成整数比 两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形 y A1
1 t+T 1 2 Ek = ∫ Ekdt = kA T t 4
2. 势能
1 2 Ek max = kA 2 Ek min = 0
1 2 1 2 2 Ep = kx = kA cos (ωt +) 2 2
振动和波Word
振动和波习题课Ⅰ教学基本要求振动和波动1.掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。
2.理解旋转矢量法。
3.掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。
4.理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。
5.理解机械波产生的条件。
掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。
理解波形图线。
了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。
6.了解惠更斯原理和波的叠加原理。
理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。
7.理解驻波及其形成条件。
了解驻波和行波的区别。
8.了解机械波的多普勒效应及其产生原因。
在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。
9.了解电磁波的性质。
Ⅱ内容提要一、振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/d t2+ω2x=0运动方程x=A cos(ωt+ϕ0)弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，复摆ω=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T(2)非固有量，振幅A: A=(x02+v02/ω2)1/2 位相ϕ: ϕ=ωt+ϕ0 初位相ϕ0: tanϕ0=-v0/(ω x0)(再结合另一三角函数定出ϕ0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：E k=E sin2(ωt+ϕ0) E p=E cos2(ωt+ϕ0) E=E k+ E p5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(ϕ20-ϕ10)]1/2tgϕ0=(A1sinϕ10+A2sinϕ20)/(A1cosϕ10+A2cosϕ20) (再结合另一三角函数定出ϕ0)拍∆ω<<ω1拍频∆ν=|ν2-ν1|(2)相互垂直振动的合成ω1=ω2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(ϕ20-ϕ10)=sin2(ϕ20-ϕ10)ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形二、波动1.机械波的产生的条件:(1)波源,(2)媒质.机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播,质量并不迁移；2.描述波的物理量：波长λ，频率ν，周期T，波速.u其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν3.平面简谐波的波动方程y=A cos[ω(t-x/u)+ϕ0]=A cos[2π(t/T-x/λ)+ϕ0]=A cos[2π(νt-x/λ)+ϕ0]4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。
振动和波动有什么区别和联系【精品推荐-doc】
习题五5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =．(2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．当谐波方程)(cos uxt A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．5-2 波动方程y =A cos ［ω(u x t -)+0ϕ］中的ux表示什么?如果改写为y =A cos (0ϕωω+-u x t )，u x ω又是什么意思?如果t 和x 均增加，但相应的［ω(ux t -)+0ϕ］的值不变，由此能从波动方程说明什么?解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为)cos(0φωω+-=uxt A y t则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0φωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ∆后传播到t u x ∆+处．所以在)(uxt ωω-中，当t ，x 均增加时，)(uxt ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ∆，波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离，说明)cos(0φωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为),(t x f y =，则相对形变量(即应变量)为x y ∂∂/.波动势能则是与x y ∂∂/的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处0/=∂∂x y )，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．题5-3图对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t =0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成y =A cos ω(uxt -)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，0=t 的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成)(cos uxt A y -=ω时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程． 5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?解: 取驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为x A λπ2cos2．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(λ'/u )会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即B v u u +='，因而单位时间内通过观察者完整波的数目λu '也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．题5-6 图多普勒效应5-7 一平面简谐波沿x 轴负向传播，波长λ=1.0 m ，原点处质点的振动频率为ν=2. 0 Hz ，振幅A ＝0.1m ，且在t =0时恰好通过平衡位置向y 轴负向运动，求此平面波的波动方程．解: 由题知0=t 时原点处质点的振动状态为0,000<=v y ，故知原点的振动初相为2π,取波动方程为])(2cos[0φλπ++=xT t A y 则有]2)12(2cos[1.0ππ++=x t y)224cos(1.0πππ++=x t m5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y =A cos(Cx Bt -)，其中A ，B ，C 为正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差．解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=比较，可知：波振幅为A ，频率πυ2B=，波长Cπλ2=，波速C B u ==λυ，波动周期BT πυ21==．(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -=(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为)(212x x -=∆λπφ将d x x =-12，及Cπλ2=代入上式，即得Cd =∆φ．5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y =0.05cos(10x t ππ4-)，式中x ,y 以米计，t 以秒计．求：(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求x =0.2m 处质点在t =1s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t =1.25s 时刻到达哪一点?解: (1)将题给方程与标准式)22cos(x t A y λππυ-=相比，得振幅05.0=A m ，频率5=υ1-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1s m -⋅．(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为ππω5.005.010max =⨯==A v 1s m -⋅ 222max 505.0)10(ππω=⨯==A a 2s m -⋅(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为08.05.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相，即 2.9=φπ．设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m5-10 如题5-10图是沿x 轴传播的平面余弦波在t 时刻的波形曲线．(1)若波沿x 轴正向传播，该时刻O ，A ，B ，C 各点的振动位相是多少?(2)若波沿x 轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?解: (1)波沿x 轴正向传播，则在t 时刻，有题5-10图对于O 点：∵0,0<=O O v y ，∴2πφ=O 对于A 点：∵0,=+=A A v A y ，∴0=A φ 对于B 点：∵0,0>=B B v y ，∴2πφ-=B 对于C 点：∵0,0<=C C v y ，∴23πφ-=C(取负值：表示C B A 、、点位相，应落后于O 点的位相)(2)波沿x 轴负向传播，则在t 时刻，有对于O 点：∵0,0>'='O Ov y ，∴2πφ-='O对于A 点：∵0,='+='A A v A y ，∴0='A φ对于B 点：∵0,0<'='B B v y ，∴2πφ=B 对于C 点：∵0,0>'='C Cv y ，∴23πφ='C(此处取正值表示C B A 、、点位相超前于O 点的位相)5-11 一列平面余弦波沿x 轴正向传播，波速为5m ·s -1，波长为2m ，原点处质点的振动曲线如题5-11图所示． (1)写出波动方程；(2)作出t =0时的波形图及距离波源0.5m 处质点的振动曲线．解: (1)由题5-11(a)图知，1.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ，∴230πφ=，又5.225===λυuHz ，则ππυω52==题5-11图(a)取 ])(cos[0φω+-=uxt A y ，则波动方程为)]235(5cos[1.0ππ+-=x t y m (2) 0=t 时的波形如题5-11(b)图题5-11图(b) 题5-11图(c)将5.0=x m 代入波动方程，得该点处的振动方程为)5cos(1.0)235.05.055cos(1.0πππππ+=+⨯-=t t y m 如题5-11(c)图所示．5-12 如题5-12图所示，已知t =0时和t =0.5s 时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x 轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：(1)波动方程；(2)P 点的振动方程．解: (1)由题5-12图可知，1.0=A m ，4=λm ，又，0=t 时，0,000<=v y ，∴20πφ=，而25.01==∆∆=t x u 1s m -⋅，5.042===λυu Hz ，∴ππυω==2故波动方程为]2)2(cos[1.0ππ+-=x t y m(2)将1=P x m 代入上式，即得P 点振动方程为t t y ππππcos 1.0)]22cos[(1.0=+-= m题5-12图5-13 一列机械波沿x 轴正向传播，t =0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 m ·s -1，波长为2m ，求：(1)波动方程；(2) P 点的振动方程及振动曲线；(3) P 点的坐标；(4) P 点回到平衡位置所需的最短时间．解: 由题5-13图可知1.0=A m ，0=t 时，0,200<=v A y ，∴30πφ=，由题知2=λm ，10=u 1s m -⋅，则5210===λυuHz∴ ππυω102==(1)波动方程为]3)10(10cos[.01ππ+-=x t y m题5-13图(2)由图知，0=t 时，0,2<-=P P v A y ，∴34πφ-=P (P 点的位相应落后于0点，故取负值)∴P 点振动方程为)3410cos(1.0ππ-=t y p(3)∵ πππ34|3)10(100-=+-=t x t∴解得 67.135==x m(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P 点回到平衡位置应经历的位相角题5-13图(a)πππφ6523=+=∆ ∴所属最短时间为121106/5==∆=∆ππωφt s 5-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P 点的振动方程为P y =A cos(0ϕω+t )．(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；(2)写出距P 点距离为b 的Q 点的振动方程．解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为])(cos[0φω+-+=uxu l t A y 如图(b)，则波动方程为题5-14图])(cos[0φω++=uxt A y (2) 如题5-14图(a)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω+-=ubt A A Q 如题5-14图(b)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω++=ubt A A Q5-15 已知平面简谐波的波动方程为)24(cos x t A y +=π(SI)．(1)写出t =4.2 s 时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点? (2)画出t =4.2 s 时的波形曲线．解:(1)波峰位置坐标应满足ππk x t 2)24(=+ 解得 )4.8(-=k x m (,2,1,0±±=k …)所以离原点最近的波峰位置为4.0-m ．∵uxt t t ωωππ+=+24 故知2=u 1s m -⋅,∴ 2.024.0=-='∆t s ，这就是说该波峰在2.0s 前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是42.02.4=-s ，即该波峰是在4s 时通过原点的．题5-15图(2)∵2,4==u πω1s m -⋅，∴12===ωπλuuT m ，又0=x 处，2.4=t s 时，ππφ8.1642.40=⨯=A A y 8.02.44cos 0-=⨯=π又，当A y -=时，πφ17=x ，则应有πππ1728.16=+x解得 1.0=x m ，故2.4=t s 时的波形图如题5-15图所示 5-16 题5-16图中(a)表示t =0时刻的波形图，(b)表示原点(x =0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x =2m 处质元的振动曲线．解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知2=T s ,2.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ，故知20πφ-=,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x 轴负向传播，且4=λm ，若取])(2cos[0φλπ++=xT t A y题5-16图则波动方程为]2)42(2cos[2.0ππ-+=x t y 5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm 的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J ·m -2·s -1，频率为300 Hz ，波速为300m ·s -1，求 ：(1)波的平均能量密度和最大能量密度?(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?解: (1)∵ uw I =∴ 53106300100.18--⨯=⨯==u I w 3m J -⋅4max 102.12-⨯==w w 3m J -⋅(2) νπλπωud w d wV W 224141===7251024.9300300)14.0(41106--⨯=⨯⨯⨯⨯=πJ5-18 如题5-18图所示，1S 和2S 为两相干波源，振幅均为1A ，相距4λ，1S 较2S 位相超前2π，求：(1) 1S 外侧各点的合振幅和强度；(2) 2S 外侧各点的合振幅和强度解：（1）在1S 外侧，距离1S 为1r 的点，1S 2S 传到该P 点引起的位相差为πλλππφ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∆)4(2211r r 0,0211===-=A I A A A（2）在2S 外侧.距离2S 为1r 的点，1S 2S 传到该点引起的位相差.0)4(2222=-+-=∆r r λλππφ2121114,2A A I A A A A ===+=5-19 如题5-19图所示，设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播，它在B 点的振动方程为t y π2cos 10231-⨯=;C 点发出的平面横波沿CP 方向传播，它在C 点的振动方程为)2cos(10232ππ+⨯=-t y ，本题中y 以m 计，t 以s 计．设BP ＝0.4m ，CP ＝0.5m ，波速u =0.2m ·s -1，求：(1)两波传到P 点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时，P 处合振动的振幅；*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P 处合振动的振幅．解: (1) )(2)(12BP CP ---=∆λπϕφφ)(BP CP u --=ωπ0)4.05.0(2.02=--=ππ题5-19图(2)P 点是相长干涉，且振动方向相同，所以321104-⨯=+=A A A P m(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为33122211083.210222--⨯=⨯==+=A A A A m5-20 一平面简谐波沿x 轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅为A ，频率为ν 波速为u ．(1)若t =0时，原点O 处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x 轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置．解: (1)∵0=t 时，0,000>=v y ，∴20πφ-=故波动方程为]2)(2cos[ππ--=u x t v A y m题5-20图(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将λ43=x 代入)2432πλλπ-⨯-，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为πππλλπ-=+-⨯-2432 若仍以O 点为原点，则反射波在O 点处的位相为 ππλλπ25432-=-⨯-，因只考虑π2以内的位相角，∴反射波在O 点的位相为2π-，故反射波的波动方程为]2)(2cos[ππυ-+=u x t A y 反此时驻波方程为]2)(2cos[ππυ--=uxt A y ]2)(2cos[ππυ-++u x t A )22cos(2cos 2ππυπυ-=t u x A 故波节位置为2)12(22πλππυ+==k x u x 故 4)12(λ+=k x (,2,1,0±±=k …)根据题意，k 只能取1,0，即λλ43,41=x5-20 一驻波方程为y =0.02cos20x cos750t (SI)，求：(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速；(2)相邻两波节间距离． 解: (1)取驻波方程为t uxA y πυπυ2cos 2cos 2= 故知 01.0202.0==A m7502=πυ，则πυ2750=， 202=uπυ∴ 5.37202/7502202=⨯==πππυu 1s m -⋅ (2)∵314.01.020/2====πυπυυλu m 所以相邻两波节间距离157.02==∆λx m5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为1y =0.1cos(13t +0.0079x ) (SI)试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x =0处为波节．解: 为使合成驻波在0=x 处形成波节，则要反射波在0=x 处与入射波有π的位相差，故反射波的波动方程为)0079.013cos(1.02π--=x t y5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为1y =0.06cos(t x ππ4-)(SI), 2y =0.06cos(t x ππ4+)(SI)．(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置；(2)波腹处的振幅多大?x =1.2m 处振幅多大?解: (1)它们的合成波为)4cos(06.0)4cos(06.0t x x y ππππ++-= t x ππ4cos cos 12.0=出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动．令ππk x =，则k x =，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；令2)12(ππ+=k x ,则21)12(+=k x ，,2,1,0±±=k …，此即波节的位置．(2)波腹处振幅最大，即为12.0m ；2.1=x m 处的振幅由下式决定，即097.0)2.1cos(12.0=⨯=π驻A m5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz 变到了1000 Hz ，设空气中声速为330m ·s -1，求汽车的速率．解: 设汽车的速度为s v ，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为01υυs v u u-=汽车驶离车站时，车站收到的频率为02υυsv u u +=联立以上两式，得3010012001000120030021211=+-⨯=+-=υυυυυu1s m -⋅5-25 两列火车分别以72km ·h -1和54 km ·h -1的速度相向而行，第一 列火车发出一个600 Hz 的汽笛声，若声速为340 m ·s -1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?解: 设鸣笛火车的车速为201=v 1s m -⋅，接收鸣笛的火车车速为152=v 1s m -⋅，则两者相遇前收到的频率为66560020340153400121=⨯-+=-+=υυv u v u Hz 两车相遇之后收到的频率为54160020340153400121=⨯+-=+-=υυv u v u Hz。
振动和波动
x0 x
x
3
简谐振动的运动学判据 1. 简谐振动的运动学判据 以弹簧振子为例： 以弹簧振子为例： 弹簧质量不计,不计摩擦。 弹簧质量不计 不计摩擦。 不计摩擦
F弹
x
o x 建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。 建立坐标系， 点选在弹簧平衡位置处。 点选在弹簧平衡位置处
回复力
F弹 = −kx
d 2x 一维振动 F = ma = m 2 = −kx dt k d2x 2 ω = m 2 + kx = 0 令 m dt
v0 ϕ = tg − = ±37o = ±0.64rad x0ω
−1
11
简谐振动的旋转矢量法 振动的表示法
(1)解析法 x = A cos( ωt + ϕ ) 解析法 (2)振动曲线法 振动曲线法 (3) 旋转矢量法 在平面上作一坐标轴Ox， 在平面上作一坐标轴 ， 由原点O作一长度等于振幅 由原点 作一长度等于振幅 r 的矢量 。A t=0,矢量与坐标轴的夹角等 矢量与坐标轴的夹角等 于初相ϕ 速圆周运动， 速圆周运动，
QωT = 2π
1 ω ν= = T 2π
2π ∴ω = = 2πν T
单位： 单位：rad/s
单位： 单位：Hz
7
时物体的位相 (3)初相 (3)初相φ —t=0时物体的位相 初相
ϕ由初始条件决定 初位相确定简谐振动初始时刻的 由初始条件决定,
运动状态。 运动状态。 ϕ(t)=ωt+ ϕ 位相 —物体在任一时刻的位相。 ω 物体在任一时刻的位相。 物体在任一时刻的位相 它确定简谐振动在该时刻的运动状态。 它确定简谐振动在该时刻的运动状态。 x = Acos( ωt + ϕ ) 简谐振动的速度、 3. 简谐振动的速度、加速度
3.振动与波动
mg
1 2
g l
例2、 一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水 深度为h(水面下的木块高度)，求振动周期T=？ 解： 设木块的质量为m、边长为b, 则平衡条件为
mg 水 gb2 h
x
令木块位移x,由牛二定律有 建立图示坐标，
2
水 gb h x mg ma
2
4 x3 0.02 cos(4 t ) 3
3
A1
A3
x
例2、已知某简谐振动的位移与时间的关系曲 线如图所示，试求其振动方程。 x(cm ) 设振动方程为 解： 10 5 x A cos( t 0 ) 0 由图知： A 10 cm 5 t (s ) 1
t 0时，x0 5
例1、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A=0.02m，周期T=0.50s。当t=0时,（1）物体在正方向 的端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3） 物体在x=-0.01m处向正方向运动。求以上各种情况的 振动方程。 解： 设振动方程为 x A cos( t 0 ) 2 A 0.02m T 0.5 4 T （1） 0 0 x1 0.02 cos(4 t ) A （2） 0 2 x2 0.02 cos(4 t ) 2 4 0.01 （3） 0
F kx
k O
m
d2x kx m 2 dt d2x 2 x 0 2 dt
x
k a x m
简谐振动微 分方程
k m
x
2 k m
d x 2 x 0 2 dt
其通解为： 2、谐振动的定义 简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离 平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦 （或正弦）规律变化的振动。 特点：①振动被限制在一定的范围内； ②周期相同； ③无能量损失。
大学物理竞赛辅导——振动与波动共64页文档
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
大学物理竞赛辅导——振动与波动
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
振动和波动
o
x
x
注意各量对应关系！
四、 旋转矢量表示法
例2： 已知位相求状态 如：位相 t1 3 ，问状态？
A
x A 2 ,且向x 负向运动。
如： 位相t2 3 2，问状态？
o
3
x 0 ，且向 x 正向运动。
例3： 已知状态求位相（特别是初位相） v0>0 ，求 ？ t 0，x0 A 2， 如：
2
A
A1
1
t 0
x2
x1
x
X
合振动是简谐振动, 其频率仍为，其中
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
二、 两同方向不同频率简谐振动的合成—周期性振动 设分振动
x1=Acos 1 t x2=Acos 2t
cos 根据 cos cos 2cos 2 2
合振动 x = x1+ x2
1 2 1 2 x 2 A cos( t ) cos( t) 2 2
波动是振动的传播
机械波 电磁波
第四节 波的基本规律
一、机械波的产生
1、机械波定义
机械振动在弹性介质中的传播过程。
2、机械波的产生条件
(1)要有做机械振动的物体,亦即波源。
(2)要有能够传播这种振动的弹性介质。
2、机械波的种类
(1)横波(transverse wave)：质点振动方向和传播方 向垂直。 （仅在固体中传播）
振动与波动振动
（C）动能最大，而势能最小
（D）动能最小，而势能最大
已知一平面简谐波的频率为12.5KHz，波速 为5.0×103 m · s-1。若波源的振幅为0.1mm ，试求： （1）波长与周期；（2）波源的振动方程；
（3）波方程； （4）离波源0.1m 处质点的振动方程； （5）离波源0.2m和0.3m两点处质点振动的 相位差； （6）在波源振动0.0021s 时的波形方程。
三、平面简谐波的波方程
波函数(波方程)
y yt , x
位移y 是时间和空间的函数
（下面以横波为例说明平面简谐波的波函数）
原点振动: y 0 A cos t
y
v
O点振动状态传到P点需用时间:
P
x
0
x t v
x
x (t ) 时刻的位移,则 P点在t 时刻的位移等于原点处质点在 v
波方程更加一般的表达（通解）如下:
y(x, t) Acosωt kx
例1、 已知波源在原点的平面简谐波方程为
y Acos(bt cx)
A,b,c均为常量。试求： （1）振幅，频率，波速和波长； （2）写出在传播方向上距波源处一点的振动方程式， 此质点振动的初位相如何？
x P点的振动方程为： y( x , t ) A cos ( t ) v
这就是右行波的波方程。
y
v
0
P
x
x
左行波的波方程为
x y( x , t ) A cos ( t ) v
x y( x , t ) A cos ( t ) v
y
四、波方程的物理意义
1. x x1 （常数）
将振动传播开去，从而形成机械波。波动是振动状态的传 播，是能量的传播，而不是质点的传播。
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振动与波动-振动(word无答案)
一、解答题
(★★) 1 . 如图甲所示的机械振动装置中，两轻弹簧的劲度系数分别为和，它们离自由转动轴 O的距离分别为 a和 b，刚性杆 OAB质白量不计，振子的质量为 m．平衡时棒 OAB恰好水
平，则振子做小振幅自由振动时，其振动周期为多少？
(★) 2 . 两个劲度系数为 k、质量为 m的相同弹簧振子1、2置于光滑水平面上， A、 B两点固定，两物块之间用劲度系数为3 k/2的弹簧相连（如图所示）．今要使两物块以相同频率做简谐
运动，求振动频率，并问：如何实现这样的振动？
(★) 3 . 金字塔形（四棱锥形）的冰山漂浮在海水中，平衡时塔尖离水面高度为 h，冰的密度记为，海水密度记为，且有．忽略运动方向的所有阻力，试求：
（1）冰山自身的高度 H．
（2）冰山在平衡位置附近做竖直方向小幅；度振动的周期 T．
(★★) 4 . 一个系统由质量为 m的三个铰链组成，各铰链将长为 L的轻杆铰连起来（如图所示）．系统用劲度系数为 k的 ma竖直弹簧维持一个呈正方形的平衡位置．
（1）求弹簧未形变时长度．
（2）求下铰链做小振幅竖直振动的周期．
(★) 5 . 一个摆长为 l、摆球质量为 m的单摆和一质量为 M的球通过轻质短棒相连，球 M被一
无限长的细绳悬挂着，如图所示，求该装置在纸面 t做小幅振动时周期．
(★★) 6 . 如图甲所示是一种记录地震装置的水平摆，摆球 m固定在边长为 l、质量可忽略不计
的等边三角形的顶点C上，它的对边AB跟竖直线成不大的夹角，摆球可绕固定轴AB摆动，求摆球做微小甲摆动时的周期．
(★★★★)7 . 如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直悬挂着，它的下端连接质量为M的平板，平板上方 h处有一质量也是 M的小物块，今使系统从弹簧处于自由长度状态，平板和 h小物块
由静止开始释放，当平板降落到受力平衡位置时，小物块恰好追上平板并与其黏在一起，试求
h以及小物块与平板黏在一起后的瞬间向下运动的速度 u．如果连接在平板两端的是轻绳，那
么小物块与平板黏在一起后能否形成纯粹的简谐振动（即在简谐振动过程中始终不会有其他的
运动形式出现）？
(★★) 8 . 三根长度均为，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架 ABC． C点悬挂
在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆 AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上
运动，如图甲所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动．
(★) 9 . 某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他为了按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上．电梯向上加速和向下加速的时间相同（按照静止放置的钟），加速度大小也相同．试问：该电梯的服务员是按时结束工作，还是超时或提前呢？
(★★) 10 . 数学摆是由长度为 l的轻杆和一个固定在杆的自由端上的小铅球组成．现在在杆上套，一粒同铅球质量相等的珍珠，它可以沿着通过杆中点的水平线自由地滑动，如图所示．试
求这种摆小振动的周期，摩擦不计．
(★★★★) 11 . （1）如图所示，有一半径为、可以绕竖直轴转动的圆盘，沿直径方向开有一条凹槽，凹槽内有一根劲度系数为 k、原长为的弹簧，弹簧一端固定在圆盘中心，另一端系有质量为 m的小球．今将弹簧拉至 l（）后，使小球与圆盘一起以角速度做匀角速转动．已知小球与槽底的静摩擦因数为，与 k之间存在关系式：
．问：在上述条件下，能否发生这样的情况，只要适当调节的大小，使 l在与范围内，则无论取什么值总可使小球在凹槽中处于相对静止状态．如果认为不可能，应说明理由；如果认为可能，则计算的大小．
（2）如果上述小球与圆盘凹槽之间无摩擦存在，并且当圆盘以角速度做匀角速转动时，将弹簧拉至，小球恰好相对静止．现在将弹簧拉长至，而圆盘以角速度做匀角速转动，那么，经过多少时间后，弹簧收缩至长度为？此时小球的速度有多大？
(★★★★★) 12 . 设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静．初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触．已知湖
水密度为；物块边长为 b，密度为，且．在只考虑物块受重力和液体浮力作用的
情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间．
(★★★★) 13 . 有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图甲所示．在通道的两个出口处 A和 B，分别将质量为 M的物体和质量为 m 的待发射卫星同时自由释放，只要 M比 m足够大，碰撞后，质量为 m的物体，即待发射的卫星就会从通道口 B冲出通道．设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口 B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到
该通道的距离为多少？已知 M=20 m，地球半径．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．。