高中数学 3.2.2分数指数幂教案 北师大必修1

3.2.2分数指数幂

一、教学目标： 1、知识与技能（1） 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．（2） 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2、 过程与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心． 二、教学重点、: 分数指数幂的运算性质．教学难点：分数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）、新课导入

前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂．有许多问题都不是整数指数．例如3

327=,若已知3

a 27=,你能表示出a 吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为13

a 273==． （二）新知探究 （Ⅰ）分数指数幂

1．a 的1

n 次幂:一般地,给定正实数a ,对于给定的正整数n ,存在唯一的正实数b ,使得n b a =,我们把b 叫做a 的1n 次幂,记作1

n b a =．例如：3

a 29=,则13a 29=；5

b 36=,则1

5

b 36=．

由于3

2

48=,我们也可以记作23

84=

2．正分数指数幂:一般地,给定正实数a ,对于任意给定的正整数n m ，,存在唯一的正实数b ,

使得n m b a =,我们把b 叫做a 的m n 次幂,记作m

n

b a =,它就是正分数指数幂．例如：32b 7=,

则23

b 7=；53

x 3=,则35

x 3=等．

说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式,

即

m n

a 0)=>,例如

：

12255==

；23

279==

例1．把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式：

()

5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N +===π∈

解：（1）1

5b 32=；（2）54b 3=；（3）2n 5m

b =π

练习1：把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式：（1）5x 64=；（2）

2n

3x

45(n N )

+=∈

例2：计算：（1）13

27；（2）32

4

解：（1）因为3

327=,所以13

27=3；（2）因为32

48=,所以32

4=8 练习：计算（1）15

32；（2）23

27

请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂呢? 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定

m n

m n

1a

(a 0,m,n N ,n 1)

a

-

+=

>∈>;

说明:（1）．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

（2）规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有理指数．当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂m n

a 或m n

a

-(m,n N )

+∈时,对底数a 应有所限制,即a 0>．

（3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在有理数集上的指数函数． 例3．把下列各式中的b 写为负分数指数幂的形式：

()

5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N ---+===π∈

解：（1）15

b 32-=；（2）54

b 3-=；（3）2n 5m

b -=π

例4．计算：（1）1

38

-；（2）2

3

27

-

解：（1）因为3

28=,所以

1

3

13

118

2

8

-

=

=；（2）因为2

3

279=,所以

2

3

23

1127

9

27

-

=

=

．

练习: 1,2, （Ⅱ）、有理指数幂的运算

请同学们探讨一下整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否适用?

结论:整数指数幂的运算性质对于有理指数幂同样适用,即有以下运算性质：

（1）．a a αβ=a α+β （2）．(a )αβ=a αβ （3）．

(ab)α=a b αα其中a 0,b 0,,>>αβ为有理数．

例5．求值：（1）3

4

625；（2）32

4-；（3）3102

2

217()( 2.8)(1)0.149--+--+

解：（1）

3

33443444

625(5)55125⨯====；

（2）

3332()

2

32

2

2

3114

(2)

2

228-

-

⨯--====

=；